Квадратный купол

Cupola with octagonal base

В геометрии квадратный купол (иногда называемый малым куполом ) — купол с восьмиугольным основанием. В случае, когда ребра равны по длине, это тело Джонсона , выпуклый многогранник с правильными гранями . Его можно использовать для построения многих многогранников, особенно в других телах Джонсона.

Характеристики

Квадратный купол имеет грани 4 треугольников, 5 квадратов и 1 восьмиугольника; восьмиугольник — основание, а один из квадратов — вершина. Если ребра равны по длине, треугольники и восьмиугольник становятся правильными , а длина ребра восьмиугольника равна длине ребра как треугольников, так и квадратов. ^{[1] [2]} Двугранный угол между квадратом и треугольником составляет приблизительно , ​​угол между треугольником и восьмиугольником равен , угол между квадратом и восьмиугольником равен точно , а между двумя соседними квадратами равен . ^[3] Выпуклый многогранник , в котором все грани правильные, является телом Джонсона , а квадратный купол обозначается как четвертое тело Джонсона. ^[2] ${\displaystyle 144.7^{\circ }}$ ${\displaystyle 54.7^{\circ }}$ ${\displaystyle 45^{\circ }}$ ${\displaystyle 135^{\circ }}$ ${\displaystyle J_{4}}$

Учитывая, что длина ребра , площадь поверхности квадратного купола можно вычислить путем сложения площадей всех граней: ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A=\left(7+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 11.560a^{2}.}$$

^{[1] [4]} ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\approx 0.707a,\\C&=\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {2}}}}\right)a\approx 1.399a,\\V&=\left(1+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\approx 1.943a^{3}.\end{aligned}}}$$

3D модель квадратного купола

У него есть ось симметрии, проходящая через центр его верха и основания, которая симметрична, вращаясь вокруг него на одну, две и три четверти угла полного поворота. Он также зеркально симметричен относительно любой перпендикулярной плоскости, проходящей через биссектрису основания. Следовательно, он имеет пирамидальную симметрию , циклическую группу порядка 8. ^[3] ${\displaystyle C_{4v}}$

Связанные многогранники и соты

Двойник квадратного купола

Двойной многогранник квадратного купола – это многогранник, у которого гранями являются 8 треугольников и 4 змея.

Квадратный купол можно встретить во многих конструкциях из многогранников. Примером может служить ромбокубооктаэдр , который можно рассматривать как восемь перекрывающихся куполов. Конструкция, предполагающая присоединение своего основания к другому многограннику, известна как приращение ; прикрепление его к призмам или антипризмам известно как элонгация или гироэлонгация . ^{[5] [6]} Некоторые из других твердых тел Джонсона — это удлиненный квадратный купол , гироудлиненный квадратный купол , квадратный ортобикупол , квадратный гиробикупола , удлиненный квадратный гиробикупола и гироудлиненный квадратный бикупола . ^[7] ${\displaystyle J_{19}}$ ${\displaystyle J_{23}}$ ${\displaystyle J_{28}}$ ${\displaystyle J_{29}}$ ${\displaystyle J_{37}}$ ${\displaystyle J_{45}}$

3D модель скрещенного квадратного купола

Скрещенный квадратный купол является одной из невыпуклых изоморф твердого тела Джонсона и топологически идентичен выпуклому квадратному куполу. Его можно получить как срез большого невыпуклого ромбокубооктаэдра или квазиромбокубооктаэдра, аналогично тому, как квадратный купол можно получить как срез ромбокубооктаэдра. Как и во всех куполах , базовый многоугольник имеет в два раза больше ребер и вершин , чем верхний; в данном случае базовым многоугольником является октаграмма . Его можно рассматривать как купол с ретроградным квадратным основанием, так что квадраты и треугольники соединяются через основания в противоположном направлении по отношению к квадратному куполу, следовательно, пересекая друг друга.

Квадратный купол является составной частью нескольких неоднородных решеток, заполняющих пространство:

• с тетраэдрами ;
• с кубами и кубооктаэдрами ; и
• с тетраэдрами, квадратными пирамидами и различными комбинациями кубов, вытянутыми квадратными пирамидами и вытянутыми квадратными бипирамидами . ^[8]

Рекомендации

1. Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8. МР  0290245.
2. Уэхара, Рюхей (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии. Спрингер. п. 62. дои : 10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID  220150682.
3. Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Збл  0132.14603.
4. Сапинья, Р. «Площадь и объём тела Джонсона J 4 {\displaystyle J_{4}}». Проблемы и Ecuaciones (на испанском языке). ISSN  2659-9899 . Проверено 16 июля 2020 г.
5. Деми, Лоренц; Смессерт, Ганс (2017). «Логическое и геометрическое расстояние в многогранных аристотелевских диаграммах в представлении знаний». Симметрия . 9 (10): 204. Бибкод : 2017Symm....9..204D. дои : 10.3390/sym9100204 .
6. Слободан, Мишич; Обрадович, Мария; Джуканович, Гордана (2015). «Композитные вогнутые купола как геометрические и архитектурные формы» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 19 (1): 79–91.
7. Раджваде, Арканзас (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта. Тексты и чтения по математике. Книжное агентство Индостан. п. 84–89. дои : 10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
8. "Соты J4" .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Квадратный купол» («Тело Джонсона») в MathWorld .