Квазиабелева категория

В математике , в частности в теории категорий , квазиабелева категория — это предабелева категория , в которой выталкивание ядра вдоль произвольных морфизмов снова является ядром и, что двойственно, выталкивание коядра вдоль произвольных морфизмов снова является коядром.

Квазиабелева категория — это точная категория . ^{[ требуется ссылка ]}

Определение

Пусть будет предабелевой категорией . Морфизм является ядром ( коядром ), если существует морфизм такой, что является ядром (коядром) категории . Категория является квазиабелевой , если для каждого ядра и каждого морфизма в диаграмме pushout ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle h:X\rightarrow Z}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}X&{\xrightarrow {f}}&Y\\\downarrow _{h}&&\downarrow _{h'}\\Z&{\xrightarrow {f'}}&Q\end{array}}}$

морфизм снова является ядром и, двойственно, для каждого коядра и каждого морфизма в диаграмме обратного вывода ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle g:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle h:Z\rightarrow Y}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}P&{\xrightarrow {g'}}&Z\\\downarrow _{h'}&&\downarrow _{h}\\X&{\xrightarrow {g}}&Y\end{array}}}$

морфизм снова является коядром. ${\displaystyle g'}$

Эквивалентно, квазиабелева категория — это предабелева категория, в которой система всех пар ядро-коядро образует точную структуру .

Учитывая предабелеву категорию, те ядра, которые стабильны при произвольных выталкиваниях, иногда называются полустабильными ядрами . Двойственно, коядра, которые стабильны при произвольных выталкиваниях, называются полустабильными коядрами . ^[1]

Характеристики

Пусть — морфизм в квазиабелевой категории. Тогда индуцированный морфизм всегда является биморфизмом , т.е. мономорфизмом и эпиморфизмом . Квазиабелева категория поэтому всегда полуабелева . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:\operatorname {cok} \ker f\to \ker \operatorname {cok} f}$

Примеры и не примеры

Каждая абелева категория является квазиабелевой. Типичные неабелевы примеры возникают в функциональном анализе. ^[2]

• Категория банаховых пространств является квазиабелевой.
• Категория пространств Фреше является квазиабелевой.
• Категория ( хаусдорфовых ) локально выпуклых пространств является квазиабелевой.

Вопреки утверждению Бейлинсона, ^[3] категория полных отделимых топологических векторных пространств с линейной топологией не является квазиабелевой. ^[4] С другой стороны, категория (произвольных или хаусдорфовых) топологических векторных пространств с линейной топологией является квазиабелевой. ^[4]

История

Понятие квазиабелевой категории было разработано в 1960-х годах. История вопроса здесь не обошлась без истории. ^[5] Это, в частности, связано с гипотезой Райкова , который утверждал, что понятие полуабелевой категории эквивалентно понятию квазиабелевой категории. Около 2005 года выяснилось, что эта гипотеза ложна. ^[6]

Левые и правые квазиабелевы категории

Разделив два условия в определении, можно определить левые квазиабелевы категории , потребовав, чтобы коядра были устойчивы при обратных вытягиваниях, и правые квазиабелевы категории , потребовав, чтобы ядра были устойчивы при выталкиваниях. ^[7]

Цитаты

1. Ричман и Уокер, 1977.
2. Просманс, 2000.
3. Бейлинсон, А (2008). «Замечания о топологических алгебрах». Московский математический журнал . 8 (1).
4. Positselski, Leonid (2024). "Точные категории топологических векторных пространств с линейной топологией". Московский математический журнал . 24 (2): 219–286.
5. Рамп, 2008, стр. 986f.
6. Рамп, 2011, стр. 44f.
7. Рамп, 2001.

Ссылки

• Фабьен Просманс, Производные категории для функционального анализа. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 36(5–6), 19–83 (2000).
• Фред Ричман и Элберт А. Уокер, Ext в доабелевых категориях. Pac. J. Math. 71(2), 521–535 (1977).
• Вольфганг Рамп, Контрпример к гипотезе Райкова, Bull. London Math. Soc. 40, 985–994 (2008).
• Вольфганг Рамп, Почти абелевы категории, Cahiers Topologie Géom. Дифференциальная категория. 42(3), 163–225 (2001).
• Вольфганг Румп, Анализ проблемы Райкова с приложениями к бочкообразным и борнологическим пространствам, J. Pure and Appl. Algebra 215, 44–52 (2011).
• Жан Пьер Шнайдерс, Квазиабелевы категории и пучки, Mém. Соц. Математика. о. Нов. Сер. 76 (1999).