Квазиэмпиризм в математике — это попытка в философии математики направить внимание философов на математическую практику , в частности, на отношения с физикой , социальными науками и вычислительной математикой , а не только на вопросы в основаниях математики . В этом обсуждении рассматриваются несколько тем: отношения эмпиризма (см. Пенелопа Мэдди ) с математикой , вопросы, связанные с реализмом , важность культуры , необходимость применения и т. д.
Основной аргумент в отношении квазиэмпиризма заключается в том, что, хотя математика и физика часто считаются тесно связанными областями изучения, это может отражать когнитивные предубеждения человека . Утверждается, что, несмотря на строгое применение соответствующих эмпирических методов или математической практики в любой из областей, этого все равно будет недостаточно, чтобы опровергнуть альтернативные подходы.
Юджин Вигнер (1960) [1] отметил , что эта культура не должна ограничиваться математикой, физикой или даже людьми. Он далее заявил, что «чудо пригодности языка математики для формулирования законов физики — это чудесный дар, который мы не понимаем и не заслуживаем. Мы должны быть благодарны за него и надеяться, что он останется актуальным в будущих исследованиях и что он распространится, к лучшему или к худшему, к нашему удовольствию, хотя, возможно, также и к нашему озадачиванию, на широкие отрасли знаний». Вигнер использовал несколько примеров, чтобы продемонстрировать, почему «озадачивание» является подходящим описанием, например, показывая, как математика дополняет ситуационное знание способами, которые либо невозможны в противном случае, либо настолько выходят за рамки обычного мышления, что малозаметны. Предсказательная способность в смысле описания потенциальных явлений до наблюдения таковых, которая может быть поддержана математической системой, была бы еще одним примером.
Продолжая Вигнера , Ричард Хэмминг (1980) [2] писал о приложениях математики как о центральной теме этой темы и предположил, что успешное использование иногда может превзойти доказательство в следующем смысле: там, где теорема имеет очевидную достоверность через применимость, более поздние доказательства, показывающие, что доказательство теоремы проблематично, приведут скорее к попыткам подтвердить теорему, чем к попыткам переделать приложения или отрицать результаты, полученные на сегодняшний день. Хэмминг дал четыре объяснения «эффективности», которую мы видим в математике, и определенно считал эту тему достойной обсуждения и изучения.
Для Уилларда Ван Ормана Куайна (1960) [3] существование есть только существование в структуре. Эта позиция имеет отношение к квазиэмпиризму, поскольку Куайн считает, что те же самые доказательства, которые поддерживают теоретизирование о структуре мира, являются теми же самыми, что и доказательства, поддерживающие теоретизирование о математических структурах. [4]
Хилари Патнэм (1975) [5] заявил, что математика принимала неформальные доказательства и доказательства авторитетом, и делала и исправляла ошибки на протяжении всей своей истории. Кроме того, он заявил, что система доказательства теорем геометрии Евклида была уникальной для классических греков и не развивалась аналогичным образом в других математических культурах Китая , Индии и Аравии . Это и другие свидетельства заставили многих математиков отвергнуть ярлык платоников , вместе с онтологией Платона , которая, наряду с методами и эпистемологией Аристотеля , служила основой онтологии для западного мира с самого его начала. По-настоящему международная культура математики, как утверждали Патнэм и другие (1983) [6] , обязательно будет по крайней мере «квази»-эмпирической (охватывающей «научный метод» для консенсуса, если не эксперимента).
Имре Лакатос (1976), [7], который сделал свою оригинальную работу по этой теме для своей диссертации (1961, Кембридж ), выступал за « исследовательские программы » как средство поддержки основы математики и считал мысленные эксперименты подходящими для математических открытий. Лакатос, возможно, был первым, кто использовал «квазиэмпиризм» в контексте этого предмета.
Несколько недавних работ относятся к этой теме. Работы Грегори Чайтина и Стивена Вольфрама , хотя их позиции можно считать спорными, применимы. Чайтин (1997/2003) [8] предполагает, что в математике лежит случайность, а Вольфрам ( Новый вид науки , 2002) [9] утверждает, что неразрешимость может иметь практическое значение, то есть быть чем-то большим, чем абстракция.
Другим важным дополнением могли бы стать обсуждения, касающиеся интерактивных вычислений , особенно тех, которые связаны со значением и использованием модели Тьюринга ( тезис Чёрча-Тьюринга , машины Тьюринга и т. д.).
Эти работы в значительной степени вычислительны и поднимают другой ряд вопросов. Цитируя Чайтина (1997/2003):
Теперь все перевернулось с ног на голову. Перевернулось с ног на голову, не из-за какого-то философского аргумента, не из-за результатов Гёделя или Тьюринга или моих собственных результатов неполноты. Перевернулось с ног на голову по очень простой причине — из-за компьютера! [8] : 96
Другим примером является сборник «Неразрешимых» в книге Вольфрама ( Новый вид науки , 2002) [9] .
В статье Вегнера 2006 года «Принципы решения проблем» [10] предполагается, что интерактивные вычисления могут помочь математике сформировать более подходящую структуру ( эмпирическую ), чем та, которая может быть основана только с помощью рационализма . С этим аргументом связано то, что функция (даже рекурсивно связанная до бесконечности) является слишком простой конструкцией, чтобы справиться с реальностью сущностей, которые разрешают (через вычисления или какой-либо тип аналоговых) n-мерные (общий смысл слова) системы.