Квадратный корень матрицы

В математике квадратный корень из матрицы расширяет понятие квадратного корня с чисел на матрицы . Говорят , что матрица $B$ является квадратным корнем из $A$ , если произведение матрицы $BB$ равно $A.$ ^[1]

Некоторые авторы используют название « квадратный корень» или обозначение $A 1/2$ только для конкретного случая, когда $A$ положительно полуопределена , для обозначения уникальной матрицы $B$ , которая является положительно полуопределенной и такой, что $BB = B T B = A$ (для вещественнозначной матрицы B). матрицы, $где$ $BT —$ транспонирование B ) .

Реже имя квадратный корень может использоваться для любой факторизации положительной полуопределенной матрицы $A$ как $B T B = A$ , как в факторизации Холецкого , даже если $BB \neq A$ . Это особое значение обсуждается в разделе Положительно определенная матрица § Разложение .

Примеры

В общем случае матрица может иметь несколько квадратных корней. В частности, если и то . $A=B^{2}$ $A=(-B)^{2}$

Единичная матрица 2×2 имеет бесконечное количество квадратных корней. Они даны $\textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

{\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}

где любые числа (действительные или комплексные) такие, что . В частности, если это любая пифагорова тройка , то есть любой набор положительных целых чисел такой , что , то матрица с квадратным корнем из которой симметрична и имеет рациональные элементы. ^[2] Таким образом $(a,b,c)$ $a^{2}+bc=1$ $(a,b,t)$ $a^{2}+b^{2}=t^{2}$ ${\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}$ $I$

{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {4}{5}}&{\frac {3}{5}}\\{\frac {3}{5}}&-{\frac {4}{5}}\end{pmatrix}}^{2}.

Минус тождество имеет квадратный корень, например:

-{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}^{2},

который можно использовать для представления мнимой единицы $i$ и, следовательно, всех комплексных чисел с использованием действительных матриц 2 × 2, см. Матричное представление комплексных чисел .

Как и в случае с действительными числами , действительная матрица может не иметь вещественного квадратного корня, но иметь квадратный корень с комплексными элементами. Некоторые матрицы не имеют квадратного корня. Примером является матрица ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$

Хотя квадратный корень из неотрицательного целого числа снова является целым или иррациональным числом , напротив, целочисленная матрица может иметь квадратный корень, элементы которого являются рациональными, но нецелыми, как в примерах выше.

Положительные полуопределенные матрицы

Симметричная вещественная матрица размера n × n называется положительно полуопределенной, если для всех (здесь обозначается транспонирование , заменяющее вектор-столбец $x$ в вектор-строку). Квадратная вещественная матрица является положительно полуопределенной тогда и только тогда, когда для некоторой матрицы $B$ . Таких матриц $B$ может быть много разных . Положительная полуопределенная матрица $A$ может также иметь много матриц $B$ таких, что . Однако $A$ всегда имеет ровно один квадратный корень $B$ , который является положительно полуопределенным и симметричным. В частности, поскольку $B$ требуется, чтобы быть симметричным, поэтому два условия или эквивалентны. $x^{\textsf {T}}Ax\geq 0$ $x\in \mathbb {R} ^{n}$ $x^{\textsf {T}}$ $A=B^{\textsf {T}}B$ $A=BB$ $B=B^{\textsf {T}}$ $A=BB$ $A=B^{\textsf {T}}B$

Для комплексных матриц вместо этого используется сопряженное транспонирование , а положительные полуопределенные матрицы являются эрмитовыми , что означает . $B^{*}$ $B^{*}=B$

Теорема ^[3] — Пусть $A$ — положительно полуопределенная и симметричная матрица (обратите внимание, что $A$ может быть положительно полуопределенной, но не симметричной). Тогда существует ровно одна положительно полуопределенная и симметричная матрица $B$ такая, что . Обратите внимание, что может существовать более одной несимметричной и положительно полуопределенной матрицы такой, что $A=BB$ $B$ $A=B^{T}B$

Эта уникальная матрица называется главной , неотрицательной или положительной квадратным корнем (последнее в случае положительно определенных матриц ).

Главный квадратный корень вещественной положительной полуопределенной матрицы действителен. ^[3] Главный квадратный корень положительно определенной матрицы является положительно определенным; в более общем смысле, ранг главного квадратного корня из $A$ такой же, как и ранг из $A$ . ^[3]

На этом наборе матриц операция извлечения главного квадратного корня непрерывна. ^[4] Эти свойства являются следствием голоморфного функционального исчисления, примененного к матрицам. ^[5]^[6] Существование и единственность главного квадратного корня можно вывести непосредственно из жордановой нормальной формы (см. ниже).

Матрицы с различными собственными значениями

Матрица размера $n \times n$ с $n$ различными ненулевыми собственными значениями имеет 2 ⁿ квадратных корней. Такая матрица $A$ имеет собственное разложение $VDV -1$ , где $V$ — матрица, столбцы которой являются собственными векторами $A$ , а $D$ — диагональная матрица, диагональные элементы которой являются соответствующими $n$ собственными значениями $λ i$ . Таким образом, квадратные корни из $A$ определяются выражением $VD 1/2 V -1$ , где $D 1/2$ — любая матрица с квадратным корнем из $D$ , которая для различных собственных значений должна быть диагональной с диагональными элементами, равными квадратным корням из диагональных элементов. из $Д$ ; поскольку существует два возможных выбора для квадратного корня из каждого диагонального элемента $D$ , существует 2 ⁿ вариантов выбора для матрицы $D 1/2$ .

Это также приводит к доказательству приведенного выше наблюдения о том, что положительно определенная матрица имеет ровно один положительно определенный квадратный корень: положительно определенная матрица имеет только положительные собственные значения, и каждое из этих собственных значений имеет только один положительный квадратный корень; и поскольку собственные значения матрицы квадратного корня являются диагональными элементами $D 1/2$ , для того, чтобы матрица квадратного корня сама была положительно определенной, необходимо использовать только уникальные положительные квадратные корни из исходных собственных значений.

Решения в закрытой форме

Если матрица идемпотентна , то есть , то по определению один из ее квадратных корней является самой матрицей. $A^{2}=A$

Диагональные и треугольные матрицы

Если $D$ — диагональная матрица размера n × n , то некоторые из ее квадратных корней являются диагональными матрицами , где . Если диагональные элементы матрицы $D$ действительны и неотрицательны, то она положительно полуопределена, а если квадратные корни взяты с неотрицательным знаком, результирующая матрица является главным корнем матрицы $D.$ Диагональная матрица может иметь дополнительные недиагональные корни, если некоторые элементы на диагонали равны, как показано на примере единичной матрицы выше. $D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ $\operatorname {diag} (\mu _{1},\dots ,\mu _{n})$ $\mu _{i}=\pm {\sqrt {\lambda _{i}}}$

Если $U$ — верхнетреугольная матрица (то есть ее элементы предназначены для ) и не более одного из ее диагональных элементов равно нулю, то одно верхнетреугольное решение уравнения можно найти следующим образом. Поскольку уравнение должно удовлетворяться, пусть – главный квадратный корень комплексного числа . По предположению это гарантирует, что для всех $i,j$ (поскольку все главные квадратные корни комплексных чисел лежат на одной половине комплексной плоскости). Из уравнения $u_{i,j}=0$ $i>j$ $B^{2}=U$ $u_{i,i}=b_{i,i}^{2}$ $b_{i,i}$ $u_{i,i}$ $u_{i,i}\neq 0$ $b_{i,i}+b_{j,j}\neq 0$

u_{i,j}=b_{i,i}b_{i,j}+b_{i,i+1}b_{i+1,j}+b_{i,i+2}b_{i+2,j}+\dots +b_{i,j}b_{j,j}

мы делаем вывод, что это можно вычислить рекурсивно для увеличения от 1 до n -1 как: $b_{i,j}$ $j-i$

b_{i,j}={\frac {1}{b_{i,i}+b_{j,j}}}\left(u_{i,j}-b_{i,i+1}b_{i+1,j}-b_{i,i+2}b_{i+2,j}-\dots -b_{i,j-1}b_{j-1,j}\right).

Если $U$ имеет верхнюю треугольную форму, но имеет несколько нулей на диагонали, то квадратный корень может не существовать, как показано на примере . Обратите внимание, что диагональные элементы треугольной матрицы являются в точности ее собственными значениями (см. Треугольная матрица#Свойства ). $\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right)$

По диагонализации

Матрица A $размера$ n × n является диагонализуемой, если существуют матрица $V$ и диагональная матрица $D$ такие, что $A$ $=$ $VDV$ $-1$ . Это происходит тогда и только тогда, когда $A$ $имеет$ n собственных векторов , которые составляют основу $Cn$ . В этом случае $V$ можно выбрать в качестве матрицы с n собственными векторами в качестве столбцов, и, таким образом, квадратный корень из $A$ равен

R=VSV^{-1}~,

где $S$ — любой квадратный корень из $D.$ Действительно,

\left(VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}\right)^{2}=VD^{\frac {1}{2}}\left(V^{-1}V\right)D^{\frac {1}{2}}V^{-1}=VDV^{-1}=A~.

Например, матрицу можно диагонализовать как $VDV$ $-1$ , где $A=\left({\begin{smallmatrix}33&24\\48&57\end{smallmatrix}}\right)$

V={\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}

и .

D={\begin{pmatrix}81&0\\0&9\end{pmatrix}}

$D$ имеет главный квадратный корень

D^{\frac {1}{2}}={\begin{pmatrix}9&0\\0&3\end{pmatrix}}

давая квадратный корень

A^{\frac {1}{2}}=VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}={\begin{pmatrix}5&2\\4&7\end{pmatrix}}

Когда $A$ симметричен, диагонализующую матрицу $V$ можно сделать ортогональной матрицей , подходящим выбором собственных векторов (см. Спектральную теорему ). Тогда обратное $V$ — это просто транспонирование, так что

R=VSV^{\textsf {T}}~.

По разложению Шура

Каждая квадратная матрица с комплексными значениями , независимо от диагонализуемости, имеет разложение Шура , заданное выражением где является верхнетреугольным и унитарным (что означает ). Собственные значения - это в точности диагональные элементы ; если не более одного из них равно нулю, то следующее является квадратным корнем ^[7] $A$ $A=QUQ^{*}$ $U$ $Q$ $Q^{*}=Q^{-1}$ $A$ $U$

A^{\frac {1}{2}}=QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}.

где квадратный корень из верхней треугольной матрицы можно найти, как описано выше. $U^{\frac {1}{2}}$ $U$

Если положительно определен, то все собственные значения являются положительными действительными числами, поэтому выбранная диагональ также состоит из положительных действительных чисел. Следовательно, собственные значения являются положительными действительными числами, что означает, что результирующая матрица является главным корнем . $A$ $U^{\frac {1}{2}}$ $QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}$ $A$

По разложению Жордана

Как и в случае с разложением Шура, каждую квадратную матрицу можно разложить следующим образом: где $P$ обратима , а $J$ находится в нормальной жордановой форме . $A$ $A=P^{-1}JP$

Чтобы увидеть, что любая комплексная матрица с положительными собственными значениями имеет квадратный корень того же вида, достаточно проверить это на жордановом блоке. Любой такой блок имеет вид λ( I + N ) с λ > 0 и N нильпотентным . Если $(1 + z) 1/2 = 1 + a 1 z + a 2 z 2 + \dots$ — биномиальное разложение квадратного корня (справедливо при | z | < 1), то как формальный степенной ряд его квадрат равен 1 + з . При замене N на z только конечное число членов будет ненулевым, а $S = \sqrtλ (I + a 1 N + a 2 N 2 + \dots)$ дает квадратный корень из жорданового блока с собственным значением $\sqrtλ$ .

Достаточно проверить единственность жордановой клетки с λ = 1. Построенный выше квадрат имеет вид S = I + L , где L – полином от N без постоянного члена. Любой другой квадратный корень T с положительными собственными значениями имеет форму T = I + M с нильпотентным $M , коммутирующим с$ N и, следовательно, с L . Но тогда $0 = S 2 - T 2 = 2(L - M)(I + (L + M)/2)$ . Поскольку $L$ и $M$ коммутируют, матрица $L + M$ нильпотентна, а $I + (L + M)/2$ обратима с обратной матрицей, заданной рядом Неймана . Следовательно , $L = М.$

Если $A$ — матрица с положительными собственными значениями и минимальным многочленом $p (t)$ , то разложение Жордана на обобщенные собственные пространства $A$ можно вывести из разложения в частные дроби $p (t) -1$ . Соответствующие проекции на обобщенные собственные пространства задаются вещественными полиномами от $A$ . В каждом собственном пространстве $A$ имеет форму $λ (I + N)$ , как указано выше. Выражение степенного ряда для квадратного корня в собственном пространстве показывает, что главный квадратный корень из $A$ имеет форму q ( A ), где q ( t ) является многочленом с действительными коэффициентами.

Силовая серия

Напомним формальный степенной ряд , который при условии сходится (поскольку коэффициенты степенного ряда суммируемы). Подстановка в это выражение дает ${\textstyle (1-z)^{\frac {1}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {1/2}{n}}z^{n}}$ $\|z\|\leq 1$ $z=I-A$

A^{\frac {1}{2}}:=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{{\frac {1}{2}} \choose n}(I-A)^{n}

при условии, что . В силу формулы Гельфанда это условие эквивалентно требованию содержания спектра внутри круга . Этот метод определения или вычисления особенно полезен в случае, когда положительно полуопределено. В этом случае мы имеем и, следовательно , так что выражение определяет квадратный корень, из которого, кроме того, оказывается единственный положительный полуопределенный корень. Этот метод остается применимым для определения квадратных корней операторов в бесконечномерных банаховых или гильбертовых пространствах или некоторых элементов (С*) банаховых алгебр. ${\textstyle \limsup _{n}\|(I-A)^{n}\|^{\frac {1}{n}}<1}$ $A$ $D(1,1)\subseteq \mathbb {C}$ $A^{\frac {1}{2}}$ $A$ ${\textstyle \left\|I-{\frac {A}{\|A\|}}\right\|\leq 1}$ ${\textstyle \left\|\left(I-{\frac {A}{\|A\|}}\right)^{n}\right\|\leq \left\|I-{\frac {A}{\|A\|}}\right\|^{n}\leq 1}$ ${\textstyle \|A\|^{\frac {1}{2}}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {1/2}{n}}\left(I-{\frac {A}{\|A\|}}\right)^{n}\right)}$ $A$

Итеративные решения

По итерации Денмана – Биверса

Другой способ найти квадратный корень из матрицы A размера n × n — это итерация квадратного корня Денмана – Биверса. ^[8]

Пусть Y0 = A и Z0 = I _, где I — единичная матрица _{размера}n × n . Итерация определяется

{\begin{aligned}Y_{k+1}&={\frac {1}{2}}\left(Y_{k}+Z_{k}^{-1}\right),\\Z_{k+1}&={\frac {1}{2}}\left(Z_{k}+Y_{k}^{-1}\right).\end{aligned}}

Поскольку при этом используется пара последовательностей обратных матриц, более поздние элементы которых изменяются сравнительно мало, только первые элементы имеют высокие вычислительные затраты, поскольку остаток можно вычислить из более ранних элементов всего за несколько проходов варианта метода Ньютона для вычисления обратных матриц .

X_{n+1}=2X_{n}-X_{n}BX_{n}.

При этом для более поздних значений $k$ можно было бы установить , а затем использовать для некоторых небольших (возможно, всего 1), и аналогично для $X_{0}=Z_{k-1}^{-1}$ $B=Z_{k},$ $Z_{k}^{-1}=X_{n}$ $n$ $Y_{k}^{-1}.$

Сходимость не гарантируется даже для матриц, которые имеют квадратные корни, но если процесс сходится, матрица сходится квадратично к квадратному корню $A$ ^1/2 и сходится к обратному $A$ ^−1/2 . $Y_{k}$ $Z_{k}$

По вавилонскому методу

Еще один итерационный метод получается путем применения известной формулы вавилонского метода вычисления квадратного корня из действительного числа и ее применения к матрицам. Пусть X ₀ = I , где I — единичная матрица . Итерация определяется

X_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(X_{k}+AX_{k}^{-1}\right)\,.

Опять же, сходимость не гарантируется, но если процесс сходится, матрица сходится квадратично к квадратному корню A ^1/2 . По сравнению с итерацией Денмана-Биверса преимущество вавилонского метода состоит в том, что на каждом шаге итерации необходимо вычислять только одну обратную матрицу . С другой стороны, поскольку итерация Денмана-Биверса использует пару последовательностей обратных матриц, более поздние элементы которых изменяются сравнительно мало, только первые элементы имеют высокие вычислительные затраты, поскольку остаток может быть вычислен из более ранних элементов всего за несколько проходов вариант метода Ньютона для вычисления обратных значений (см. итерацию Денмана – Биверса выше); конечно, тот же подход можно использовать для получения единственной последовательности обратных операций, необходимой для вавилонского метода. Однако, в отличие от итерации Денмана-Биверса, вавилонский метод численно нестабильен и, скорее всего, не сможет сходиться. ^[1] $X_{k}$

Вавилонский метод следует из метода Ньютона для уравнения и использования для всех ^[9] $X^{2}-A=0$ $AX_{k}=X_{k}A$ $k.$

Квадратные корни из положительных операторов

В линейной алгебре и теории операторов для ограниченного положительного полуопределенного оператора (неотрицательного оператора) T в комплексном гильбертовом пространстве B является квадратным корнем из T , если T = B* B , где B* обозначает эрмитово сопряженное к B . ^{[ нужна цитата ]} Согласно спектральной теореме , непрерывное функциональное исчисление может быть применено для получения оператора T ^1/2, такого, что T 1/2 ^сам по себе положителен и ( T ^1/2 ) ² = T. Оператор T ^1/2 является уникальным неотрицательным квадратным корнем из T . ^{[ нужна цитата ]}

Ограниченный неотрицательный оператор в комплексном гильбертовом пространстве по определению самосопряжен. Итак Т = ( Т ^1/2 )* Т ^1/2 . Обратно, тривиально верно, что всякий оператор вида В*В неотрицательен. Следовательно, оператор T неотрицательен тогда и только тогда, когда T = B* B для некоторого B (эквивалентно, T = CC* для некоторого C ).

Факторизация Холецкого представляет собой еще один частный пример квадратного корня, который не следует путать с уникальным неотрицательным квадратным корнем.

Унитарная свобода квадратных корней

Если T — неотрицательный оператор в конечномерном гильбертовом пространстве, то все квадратные корни из T связаны унитарными преобразованиями. Точнее, если T = A*A = B*B , то существует унитарный U такой, что A = UB .

Действительно, возьмем B = T^1/2быть уникальным неотрицательным квадратным корнем из T . Если T строго положительное, то B обратимо, и поэтому U = AB ⁻¹ унитарно:

{\begin{aligned}U^{*}U&=\left(\left(B^{*}\right)^{-1}A^{*}\right)\left(AB^{-1}\right)=\left(B^{*}\right)^{-1}T\left(B^{-1}\right)\\&=\left(B^{*}\right)^{-1}B^{*}B\left(B^{-1}\right)=I.\end{aligned}}

Если T неотрицательно, но не является строго положительным, то обратное B не может быть определено, но псевдообратное B ⁺Мура-Пенроуза может быть определено. В этом случае оператор B ⁺A является частичной изометрией , то есть унитарным оператором из области T в себя. Затем это можно расширить до унитарного оператора U во всем пространстве, установив его равным единице в ядре T . В более общем смысле, это верно в бесконечномерном гильбертовом пространстве, если, кроме того, T имеет замкнутый диапазон . В общем, если A , B — замкнутые и плотно определенные операторы в гильбертовом пространстве H и A* A = B* B , то A = UB , где U — частичная изометрия.

Некоторые приложения

Квадратные корни и унитарная свобода квадратных корней находят применение в функциональном анализе и линейной алгебре.

Полярное разложение

Если A — обратимый оператор в конечномерном гильбертовом пространстве, то существуют единственный унитарный оператор U и положительный оператор P такие, что

A=UP;

это полярное разложение A . Положительный оператор P является единственным положительным квадратным корнем положительного оператора A ^∗A , а U определяется формулой U = AP ⁻¹ .

Если A не обратима, то она все равно имеет полярную композицию, в которой P определяется таким же образом (и является единственной). Унитарный оператор U не единственен. Скорее, можно определить «естественный» унитарный оператор следующим образом: AP ⁺ — это унитарный оператор из области значений A до самого себя, который может быть продолжен тождеством в ядре A ^∗ . Результирующий унитарный оператор U затем дает полярное разложение A .

Операторы Крауса

По результату Чоя линейное отображение

\Phi :C^{n\times n}\to C^{m\times m}

вполне положителен тогда и только тогда, когда он имеет вид

\Phi (A)=\sum _{i}^{k}V_{i}AV_{i}^{*}

где k ≤ нм . Пусть { E _pq } ⊂ C ^{n × n} — n ² элементарных матричных единиц. Положительная матрица

M_{\Phi }=\left(\Phi \left(E_{pq}\right)\right)_{pq}\in C^{nm\times nm}

называется матрицей Чоя Φ. Операторы Крауса соответствуют, не обязательно квадратным, квадратным корням из M _Φ : для любого квадратного корня B из M _Φ_можно получить семейство операторов Крауса Vi , отменив операцию Vec для каждого столбца b _i из B . Таким образом, все множества операторов Крауса связаны частичными изометриями.

Смешанные ансамбли

В квантовой физике матрица плотности для n -уровневой квантовой системы представляет собой комплексную матрицу ρ размера n × n , положительно полуопределенную со следом 1. Если ρ можно выразить как

\rho =\sum _{i}p_{i}v_{i}v_{i}^{*}

где и Σ p _i = 1, множество $p_{i}>0$

\left\{p_{i},v_{i}\right\}

называется ансамблем , описывающим смешанное состояние ρ . Обратите внимание: { v _i } не обязательно должен быть ортогональным. Различные ансамбли, описывающие состояние ρ , связаны унитарными операторами через квадратные корни из ρ . Например, предположим

\rho =\sum _{j}a_{j}a_{j}^{*}.

Условие трассы 1 означает

\sum _{j}a_{j}^{*}a_{j}=1.

Позволять

p_{i}=a_{i}^{*}a_{i},

и v _i — нормализованное a _i . Мы видим, что

\left\{p_{i},v_{i}\right\}

дает смешанное состояние ρ .

Смотрите также

Примечания

^ ab Хайэм, Николас Дж. (апрель 1986 г.), «Метод Ньютона для квадратного корня матрицы» (PDF) , Mathematics of Computing , 46 (174): 537–549, doi : 10.2307/2007992, JSTOR 2007992
^ Митчелл, Дуглас В. (ноябрь 2003 г.). «Использование троек Пифагора для получения квадратных корней из I 2 {\displaystyle I_{2}}». Математический вестник . 87 (510): 499–500. дои : 10.1017/s0025557200173723 .
^ abc Horn & Johnson (2013), с. 439, теорема 7.2.6 с $k=2$
^ Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1990). Матричный анализ . Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать. п. 411. ИСБН 9780521386326.
^
Об аналитических функциях матриц см.
- Хайэм 2008
- Хорн и Джонсон, 1994 г.
^
О голоморфном функциональном исчислении см.:
- Рудин 1991 г.
- Бурбаки 2007
- Конвей 1990 г.
^ Дедман, Эдвин; Хайэм, Николас Дж.; Ралха, Руи (2013), «Блокированные алгоритмы Шура для вычисления квадратного корня матрицы» (PDF) , Applied Parallel and Scientific Computing , Springer Berlin Heidelberg, стр. 171–182, doi : 10.1007/978-3-642-36803- 5_12, ISBN 978-3-642-36802-8
^ Денман и Бобры 1976; Ченг и др. 2001 г.
^ Хайэм, Николас Дж. (1997). «Стабильные итерации для квадратного корня матрицы». Численные алгоритмы . 15 (2): 227–242. Бибкод : 1997NuAlg..15..227H. дои : 10.1023/А: 1019150005407.