Квадратная решетка

2-мерная целочисленная решетка

Вертикальная квадратная мозаика . Вершины всех квадратов вместе с их центрами образуют вертикальную квадратную решетку. Для каждого цвета центры квадратов этого цвета образуют диагональную квадратную решетку, которая в линейном масштабе в √2 раз больше вертикальной квадратной решетки.

В математике квадратная решетка — это тип решетки в двумерном евклидовом пространстве . Это двумерная версия целочисленной решетки , обозначаемая как ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ . ^[1] Это один из пяти типов двумерных решеток, классифицированных по их группам симметрии ; ^[2] ее группа симметрии в нотации IUC как p4m , ^[3] в нотации Кокстера как [4,4] , ^[4] и в нотации орбифолда как *442 . ^[5]

Две ориентации изображения решетки являются наиболее распространенными. Их можно удобно называть вертикальной квадратной решеткой и диагональной квадратной решеткой; последняя также называется центрированной квадратной решеткой . ^[6] Они отличаются углом в 45°. Это связано с тем, что квадратную решетку можно разбить на две квадратные подрешетки, как это видно в раскраске шахматной доски .

Симметрия

Категория симметрии квадратной решетки — группа обоев p4m . Узор с этой решеткой трансляционной симметрии не может иметь больше, но может иметь меньше симметрии, чем сама решетка. Вертикальную квадратную решетку можно рассматривать как диагональную квадратную решетку с размером ячеек в √2 раз больше, с добавленными центрами квадратов. Соответственно, после добавления центров квадратов вертикальной квадратной решетки получается диагональная квадратная решетка с размером ячеек в √2 раз меньше, чем у исходной решетки. Узор с 4-кратной вращательной симметрией имеет квадратную решетку из 4-кратных ротоцентров, которая в √2 раза тоньше и диагонально ориентирована относительно решетки трансляционной симметрии .

Относительно осей отражения возможны три варианта:

• Нет. Это группа обоев p4 .
• В четырех направлениях. Это группа обоев p4m .
• В двух перпендикулярных направлениях. Это группа обоев p4g . Точки пересечения осей отражения образуют квадратную сетку, которая так же мелка и ориентирована так же, как и квадратная решетка 4-кратных ротоцентров, причем эти ротоцентры находятся в центрах квадратов, образованных осями отражения.

Кристаллические классы

Названия классов квадратной решетки , нотации Шёнфлиса , нотации Германа-Могена , орбифолдной нотации , нотации Коксетера и группы обоев перечислены в таблице ниже.

Смотрите также

• Центрированный квадратный номер
• Фруктовый сад Эвклида
• Гауссово целое число
• Шестиугольная решетка
• Квинканкс
• Квадратная плитка

Ссылки

1. Конвей, Джон ; Слоан, Нил JA (1999), Упаковки сфер, решетки и группы, Springer, стр. 106, ISBN 9780387985855.
2. Голубицкий, Мартин ; Стюарт, Ян (2003), Симметрическая перспектива: от равновесия к хаосу в фазовом пространстве и физическом пространстве, Progress in Mathematics, т. 200, Springer, стр. 129, ISBN 9783764321710.
3. Филд, Майкл; Голубицкий, Мартин (2009), Симметрия в хаосе: поиск закономерностей в математике, искусстве и природе (2-е изд.), SIAM, стр. 47, ISBN 9780898717709.
4. Джонсон, Норман В .; Вайс, Азия Ивич (1999), «Квадратичные целые числа и группы Коксетера», Канадский журнал математики , 51 (6): 1307–1336, doi : 10.4153/CJM-1999-060-6. См. в частности верхнюю часть стр. 1320.
5. Schattschneider, Doris ; Senechal, Marjorie (2004), "Tilings", в Goodman, Jacob E. ; O'Rourke, Joseph (ред.), Handbook of Discrete and Computational Geometry , Discrete Mathematics and Its Applications (2-е изд.), CRC Press, стр. 53–72, ISBN 9781420035315. См., в частности, таблицу на стр. 62, связывающую нотацию IUC с нотацией орбифолда.
6. Джонстон, Бернард Л.; Ричман, Фред (1997), Числа и симметрия: Введение в алгебру, CRC Press, стр. 159, ISBN 9780849303012.