В математике , в частности в геометрии , квадратура (также называемая возведением в квадрат ) — исторический процесс построения квадрата с той же площадью, что и заданная плоская фигура , или вычисления числового значения этой площади . Классическим примером является квадратура круга (или квадратура круга). Квадратурные задачи служили одним из основных источников проблем в развитии исчисления . Они вводят важные темы в математический анализ .
Греческие математики понимали определение площади фигуры как процесс геометрического построения квадрата, имеющего ту же площадь ( квадратирование ), отсюда и название этого процесса — квадратура . Греческие геометры не всегда добивались успеха (см. квадратура круга ), но они проводили квадратуры некоторых фигур, стороны которых не были просто отрезками прямых, таких как луночка Гиппократа и парабола . По определенной греческой традиции эти построения должны были выполняться с использованием только циркуля и линейки , хотя не все греческие математики придерживались этого изречения.
Для квадратуры прямоугольника со сторонами a и b необходимо построить квадрат со стороной ( средним геометрическим a и b ). Для этого можно воспользоваться следующим: если провести окружность с диаметром, полученным соединением отрезков длиной a и b , то высота ( BH на чертеже) отрезка, проведенного перпендикулярно диаметру, из точки их соединения до точки пересечения с окружностью, будет равна среднему геометрическому a и b . Аналогичное геометрическое построение решает задачи квадратуры параллелограмма и треугольника.
Задачи квадратуры для криволинейных фигур гораздо сложнее. В XIX веке было доказано , что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна. [1] [2] Тем не менее, для некоторых фигур квадратуру выполнить можно. Высшим достижением анализа в древности стали квадратуры поверхности сферы и сегмента параболы, открытые Архимедом .
Для доказательства этих результатов Архимед использовал метод исчерпывания, приписываемый Евдоксу . [3]
В средневековой Европе квадратура означала вычисление площади любым методом. Чаще всего использовался метод неделимых ; он был менее строг, чем геометрические построения греков, но он был проще и мощнее. С его помощью Галилео Галилей и Жиль де Роберваль нашли площадь циклоидальной дуги, Грегуар де Сен-Венсан исследовал площадь под гиперболой ( Opus Geometricum , 1647), [3] : 491 и Альфонс Антонио де Сараса , ученик и комментатор де Сен-Венсана, отметил связь этой площади с логарифмами . [3] : 492 [4]
Джон Уоллис алгебраизировал этот метод; он написал в своей Arithmetica Infinitorum (1656) некоторые ряды, которые эквивалентны тому, что сейчас называется определенным интегралом , и вычислил их значения. Исаак Барроу и Джеймс Грегори добились дальнейшего прогресса: квадратуры для некоторых алгебраических кривых и спиралей . Христиан Гюйгенс успешно выполнил квадратуру площади поверхности некоторых тел вращения .
Квадратура гиперболы Грегуара де Сен-Венсана и А. А. де Сараса дала новую функцию , натуральный логарифм , имеющую решающее значение. С изобретением интегрального исчисления появился универсальный метод вычисления площади. В ответ на это термин квадратура стал традиционным, и вместо него более широко используется современная фраза нахождение площади для того, что технически является вычислением одномерного определенного интеграла .
