В математике кванталами называют некоторые частично упорядоченные алгебраические структуры , обобщающие локали ( бесточечные топологии ), а также различные мультипликативные решетки идеалов из теории колец и функционального анализа ( С * -алгебры , алгебры фон Неймана ). Кванталы иногда называют полными оставшимися полугруппами .
Квантал — это полная решетка Q с ассоциативной бинарной операцией ∗: Q × Q → Q , называемой ее умножением , удовлетворяющей такому дистрибутивному свойству, что
и
для всех x , yi в Q , i в I (здесь I — любой набор индексов ). Квантал является единицей , если он имеет единичный элемент e для его умножения:
для всех x в Q. В этом случае квантал естественным образом является моноидом относительно своего умножения ∗.
Квантал с единицей может быть эквивалентно определен как моноид в категории Sup полурешеток полного соединения.
Квантал с единицей — это идемпотентное полукольцо относительно соединения и умножения.
Квантал с единицей, в котором единица является верхним элементом базовой решетки, называется строго двусторонним (или просто целым ).
Коммутативный квантал — это квантал, умножение которого коммутативно . Фрейм с его умножением, заданным операцией встречи , является типичным примером строго двустороннего коммутативного кванта. Другой простой пример — единичный интервал вместе с его обычным умножением .
Идемпотентный квантал — это квантал, умножение которого идемпотентно . Фрейм — это то же самое , что идемпотентный строго двусторонний квантал.
Инволютивный квантал – это квантал с инволюцией.
который сохраняет соединения:
Квантальный гомоморфизм — это отображение f : Q 1 → Q 2 , которое сохраняет соединения и умножения для всех x , y , xi в Q 1 и i в I :
