В математике квазипроективное многообразие в алгебраической геометрии — это локально замкнутое подмножество проективного многообразия , то есть пересечение внутри некоторого проективного пространства открытого по Зарискому и замкнутого по Зарискому подмножества. Аналогичное определение используется в теории схем , где квазипроективная схема — это локально замкнутая подсхема некоторого проективного пространства . [1]
Аффинное пространство является открытым по Зарисскому подмножеством проективного пространства , и поскольку любое замкнутое аффинное подмножество может быть выражено как пересечение проективного пополнения и аффинного пространства, вложенного в проективное пространство, это означает, что любое аффинное многообразие является квазипроективным. Существуют локально замкнутые подмножества проективного пространства, которые не являются аффинными, так что квазипроективность более общая, чем аффинность. Взятие дополнения одной точки в проективном пространстве размерности не менее 2 дает неаффинное квазипроективное многообразие. Это также пример квазипроективного многообразия, которое не является ни аффинным, ни проективным.
Поскольку квазипроективные многообразия обобщают как аффинные, так и проективные многообразия, их иногда называют просто многообразиями . Многообразия, изоморфные аффинным алгебраическим многообразиям как квазипроективные многообразия, называются аффинными многообразиями ; аналогично для проективных многообразий. Например, дополнение точки на аффинной прямой, т. е. , изоморфно нулевому множеству многочлена на аффинной плоскости. Как аффинное множество, оно не замкнуто, поскольку любой нуль многочлена на дополнении должен быть нулём на аффинной прямой. Для другого примера, дополнение любой коники в проективном пространстве размерности 2 является аффинным. Многообразия, изоморфные открытым подмножествам аффинных многообразий, называются квазиаффинными .
Квазипроективные многообразия локально аффинны в том же смысле, в каком многообразие локально евклидово : каждая точка квазипроективного многообразия имеет окрестность, которая является аффинным многообразием. Это дает базис аффинных множеств для топологии Зарисского на квазипроективном многообразии.
