Квазиполное пространство

В функциональном анализе топологическое векторное пространство (TVS) называется квазиполным или ограниченно полным ^[1], если каждое замкнутое и ограниченное подмножество является полным . ^[2] Это понятие имеет большое значение для неметризуемых TVS . ^[2]

Характеристики

Каждый квазиполный TVS является последовательно полным . ^[2]
В квазиполном локально выпуклом пространстве замыкание выпуклой оболочки компактного подмножества снова компактно. ^[3]
В квазиполном хаусдорфовом TVS каждое предкомпактное подмножество является относительно компактным. ^[2]
Если $X$ — нормированное пространство $,$ а $Y$ — квазиполное локально выпуклое TVS, то множество всех компактных линейных отображений X в $Y$ является замкнутым векторным подпространством . ^[4] $L_{b}(X;Y)$
Каждое квазиполное инфраствольное пространство является бочкообразным. ^[5]
Если $X$ — квазиполное локально выпуклое пространство, то каждое слабо ограниченное подмножество непрерывного сопряженного пространства является сильно ограниченным . ^[5]
Квазиполное ядерное пространство X обладает свойством Гейне – Бореля $.$ ^[6]

Примеры и достаточные условия

Каждое полное TVS является квазиполным. ^[7] Произведение любого набора квазиполных пространств снова является квазиполным. ^[2] Проективный предел любого набора квазиполных пространств снова является квазиполным. ^[8] Каждое полурефлексивное пространство является квазиполным. ^[9]

Фактор квазиполного пространства по замкнутому векторному подпространству может не быть квазиполным.

Контрпримеры

Существует LB-пространство , которое не является квазиполным. ^[10]

Смотрите также

Полное топологическое векторное пространство – TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся в точку
Полное равномерное пространство – Топологическое пространство с понятием равномерных свойств

Ссылки

^ Вилански 2013, стр. 73.
^ abcde Шефер и Вольф 1999, стр. 27.
^ Шефер и Вольф 1999, стр. 201.
^ Шефер и Вольф 1999, стр. 110.
^ ab Schaefer & Wolff 1999, стр. 142.
^ Трев 2006, стр. 520.
^ Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 156–175.
^ Шефер и Вольф 1999, стр. 52.
^ Шефер и Вольф 1999, стр. 144.
^ Халилулла 1982, стр. 28–63.

Библиография

Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.
Wong, Yau-Chuen (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 726. Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC 5126158.