Обобщенный квантификатор

Выражение, обозначающее множество множеств в формальной семантике

В формальной семантике обобщенный квантификатор ( GQ ) — это выражение, обозначающее множество множеств . Это стандартная семантика, назначенная квантифицированным именным группам . Например, обобщенный квантификатор every boy обозначает множество множеств, членом которого является every boy: $${\displaystyle \{X\mid \forall x(x{\text{ is a boy}}\to x\in X)\}}$$

Такая трактовка квантификаторов имела важное значение для достижения композиционной семантики предложений, содержащих квантификаторы. ^{[1] [2]}

Теория типов

Версия теории типов часто используется для того, чтобы сделать семантику различных видов выражений явной. Стандартная конструкция определяет набор типов рекурсивно следующим образом:

1. e и t — это типы.
2. Если a и b оба являются типами, то и ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$
3. Ничто не является типом, кроме того, что может быть построено на основе строк 1 и 2 выше.

Учитывая это определение, мы имеем простые типы e и t , а также счетную бесконечность сложных типов, некоторые из которых включают в себя: $${\displaystyle \langle e,t\rangle ;\qquad \langle t,t\rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle ;\qquad \langle e,\langle e,t\rangle \rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle ;\qquad \ldots }$$

• Выражения типа e обозначают элементы универсума дискурса , множества сущностей, о которых идет речь. Это множество обычно записывается как . Примерами выражений типа e являются Джон и он . ${\displaystyle D_{e}}$
• Выражения типа t обозначают значение истинности , обычно представляемое как множество , где 0 означает «ложь», а 1 означает «истина». Примерами выражений, которые иногда называют выражениями типа t, являются предложения или пропозиции . ${\displaystyle \{0,1\}}$
• Выражения типа обозначают функции из множества сущностей в множество значений истинности. Этот набор функций отображается как . Такие функции являются характеристическими функциями множеств . Они отображают каждую особь, которая является элементом множества, как «истина», а все остальное как «ложь». Обычно говорят, что они обозначают множества , а не характеристические функции, хотя, строго говоря, последнее более точно. Примерами выражений этого типа являются предикаты , существительные и некоторые виды прилагательных . ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$ ${\displaystyle D_{t}^{D_{e}}}$
• В общем случае выражения сложных типов обозначают функции из множества сущностей типа в множество сущностей типа , конструкцию можно записать следующим образом: . ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle D_{b}^{D_{a}}}$

Теперь мы можем присвоить типы словам в нашем предложении выше (Каждый мальчик спит) следующим образом.

• Тип(мальчик) = ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$
• Тип(спит) = ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$
• Тип(каждый) = ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle }$
• Тип(каждый мальчик) = ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

и поэтому мы можем видеть, что обобщенный квантификатор в нашем примере имеет тип ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

Таким образом, every обозначает функцию из множества в функцию из множества в истинностное значение. Иными словами, он обозначает функцию из множества в множество множеств. Это та функция, которая для любых двух множеств A,B , every ( A )( B )= 1 тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle A\subseteq B}$

Типизированное лямбда-исчисление

Полезным способом записи сложных функций является лямбда-исчисление . Например, можно записать значение sleeps как следующее лямбда-выражение, которое является функцией от отдельного x к предложению, что x sleeps . Такие лямбда-термы являются функциями, областью определения которых является то, что предшествует периоду, а диапазоном — тип того, что следует за периодом. Если x — это переменная, которая пробегает элементы , то следующий лямбда-терм обозначает функцию тождества для отдельных лиц: $${\displaystyle \lambda x.\mathrm {sleep} '(x)}$$ ${\displaystyle D_{e}}$ $${\displaystyle \lambda x.x}$$

Теперь мы можем записать значение каждого с помощью следующего лямбда-терма, где X,Y — переменные типа : ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$ $${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y}$$

Если мы сократим значение слов boy и sleeps как « B » и « S » соответственно, то получим, что предложение every boy sleeps now означает следующее: С помощью β-редукции и $${\displaystyle (\lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y)(B)(S)}$$ $${\displaystyle (\lambda Y.B\subseteq Y)(S)}$$ $${\displaystyle B\subseteq S}$$

Выражение every является детерминатором . В сочетании с существительным оно дает обобщенный квантификатор типа . ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

Характеристики

Монотонность

Монотонно увеличивающиеся GQ

Обобщенный квантификатор GQ называется монотонно возрастающим (также называется восходящим выводом), если для каждой пары множеств X и Y выполняется следующее:

если , то GQ( X ) влечет за собой GQ( Y ). ${\displaystyle X\subseteq Y}$

GQ каждого мальчика монотонно увеличивается. Например, множество вещей, которые быстро бегают, является подмножеством множества вещей, которые бегают . Поэтому первое предложение ниже влечет за собой второе:

1. Все мальчики быстро бегают.
2. Все мальчики бегают.

Монотонно уменьшающиеся GQ

Говорят, что GQ является монотонно убывающим (также называется нисходящим выводом ), если для каждой пары множеств X и Y выполняется следующее:

Если , то GQ( Y ) влечет за собой GQ( X ). ${\displaystyle X\subseteq Y}$

Примером монотонно убывающего GQ является no boy . Для этого GQ мы имеем, что первое предложение ниже влечет за собой второе.

1. Ни один мальчик не убегает.
2. Ни один мальчик не бегает быстро.

Лямбда-термин для определителя no следующий. Он говорит, что два множества имеют пустое пересечение . Монотонные убывающие GQ входят в число выражений, которые могут лицензировать элемент отрицательной полярности , такой как any . Монотонные возрастающие GQ не лицензируют элементы отрицательной полярности. $${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.X\cap Y=\emptyset }$$

1. Хорошо: Ни у одного мальчика нет денег .
2. Плохо: *У каждого парня есть деньги .

Немонотонные GQ

Говорят, что GQ немонотонно, если оно не является ни монотонно возрастающим, ни монотонно убывающим. Примером такого GQ является exact three boys . Ни одно из следующих предложений не влечет за собой другое.

1. Бежало ровно трое студентов.
2. Быстро бежали ровно три ученика.

Первое предложение не влечет второе. Тот факт, что число студентов, которые бежали, равно ровно трем, не влечет, что каждый из этих студентов бежал быстро , поэтому число студентов, которые сделали это, может быть меньше 3. И наоборот, второе предложение не влечет первое. Предложение точно трое студентов бежали быстро может быть истинным, даже если число студентов, которые просто бежали (т. е. не так быстро), больше 3.

Лямбда-терм для (комплексного) определителя ровно три выглядит следующим образом. Он говорит, что мощность пересечения между двумя множествами равна 3. $${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.|X\cap Y|=3}$$

Консервативность

Определитель D называется консервативным, если выполняется следующая эквивалентность: Например, следующие два предложения эквивалентны. $${\displaystyle D(A)(B)\leftrightarrow D(A)(A\cap B)}$$

1. Все мальчики спят.
2. Каждый мальчик — это мальчик, который спит.

Было высказано предположение, что все определители — в каждом естественном языке — консервативны. ^[2] Выражение only не является консервативным. Следующие два предложения не эквивалентны. Но на самом деле его не принято анализировать только как определитель . Скорее, его стандартно рассматривают как наречие , чувствительное к фокусу .

1. Спят только мальчики.
2. Спящие мальчики — это только мальчики.

Смотрите также

• Область действия (формальная семантика)
• Квантификатор Линдстрема
• Квантификатор ветвления

Ссылки

1. Монтегю, Ричард (1974). «Правильная обработка квантификации на английском языке». В Kulas, J.; Fetzer, JH; Rankin, TL (ред.). Философия, язык и искусственный интеллект (PDF) . Исследования когнитивных систем. Том 2. Springer, Дордрехт. С. 141–162. doi :10.1007/978-94-009-2727-8_7. ISBN 978-94-010-7726-2.
2. Barwise, Jon ; Cooper, Robin (1981). «Обобщенные квантификаторы и естественный язык». Лингвистика и философия . 4 (2): 159–219. doi :10.1007/BF00350139.

Дальнейшее чтение

• Стэнли Питерс; Даг Вестерстол (2006). Квантификаторы в языке и логике . Clarendon Press. ISBN 978-0-19-929125-0.
• Антонио Бадиа (2009). Квантификаторы в действии: обобщенная квантификация в запросах, логических и естественных языках . Springer. ISBN 978-0-387-09563-9.
• Wągiel M (2021). Субатомная квантификация (pdf) . Берлин: Language Science Press. doi : 10.5281/zenodo.5106382 . ISBN 978-3-98554-011-2.

Внешние ссылки

• Даг Вестерстол, 2011. «Обобщенные квантификаторы». Стэнфордская энциклопедия философии .