Квантовый канал

Основной объект теории квантовой связи

В квантовой теории информации квантовый канал — это канал связи, который может передавать как квантовую информацию , так и классическую информацию. Примером квантовой информации является состояние кубита . Примером классической информации является текстовый документ, передаваемый через Интернет .

Более формально, квантовые каналы — это полностью положительные (CP) сохраняющие след отображения между пространствами операторов. Другими словами, квантовый канал — это просто квантовая операция , рассматриваемая не просто как уменьшенная динамика системы, а как конвейер, предназначенный для передачи квантовой информации. (Некоторые авторы используют термин «квантовая операция», чтобы также включить карты с уменьшением следов, оставляя «квантовый канал» для карт, строго сохраняющих следы. ^[1] ).

Квантовый канал без памяти

Предположим на данный момент, что все пространства состояний рассматриваемых систем, классические или квантовые, конечномерны.

Слово «безпамять» в названии раздела имеет тот же смысл, что и в классической теории информации : выход канала в данный момент времени зависит только от соответствующего входа, а не от каких-либо предыдущих.

Картина Шрёдингера

Рассмотрим квантовые каналы, передающие только квантовую информацию. Это и есть квантовая операция , свойства которой мы сейчас суммируем.

Пусть и будут пространствами состояний (конечномерными гильбертовыми пространствами ) передающей и принимающей сторон канала соответственно. будет обозначать семейство операторов на В картине Шредингера чисто квантовый канал представляет собой отображение между матрицами плотности, действующими на и со следующими свойствами: ${\displaystyle H_{A}}$ ${\displaystyle H_{B}}$ ${\displaystyle L(H_{A})}$ ${\displaystyle H_{A}.}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle H_{A}}$ ${\displaystyle H_{B}}$

1. Как того требуют постулаты квантовой механики, оно должно быть линейным. ${\displaystyle \Phi }$
2. Поскольку матрицы плотности положительны, должен сохраняться конус положительных элементов. Другими словами, это положительная карта . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$
3. Если с системой связана вспомогательная система произвольной конечной размерности n , то индуцированное отображение , где I _n — тождественное отображение вспомогательной системы, также должно быть положительным. Следовательно, требуется, чтобы оно было положительным для всех n . Такие карты называются полностью положительными . ${\displaystyle I_{n}\otimes \Phi ,}$ ${\displaystyle I_{n}\otimes \Phi }$
4. Матрицы плотности имеют след 1, поэтому след должен сохраняться. ${\displaystyle \Phi }$

Прилагательные « полностью положительный» и «сохраняющий след» , используемые для описания карты, иногда сокращаются до CPTP . В литературе иногда четвертое свойство ослабляется настолько, что требуется только не увеличивать его следы. В этой статье предполагается, что все каналы являются CPTP. ${\displaystyle \Phi }$

картина Гейзенберга

Матрицы плотности, действующие на H _A, составляют только собственное подмножество операторов на H _A, и то же самое можно сказать и о системе B. Однако, как только задано линейное отображение между матрицами плотности, стандартный аргумент линейности вместе с предположением о конечномерности позволяет нам однозначно расширить его на все пространство операторов. Это приводит к присоединенному отображению , которое описывает действие в картине Гейзенберга : ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ ${\displaystyle \Phi }$

Пространства операторов L ( HA ₎ и L ( HB ) являются гильбертовыми пространствами со скалярным произведением Гильберта– _Шмидта . Поэтому, рассматривая отображение гильбертовых пространств, мы получаем его сопряженное ^*, заданное формулой ${\displaystyle \Phi :L(H_{A})\rightarrow L(H_{B})}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \langle A,\Phi (\rho )\rangle =\langle \Phi ^{*}(A),\rho \rangle .}$

В то время как переводит состояния A в состояния B , отображает наблюдаемые в системе B в наблюдаемые в A. Эта связь такая же, как между описаниями динамики Шредингером и Гейзенбергом. Статистика измерений остается неизменной независимо от того, считаются ли наблюдаемые фиксированными, пока состояния находятся в работе, или наоборот. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{*}}$

Можно непосредственно проверить, что if предполагается сохранением трассировки, является единичным , то есть . С физической точки зрения это означает, что в картине Гейзенберга тривиальная наблюдаемая остается тривиальной после применения канала. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ ${\displaystyle \Phi ^{*}(I)=I}$

Классическая информация

До сих пор мы определили только квантовый канал, который передает только квантовую информацию. Как указано во введении, вход и выход канала также могут включать в себя классическую информацию. Чтобы описать это, приведенную до сих пор формулировку необходимо несколько обобщить. Чисто квантовый канал в картине Гейзенберга представляет собой линейное отображение Ψ между пространствами операторов:

${\displaystyle \Psi :L(H_{B})\rightarrow L(H_{A})}$

то есть единый и полностью положительный ( CP ). Операторные пространства можно рассматривать как конечномерные С*-алгебры . Следовательно, мы можем сказать, что канал — это единичное CP-отображение между C*-алгебрами:

${\displaystyle \Psi :{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}.}$

Классическая информация может быть включена в эту формулировку. Наблюдаемыми классической системы можно считать коммутативную С*-алгебру, т. е. пространство непрерывных функций на некотором множестве . Мы предполагаем, что оно конечно, поэтому его можно отождествить с n -мерным евклидовым пространством с поэлементным умножением. ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Следовательно, в картине Гейзенберга, если классическая информация является частью, скажем, входных данных, мы бы определили включение соответствующих классических наблюдаемых. Примером может служить канал ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle \Psi :L(H_{B})\otimes C(X)\rightarrow L(H_{A}).}$

Обратите внимание , что это по-прежнему C*-алгебра. Элемент С*-алгебры называется положительным, если для некоторого . Соответственно определяется позитивность карты. Эта характеристика не является общепринятой; квантовый инструмент иногда называют обобщенной математической основой для передачи как квантовой, так и классической информации. В аксиоматизациях квантовой механики классическая информация переносится в алгебре Фробениуса или категории Фробениуса . ${\displaystyle L(H_{B})\otimes C(X)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a=x^{*}x}$ ${\displaystyle x}$

Примеры

Эволюция времени

Для чисто квантовой системы временная эволюция в определенный момент времени t определяется выражением

${\displaystyle \rho \rightarrow U\rho \;U^{*},}$

где и H — гамильтониан , а t — время. Очевидно, что это дает карту CPTP в картине Шредингера и, следовательно, является каналом. Двойное отображение на картине Гейзенберга — это ${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$

${\displaystyle A\rightarrow U^{*}AU.}$

Ограничение

Рассмотрим составную квантовую систему с пространством состояний. Для состояния ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$

${\displaystyle \rho \in H_{A}\otimes H_{B},}$

приведенное состояние ρ в системе A , ρ ^A , получается путем взятия частичного следа ρ относительно системы B :

${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\;\rho .}$

Операция частичной трассировки представляет собой CPTP-карту, то есть квантовый канал в картине Шрёдингера. На картинке Гейзенберга двойная карта этого канала имеет вид

${\displaystyle A\rightarrow A\otimes I_{B},}$

где A — наблюдаемая системы A.

наблюдаемый

Наблюдаемая связывает числовое значение с квантово-механическим эффектом . предполагается, что это положительные операторы, действующие в соответствующем пространстве состояний и . (Такой набор называется POVM .) В картине Гейзенберга соответствующая наблюдаемая карта отображает классическую наблюдаемую ${\displaystyle f_{i}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\textstyle \sum _{i}F_{i}=I}$ ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\in C(X)}$

к квантовомеханическому

${\displaystyle \;\Psi (f)=\sum _{i}f_{i}F_{i}.}$

Другими словами, нужно интегрировать f с POVM , чтобы получить квантовомеханическую наблюдаемую. Легко проверить, что CP и унитарно. ${\displaystyle \Psi }$

Соответствующее отображение Шрёдингера переводит матрицы плотности в классические состояния: ${\displaystyle \Psi ^{*}}$

${\displaystyle \Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\langle F_{1},\rho \rangle \\\vdots \\\langle F_{n},\rho \rangle \end{bmatrix}},}$

где внутренний продукт представляет собой внутренний продукт Гильберта – Шмидта. Более того, рассматривая состояния как нормализованные функционалы и используя теорему о представлении Рисса , мы можем положить

${\displaystyle \Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}.}$

Инструмент

Наблюдаемое отображение в картине Шредингера имеет чисто классическую выходную алгебру и, следовательно, описывает только статистику измерений. Чтобы также принять во внимание изменение состояния, мы определим то, что называется квантовым инструментом . Пусть это эффекты (POVM), связанные с наблюдаемой. В картине Шрёдингера инструмент — это карта с чистым квантовым входом и выходным пространством : ${\displaystyle \{F_{1},\dots ,F_{n}\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \rho \in L(H)}$ ${\displaystyle C(X)\otimes L(H)}$

${\displaystyle \Phi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\cdot F_{1}\\\vdots \\\rho (F_{n})\cdot F_{n}\end{bmatrix}}.}$

Позволять

${\displaystyle f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\in C(X).}$

Двойное отображение на картине Гейзенберга — это

${\displaystyle \Psi (f\otimes A)={\begin{bmatrix}f_{1}\Psi _{1}(A)\\\vdots \\f_{n}\Psi _{n}(A)\end{bmatrix}}}$

где определяется следующим образом: Коэффициент (это всегда можно сделать, поскольку элементы POVM положительны), затем . Мы видим, что это CP и унитарно. ${\displaystyle \Psi _{i}}$ ${\displaystyle F_{i}=M_{i}^{2}}$ ${\displaystyle \;\Psi _{i}(A)=M_{i}AM_{i}}$ ${\displaystyle \Psi }$

Обратите внимание, что это дает именно наблюдаемую карту. Карта ${\displaystyle \Psi (f\otimes I)}$

${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(A)=\sum _{i}\Psi _{i}(A)=\sum _{i}M_{i}AM_{i}}$

описывает общее изменение состояния.

Измерить и подготовить канал

Предположим, две стороны A и B желают общаться следующим образом: A выполняет измерение наблюдаемой величины и передает результат измерения B классическим способом. Согласно полученному сообщению, Б подготавливает свою (квантовую) систему в определенное состояние. В картине Шрёдингера первая часть канала ₁ просто состоит из А, производящего измерение, т.е. это наблюдаемая карта: ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \;\Phi _{1}(\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}.}$

Если в случае i -го результата измерения B переводит свою систему в состояние R _i , вторая часть канала ₂ переводит приведенное выше классическое состояние в матрицу плотности ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi _{2}\left({\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}\right)=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.}$

Общая операция представляет собой композицию

${\displaystyle \Phi (\rho )=\Phi _{2}\circ \Phi _{1}(\rho )=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.}$

Каналы такой формы называются мерно-подготовительными или по -холево- форме.

В картине Гейзенберга двойственное отображение определяется формулой ${\displaystyle \Phi ^{*}=\Phi _{1}^{*}\circ \Phi _{2}^{*}}$

${\displaystyle \;\Phi ^{*}(A)=\sum _{i}R_{i}(A)F_{i}.}$

Канал измерения и подготовки не может быть картой идентичности. Это как раз и есть утверждение теоремы об отсутствии телепортации , которая гласит, что классическая телепортация (не путать с телепортацией с помощью запутывания ) невозможна. Другими словами, квантовое состояние не может быть надежно измерено.

В двойственности состояния канала канал является измеряемым и подготавливаемым тогда и только тогда, когда соответствующее состояние является отделимым . На самом деле все состояния, возникающие в результате частичного действия канала «измерь и подготовь», являются разделимыми, и по этой причине каналы «измерь и подготовь» также известны как каналы разрушения запутанности.

Чистый канал

Рассмотрим случай чисто квантового канала в картине Гейзенберга. В предположении, что все конечномерно, есть единичное CP-отображение между пространствами матриц. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi :\mathbb {C} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {C} ^{m\times m}.}$

По теореме Чоя о вполне положительных отображениях должно принимать вид ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi (A)=\sum _{i=1}^{N}K_{i}AK_{i}^{*}}$

где N ≤ нм . Матрицы K _i называются операторами Крауса (по имени немецкого физика Карла Крауса , который их ввёл). Минимальное число операторов Крауса называется рангом Крауса . Канал с рангом Крауса 1 называется чистым . Эволюция во времени является одним из примеров чистого канала. Эта терминология снова исходит из двойственности канала и состояния. Канал является чистым тогда и только тогда, когда его двойное состояние является чистым. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$

Телепортация

При квантовой телепортации отправитель желает передать произвольное квантовое состояние частицы возможно удаленному получателю. Следовательно, процесс телепортации является квантовым каналом. Аппаратура для самого процесса требует квантового канала для передачи одной частицы запутанного состояния приемнику. Телепортация происходит путем совместного измерения отправленной частицы и оставшейся запутанной частицы. Результатом этого измерения является классическая информация, которую необходимо отправить получателю для завершения телепортации. Важно отметить, что классическую информацию можно отправить после того, как квантовый канал перестал существовать.

В экспериментальной обстановке

Экспериментально простой реализацией квантового канала является оптоволоконная (или, если на то пошло, в свободном пространстве) передача одиночных фотонов . Одиночные фотоны могут передаваться на расстояние до 100 км по стандартному оптоволоконному кабелю, прежде чем потери начнут преобладать. Время прибытия фотона ( запутывание временных интервалов ) или поляризация используются в качестве основы для кодирования квантовой информации для таких целей, как квантовая криптография . Канал способен передавать не только базисные состояния (например , ), но и их суперпозиции (например, ). Когерентность состояния сохраняется при передаче по каналу . Сравните это с передачей электрических импульсов по проводам (классический канал), куда можно отправлять только классическую информацию (например, 0 и 1). ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle +|1\rangle }$

Пропускная способность канала

cb-норма канала

Прежде чем дать определение пропускной способности канала, необходимо обсудить предварительное понятие нормы полной ограниченности или cb-нормы канала. Рассматривая пропускную способность канала , нам необходимо сравнить ее с «идеальным каналом» . Например, когда входная и выходная алгебры идентичны, мы можем выбрать тождественную карту. Для такого сравнения требуется метрика между каналами. Поскольку канал можно рассматривать как линейный оператор, возникает соблазн использовать норму естественного оператора . Другими словами, близость канала к идеальному может быть определена как ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \|\Phi -\Lambda \|=\sup\{\|(\Phi -\Lambda )(A)\|\;|\;\|A\|\leq 1\}.}$

Однако норма оператора может увеличиться, если мы тензорируем тождественное отображение на некоторой вспомогательной функции. ${\displaystyle \Phi }$

Чтобы сделать норму оператора еще более нежелательным кандидатом, величина

${\displaystyle \|\Phi \otimes I_{n}\|}$

может неограниченно возрастать при Решение состоит в том, чтобы ввести для любого линейного отображения между C*-алгебрами cb-норму ${\displaystyle n\rightarrow \infty .}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \|\Phi \|_{cb}=\sup _{n}\|\Phi \otimes I_{n}\|.}$

Определение пропускной способности канала

Используемая здесь математическая модель канала аналогична классической .

Пусть – канал в картине Гейзенберга, – выбранный идеальный канал. Чтобы сделать сравнение возможным, необходимо кодировать и декодировать Φ с помощью соответствующих устройств, т. е. рассматривать композицию ${\displaystyle \Psi :{\mathcal {B}}_{1}\rightarrow {\mathcal {A}}_{1}}$ ${\displaystyle \Psi _{id}:{\mathcal {B}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2}}$

${\displaystyle {\hat {\Psi }}=D\circ \Phi \circ E:{\mathcal {B}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2}}$

где E — кодер, а D — декодер. В этом контексте E и D представляют собой унитальные CP-карты с соответствующими доменами. Сумма процентов является лучшим сценарием :

${\displaystyle \Delta ({\hat {\Psi }},\Psi _{id})=\inf _{E,D}\|{\hat {\Psi }}-\Psi _{id}\|_{cb}}$

при этом нижняя грань берется за все возможные кодеры и декодеры.

Для передачи слов длины n идеальный канал должен быть применен n раз, поэтому мы рассматриваем тензорную мощность

${\displaystyle \Psi _{id}^{\otimes n}=\Psi _{id}\otimes \cdots \otimes \Psi _{id}.}$

Операция описывает n входных данных, подвергающихся операции независимо, и является квантовомеханическим аналогом конкатенации . Аналогично, m вызовов канала соответствует . ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \Psi _{id}}$ ${\displaystyle {\hat {\Psi }}^{\otimes m}}$

Количество

${\displaystyle \Delta ({\hat {\Psi }}^{\otimes m},\Psi _{id}^{\otimes n})}$

Таким образом, это мера способности канала достоверно передавать слова длины n при вызове m раз.

Это приводит к следующему определению:

Неотрицательное действительное число r — это достижимая скорость относительно ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi _{id}}$ if

Для всех последовательностей где и мы имеем ${\displaystyle \{n_{\alpha }\},\{m_{\alpha }\}\subset \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m_{\alpha }\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \lim \sup _{\alpha }(n_{\alpha }/m_{\alpha })<r}$

${\displaystyle \lim _{\alpha }\Delta ({\hat {\Psi }}^{\otimes m_{\alpha }},\Psi _{id}^{\otimes n_{\alpha }})=0.}$

Последовательность можно рассматривать как представление сообщения, состоящего, возможно, из бесконечного числа слов. Условие предельного максимума в определении гласит, что в пределе точная передача может быть достигнута путем использования канала, длина которого не превышает r раз длины слова. Можно также сказать, что r — это количество букв за один вызов канала, которые могут быть отправлены без ошибок. ${\displaystyle \{n_{\alpha }\}}$

Пропускная способность канала относительно ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi _{id}}$ , ​​обозначаемая как верхняя грань всех достижимых скоростей. ${\displaystyle \;C(\Psi ,\Psi _{id})}$

Из определения совершенно очевидно, что 0 — это достижимая скорость для любого канала.

Важные примеры

Как говорилось ранее, для системы с наблюдаемой алгеброй идеальный канал по определению является тождественным отображением . Таким образом, для чисто n- мерной квантовой системы идеальный канал — это тождественное отображение в пространстве матриц размера n  ×  n . В качестве небольшого злоупотребления обозначениями этот идеальный квантовый канал также будет обозначаться . Аналогично, классическая система с выходной алгеброй будет иметь идеальный канал, обозначаемый тем же символом. Теперь мы можем сформулировать некоторые фундаментальные возможности каналов. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Psi _{id}}$ ${\displaystyle I_{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$

Пропускная способность классического идеального канала по отношению к квантовому идеальному каналу равна ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$

${\displaystyle C(\mathbb {C} ^{m},\mathbb {C} ^{n\times n})=0.}$

Это эквивалентно теореме об отсутствии телепортации: невозможно передать квантовую информацию по классическому каналу.

При этом имеют место следующие равенства:

${\displaystyle C(\mathbb {C} ^{m},\mathbb {C} ^{n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m},\mathbb {C} ^{n\times n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m},\mathbb {C} ^{n})={\frac {\log n}{\log m}}.}$

Вышесказанное, например, говорит о том, что идеальный квантовый канал не более эффективен при передаче классической информации, чем идеальный классический канал. Когда n = m , лучшее, чего можно достичь, — это один бит на кубит .

Здесь уместно отметить, что обе приведенные выше границы мощностей могут быть нарушены с помощью запутанности . Схема телепортации с помощью запутывания позволяет передавать квантовую информацию по классическому каналу. Сверхплотное кодирование . достигает двух бит на кубит . Эти результаты указывают на важную роль, которую играет запутанность в квантовой коммуникации.

Классические и квантовые пропускные способности каналов

Используя те же обозначения, что и в предыдущем подразделе, классическая пропускная способность канала Ψ равна

${\displaystyle C(\Psi ,\mathbb {C} ^{2}),}$

то есть это пропускная способность Ψ относительно идеального канала классической однобитовой системы . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Аналогично квантовая емкость Ψ равна

${\displaystyle C(\Psi ,\mathbb {C} ^{2\times 2}),}$

где системой отсчета теперь является система с одним кубитом . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}}$

Верность канала

Другая мера того, насколько хорошо квантовый канал сохраняет информацию, называется точностью канала и возникает из точности квантовых состояний .

Бистохастический квантовый канал

Бистохастический квантовый канал — это квантовый канал , который унитарен , ^[2] т.е. ${\displaystyle \Phi (\rho )}$ ${\displaystyle \Phi (I)=I}$

Смотрите также

• Теорема об отсутствии связи
• Канал демпфирования амплитуды
• Квантовый деполяризующий канал

Рекомендации

1. Видбрук, Кристиан; Пирандола, Стефано; Гарсиа-Патрон, Рауль; Серф, Николас Дж.; Ральф, Тимоти К.; Шапиро, Джеффри Х.; Ллойд, Сет (2012). «Гауссова квантовая информация». Обзоры современной физики . 84 (2): 621–669. arXiv : 1110.3234 . Бибкод : 2012RvMP...84..621W. doi : 10.1103/RevModPhys.84.621. S2CID  119250535.
2. Джон А. Холбрук, Дэвид В. Крибс и Раймонд Лафламм. «Бесшумные подсистемы и структура коммутанта при квантовом исправлении ошибок». Квантовая обработка информации . Том 2, номер 5, с. 381-419. Октябрь 2003 г.

• М. Кейл и Р. Ф. Вернер, Как исправить небольшие квантовые ошибки , Конспект лекций по физике, том 611, Springer, 2002.
• Уайльд, Марк М. (2017), Квантовая теория информации , Издательство Кембриджского университета, arXiv : 1106.1445 , Bibcode : 2011arXiv1106.1445W, doi : 10.1017/9781316809976.001, S2CID  2515538.