Квадратура Гаусса – Эрмита

Форма гауссовой квадратуры

Веса в зависимости от x _i для четырех вариантов n

В численном анализе квадратура Гаусса–Эрмита представляет собой форму квадратуры Гаусса для аппроксимации значения интегралов следующего вида:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)\,dx.}$

В этом случае

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})}$

где n — количество используемых точек выборки. X i являются корнями физической версии полинома Эрмита H _n ( x ) ( i = 1,2,..., n ), а соответствующие веса w _i определяются формулой _[ ^1]

${\displaystyle w_{i}={\frac {2^{n-1}n!{\sqrt {\pi }}}{n^{2}[H_{n-1}(x_{i})]^{2}}}.}$

Пример с заменой переменной

Рассмотрим функцию h(y) , где переменная y имеет нормальное распределение : . Ожидание h соответствует следующему интегралу : ${\displaystyle y\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

${\displaystyle E[h(y)]=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(y-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)h(y)dy}$

Поскольку это не совсем соответствует полиному Эрмита, нам нужно заменить переменные:

${\displaystyle x={\frac {y-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\Leftrightarrow y={\sqrt {2}}\sigma x+\mu }$

В сочетании с интегрированием заменой получаем:

${\displaystyle E[h(y)]=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\exp(-x^{2})h({\sqrt {2}}\sigma x+\mu )dx}$

что приводит к:

${\displaystyle E[h(y)]\approx {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}h({\sqrt {2}}\sigma x_{i}+\mu )}$

Рекомендации

1. Абрамовиц, М. и Стегун, И.А., Справочник по математическим функциям , 10-е издание с исправлениями (1972), Дувр, ISBN  978-0-486-61272-0 . Уравнение 25.4.46.

• Олвер, Фрэнк WJ ; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В., ред. (2010), «Квадратура: формула Гаусса – Эрмита», Справочник NIST по математическим функциям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
• Шао, Т.С.; Чен, TC; Франк, РМ (1964). «Таблицы нулей и гауссовских весов некоторых связанных полиномов Лагерра и связанных с ними обобщенных полиномов Эрмита». Математика. Комп . 18 (88): 598–616. дои : 10.1090/S0025-5718-1964-0166397-1 . МР  0166397.
• Стин, Нью-Мексико; Бирн, Джорджия; Гелбард, Э.М. (1969). "Гауссовы квадратуры для интегралов ∫ 0 ∞ е - Икс 2 ж ( Икс ) d Икс {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty } e ^ {- x ^ {2}} f (x) dx} и ∫ 0 б е - Икс 2 ж ( Икс ) d Икс {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {0} ^ {b} e ^ {-x ^ {2}} f (x) dx} ". Математика. Комп . 23 (107): 661–671. дои : 10.1090/S0025-5718-1969-0247744-3 . МР  0247744.
• Шизгал, Б. (1981). «Квадратурная процедура Гаусса для использования при решении уравнения Больцмана и связанных с ним задач». Дж. Компьютер. Физ . 41 : 309–328. дои : 10.1016/0021-9991(81)90099-1.

Внешние ссылки

• Таблицы абсцисс Гаусса-Эрмита и весов до порядка n = 32 см. http://www.efunda.com/math/num_integration/findgausshermite.cfm.
• Обобщенная квадратура Гаусса – Эрмита, бесплатное программное обеспечение на C++, Fortran и Matlab.