Квазиэмпиризм в математике — попытка в философии математики направить внимание философов на математическую практику , в частности на отношения с физикой , общественными науками и вычислительной математикой , а не только на вопросы оснований математики . В этой дискуссии вызывают интерес несколько тем: связь эмпиризма ( см. Пенелопа Мэдди ) с математикой , вопросы, связанные с реализмом , важность культуры , необходимость применения и т. д.
Основной аргумент в пользу квазиэмпиризма заключается в том, что, хотя математика и физика часто считаются тесно связанными областями обучения, это может отражать когнитивные предубеждения человека . Утверждается, что, несмотря на строгое применение соответствующих эмпирических методов или математической практики в любой области, этого, тем не менее, будет недостаточно, чтобы опровергнуть альтернативные подходы.
Юджин Вигнер (1960) [1] отметил , что эта культура не обязательно должна ограничиваться математикой, физикой или даже людьми. Далее он заявил, что «чудо пригодности языка математики для формулирования законов физики — это чудесный дар, которого мы не понимаем и не заслуживаем. Мы должны быть благодарны за него и надеяться, что оно останется действительным в будущих исследованиях». и что к нашему удовольствию, хотя, возможно, и к нашему озадачению, оно распространится, к лучшему или к худшему, на широкие области знаний». Вигнер использовал несколько примеров, чтобы продемонстрировать, почему «замешательство» является подходящим описанием, например, показав, как математика добавляет к ситуационным знаниям способами, которые либо невозможны в противном случае, либо настолько выходят за рамки обычного мышления, что не заслуживают особого внимания. Еще одним примером может быть способность прогнозирования в смысле описания потенциальных явлений до их наблюдения, которая может быть подтверждена математической системой.
Вслед за Вигнером Ричард Хэмминг (1980) [2] написал о приложениях математики как о центральной теме этой темы и предположил, что успешное использование иногда может превзойти доказательство в следующем смысле: если теорема имеет очевидную достоверность благодаря применимости, позже доказательства, которые показывают, что доказательство теоремы проблематично, приведут скорее к попыткам подтвердить теорему, а не к попыткам переделать приложения или опровергнуть результаты, полученные на сегодняшний день. У Хэмминга было четыре объяснения «эффективности», которую мы видим в математике, и он определенно считал эту тему достойной обсуждения и изучения.
Для Уилларда Ван Ормана Куайна (1960) [3] существование — это только существование в структуре. Эта позиция актуальна для квазиэмпиризма, поскольку Куайн считает, что те же доказательства, которые поддерживают теоретизирование о структуре мира, совпадают с доказательствами, поддерживающими теоретизирование о математических структурах. [4]
Хилари Патнэм (1975) [5] заявила, что математика принимала неформальные доказательства и авторитетные доказательства, а также допускала и исправляла ошибки на протяжении всей своей истории. Кроме того, он заявил, что система доказательства теорем геометрии Евклида была уникальной для классических греков и не развивалась аналогичным образом в других математических культурах Китая , Индии и Аравии . Это и другие свидетельства побудили многих математиков отвергнуть ярлык платоников вместе с онтологией Платона , которая, наряду с методами и эпистемологией Аристотеля , служила основой онтологии западного мира с момента его зарождения. По-настоящему международная культура математики, как утверждали Патнэм и другие (1983) [6] , обязательно будет, по крайней мере, «квази»-эмпирической (принимающей «научный метод» для достижения консенсуса, если не эксперимента).
Имре Лакатос (1976), [7] который выполнил свою оригинальную работу по этой теме для своей диссертации (1961, Кембридж ), приводил доводы в пользу « исследовательских программ » как средства поддержки основы математики и считал мысленные эксперименты подходящими для математических открытий. . Лакатос, возможно, был первым, кто использовал «квазиэмпиризм» в контексте этой темы.
Несколько последних работ посвящены этой теме. Работы Грегори Чайтина и Стивена Вольфрама , хотя их позиции можно считать спорными, вполне применимы. Чайтин (1997/2003) [8] предполагает случайность, лежащую в основе математики, а Вольфрам ( Новый вид науки , 2002) [9] утверждает, что неразрешимость может иметь практическое значение, то есть быть чем-то большим, чем абстракция.
Еще одним уместным дополнением могут стать дискуссии, касающиеся интерактивных вычислений , особенно те, которые связаны со значением и использованием модели Тьюринга ( тезис Чёрча-Тьюринга , машины Тьюринга и т. д.).
Эти работы требуют большого объема вычислений и поднимают еще один набор проблем. Цитируя Чайтина (1997/2003):
Теперь все пошло кувырком. Все пошло вверх дном, не из-за каких-то философских аргументов, не из-за результатов Гёделя, или результатов Тьюринга, или моих собственных результатов о неполноте . Всё пошло вверх дном по очень простой причине — компьютер! [8] : 96
Еще одним примером является коллекция «Неразрешимых» в Wolfram ( A New Kind of Science , 2002) [9] .
В статье Вегнера «Принципы решения проблем» [10] 2006 года предполагается, что интерактивные вычисления могут помочь математике сформировать более подходящую структуру ( эмпирическую ), чем та, которая может быть основана только на рационализме . С этим аргументом связано то, что функция (даже рекурсивно связанная до бесконечности) является слишком простой конструкцией, чтобы справиться с реальностью сущностей, которые разрешают (посредством вычислений или какого-либо типа аналога) n-мерные (в общем смысле слова) системы.