Квантовый предел

Квантовый предел в физике — это предел точности измерений в квантовых масштабах. ^[1] В зависимости от контекста предел может быть абсолютным (например, предел Гейзенберга ) или применяться только тогда, когда эксперимент проводится с естественными квантовыми состояниями (например, стандартный квантовый предел в интерферометрии) и может быть обойден с помощью усовершенствованных схем подготовки и измерения состояний.

Однако использование термина « стандартный квантовый предел» или SQL шире, чем просто интерферометрия. В принципе, любое линейное измерение квантово-механической наблюдаемой изучаемой системы, которая не коммутирует сама с собой в разное время, приводит к таким пределам. Короче говоря, причиной является принцип неопределенности Гейзенберга .

Схематическое описание того, как физический процесс измерения описывается в квантовой механике.

Более подробное объяснение будет заключаться в том, что любое измерение в квантовой механике включает в себя по крайней мере две стороны: Объект и Измеритель. Первая — это система, наблюдаемую которой, скажем , мы хотим измерить. Вторая — это система, которую мы соединяем с Объектом, чтобы вывести значение Объекта, записав некоторую выбранную наблюдаемую, , этой системы, например , положение указателя на шкале Измерителя. Это, в двух словах, модель большинства измерений, происходящих в физике, известных как косвенные измерения (см. стр. 38–42 ^[1] ). Таким образом, любое измерение является результатом взаимодействия, и оно действует в обоих направлениях. Поэтому Измеритель воздействует на Объект во время каждого измерения, обычно через величину, , сопряженную с считываемым наблюдаемым , тем самым возмущая значение измеряемой наблюдаемой и изменяя результаты последующих измерений. Это известно как обратное действие (квант) Измерителя на измеряемую систему. ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$

В то же время квантовая механика предписывает, что показания, наблюдаемые измерителем, должны иметь внутреннюю неопределенность, , аддитивную и независимую от значения измеряемой величины . Это известно как неточность измерения или шум измерения . Из-за принципа неопределенности Гейзенберга эта неточность не может быть произвольной и связана с возмущением обратного действия соотношением неопределенности : ${\displaystyle \delta {\hat {\mathcal {O}}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle \Delta {\mathcal {O}}\Delta {\mathcal {F}}\geqslant \hbar /2\,,}$

где — стандартное отклонение наблюдаемой величины , а — ожидаемое значение в любом квантовом состоянии системы. Равенство достигается, если система находится в состоянии минимальной неопределенности . Следствием для нашего случая является то, что чем точнее наше измерение, т. е. чем меньше , тем большее возмущение измеритель оказывает на измеряемую наблюдаемую величину . Таким образом, показания измерительного прибора, в общем случае, будут состоять из трех членов: ${\displaystyle \Delta a={\sqrt {\langle {\hat {a}}^{2}\rangle -\langle {\hat {a}}\rangle ^{2}}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \langle {\hat {a}}\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Delta {\mathcal {\delta O}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}={\hat {x}}_{\mathrm {free} }+\delta {\hat {\mathcal {O}}}+\delta {\hat {x}}_{BA}[{\hat {\mathcal {F}}}]\,,}$

где — значение, которое имел бы Объект, если бы он не был связан с Измерителем, а — возмущение значения, вызванное силой обратного действия, . Неопределенность последнего пропорциональна . Таким образом, существует минимальное значение или предел точности, которую можно получить при таком измерении, при условии, что и некоррелированы. ^{[2] [3]} ${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {free} }}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle \delta {\hat {x_{BA}}}[{\hat {\mathcal {F}}}]}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle \Delta {\mathcal {F}}\propto \Delta {\mathcal {O}}^{-1}}$ ${\displaystyle \delta {\hat {\mathcal {O}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$

Термины «квантовый предел» и «стандартный квантовый предел» иногда используются взаимозаменяемо. Обычно «квантовый предел» — это общий термин, который относится к любому ограничению измерения из-за квантовых эффектов, в то время как «стандартный квантовый предел» в любом данном контексте относится к квантовому пределу, который является вездесущим в этом контексте.

Примеры

Измерение смещения

Рассмотрим очень простую схему измерения, которая, тем не менее, воплощает все ключевые особенности измерения общего положения. В схеме, показанной на рисунке, последовательность очень коротких световых импульсов используется для контроля смещения тела зонда . Положение зондируется периодически с интервалом времени . Мы предполагаем массу достаточно большой, чтобы пренебречь смещением, вызванным регулярным (классическим) давлением излучения импульсов в ходе процесса измерения. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \vartheta }$ ${\displaystyle M}$

Упрощенная схема оптического измерения положения механического объекта

Тогда каждый -й импульс при отражении несет фазовый сдвиг, пропорциональный значению положения пробной массы в момент отражения: ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x(t_{j})}$

где , - частота света, - номер импульса, - начальная (случайная) фаза -го импульса. Мы предполагаем, что среднее значение всех этих фаз равно нулю, , а их среднеквадратическая неопределенность (RMS) равна . ${\displaystyle k_{p}=\omega _{p}/c}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle j=\dots ,-1,0,1,\dots }$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}_{j}\rangle =0}$ ${\displaystyle (\langle {\hat {\phi ^{2}}}\rangle -\langle {\hat {\phi }}\rangle ^{2})^{1/2}}$ ${\displaystyle \Delta \phi }$

Отраженные импульсы детектируются фазочувствительным устройством (фазовым детектором). Реализация оптического фазового детектора может быть выполнена с использованием, например, гомодинных или гетеродинных схем детектирования (см. раздел 2.3 в ^[2] и ссылки в нем) или других подобных методов считывания.

В этом примере фаза светового импульса служит считываемым наблюдаемым значением счетчика. Тогда мы предполагаем, что погрешность измерения фазы, вносимая детектором, намного меньше начальной неопределенности фаз . В этом случае начальная неопределенность будет единственным источником погрешности измерения положения: ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}^{\mathrm {refl} }}$ ${\displaystyle \Delta \phi }$

Для удобства перенормируем уравнение ( 1 ) как эквивалентное смещение тестовой массы:

где

${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})=-{\frac {{\hat {\phi }}_{j}}{2k_{p}}}}$

являются независимыми случайными величинами со среднеквадратичными неопределенностями, заданными уравнением ( 2 ).

При отражении каждый световой импульс толкает тестовую массу, передавая ей импульс обратного действия, равный

где и - значения импульса пробной массы непосредственно перед и сразу после отражения светового импульса, а - энергия -го импульса, которая играет роль обратного действия, наблюдаемого измерителем. Основная часть этого возмущения вносится классическим давлением излучения: ${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {before} }}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {after} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }\rangle ={\frac {2}{c}}{\mathcal {W}}\,,}$

со средней энергией импульсов. Поэтому можно было бы пренебречь его влиянием, поскольку оно могло бы быть либо вычтено из результата измерения, либо скомпенсировано исполнительным механизмом. Случайная часть, которую невозможно скомпенсировать, пропорциональна отклонению энергии импульса: ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

${\displaystyle {\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }-\langle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }\rangle ={\frac {2}{c}}{\bigl (}{\hat {\mathcal {W}}}_{j}-{\mathcal {W}}{\bigr )}\,,}$

и его среднеквадратичная неопределенность равна

со среднеквадратической неопределенностью энергии импульса. ${\displaystyle \Delta {\mathcal {W}}}$

Предполагая, что зеркало свободно (что является справедливым приближением, если временной интервал между импульсами намного короче периода колебаний подвешенного зеркала ), можно оценить дополнительное смещение, вызванное обратным действием -го импульса, которое внесет вклад в неопределенность последующего измерения на время импульса позже: ${\displaystyle \vartheta \ll T}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j+1}$ ${\displaystyle \vartheta }$

${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\frac {{\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})\vartheta }{M}}\,.}$

Его неопределенность будет просто

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\frac {\Delta {p}_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})\vartheta }{M}}\,.}$

Если мы теперь захотим оценить, насколько переместилось зеркало между импульсами и , т.е. его смещение , нам придется иметь дело с тремя дополнительными неопределенностями, которые ограничивают точность нашей оценки: ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j+1}$ ${\displaystyle \delta {\tilde {x}}_{j+1,j}={\tilde {x}}(t_{j+1})-{\tilde {x}}(t_{j})}$

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{j+1,j}={\Bigl [}(\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1}))^{2}+(\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j}))^{2}+(\Delta x_{\rm {b.a.}}(t_{j}))^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\,,}$

где мы предположили, что все вклады в нашу неопределенность измерений статистически независимы и, таким образом, получили суммарную неопределенность путем суммирования стандартных отклонений. Если мы далее предположим, что все световые импульсы подобны и имеют одинаковую фазовую неопределенность, то . ${\displaystyle \Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1})=\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j})\equiv \Delta x_{\rm {meas}}=\Delta \phi /(2k_{p})}$

Теперь, каков минимум этой суммы и какова минимальная ошибка, которую можно получить в этой простой оценке? Ответ следует из квантовой механики, если вспомнить, что энергия и фаза каждого импульса являются канонически сопряженными наблюдаемыми и, таким образом, подчиняются следующему соотношению неопределенностей:

${\displaystyle \Delta {\mathcal {W}}\Delta \phi \geq {\frac {\hbar \omega _{p}}{2}}\,.}$

Поэтому из уравнений ( 2 и 5 ) следует, что погрешность измерения положения и возмущение импульса из-за обратного воздействия также удовлетворяют соотношению неопределенностей: ${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }}$ ${\displaystyle \Delta p_{\mathrm {b.a.} }}$

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }\Delta p_{\mathrm {b.a.} }\geq {\frac {\hbar }{2}}\,.}$

Принимая во внимание это соотношение, минимальная неопределенность, которую должен иметь световой импульс, чтобы не слишком сильно возмущать зеркало, должна быть равна уступая для обоих . Таким образом, минимальная погрешность измерения смещения, предписываемая квантовой механикой, имеет вид: ${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }}$ ${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {b.a.} }}$ ${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {min} }={\sqrt {\frac {\hbar \vartheta }{2M}}}}$

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{j+1,j}\geqslant {\Bigl [}2(\Delta x_{\rm {meas}})^{2}+{\Bigl (}{\frac {\hbar \vartheta }{2M\Delta x_{\rm {meas}}}}{\Bigr )}^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\geqslant {\sqrt {\frac {3\hbar \vartheta }{2M}}}\,.}$

Это стандартный квантовый предел для такой процедуры с 2 импульсами. В принципе, если мы ограничим наше измерение только двумя импульсами и не будем беспокоиться о возмущении положения зеркала впоследствии, то неопределенность измерения второго импульса, , теоретически может быть снижена до 0 (конечно, это даст ), а предел погрешности измерения смещения снизится до: ${\displaystyle \Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1})}$ ${\displaystyle \Delta p_{\rm {b.a.}}(t_{j+1})\to \infty }$

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{SQL}={\sqrt {\frac {\hbar \vartheta }{M}}}\,,}$

который известен как стандартный квантовый предел для измерения смещения свободной массы.

Этот пример представляет собой простой частный случай линейного измерения . Этот класс схем измерения может быть полностью описан двумя линейными уравнениями вида~( 3 ) и ( 4 ), при условии, что как неопределенность измерения, так и возмущение обратного действия объекта ( и в этом случае) статистически независимы от начального квантового состояния тестового объекта и удовлетворяют тому же соотношению неопределенности, что и измеряемая наблюдаемая и ее канонически сопряженный аналог (положение и импульс объекта в этом случае). ${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})}$ ${\displaystyle {\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})}$

Использование в квантовой оптике

В контексте интерферометрии или других оптических измерений стандартный квантовый предел обычно относится к минимальному уровню квантового шума , который можно получить без сжатых состояний . ^[4]

Кроме того, существует квантовый предел для фазового шума , достижимый только с помощью лазера на высоких частотах шума.

В спектроскопии самая короткая длина волны в рентгеновском спектре называется квантовым пределом. ^[5]

Вводящая в заблуждение связь с классическим пределом

Обратите внимание, что из-за перегрузки слова «предел» классический предел не является противоположностью квантовому пределу. В «квантовом пределе» «предел» используется в смысле физического ограничения (например, предел Армстронга ). В «классическом пределе» «предел» используется в смысле предельного процесса . (Обратите внимание, что не существует простого строгого математического предела, который полностью восстанавливает классическую механику из квантовой механики, несмотря на теорему Эренфеста . Тем не менее, в формулировке квантовой механики в фазовом пространстве такие пределы более систематичны и практичны.)

Смотрите также

• Классический предел
• предел Гейзенберга
• Ультрарелятивистский предел

Ссылки и примечания

1. Брагинский, В. Б.; Халили, Ф. Я. (1992). Квантовое измерение . Cambridge University Press . ISBN 978-0521484138.
2. Данилишин, СЛ; Халили Ф. Я. (2012). "Квантовая теория измерений в детекторах гравитационных волн". Living Reviews in Relativity . 15 (5): 60. arXiv : 1203.1706 . Bibcode :2012LRR....15....5D. doi : 10.12942/lrr-2012-5 . PMC 5256003 . PMID  28179836. 
3. Чен, Яньбэй (2013). «Макроскопическая квантовая механика: теория и экспериментальные концепции оптомеханики». J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys . 46 (10): 104001. arXiv : 1302.1924 . Bibcode :2013JPhB...46j4001C. doi :10.1088/0953-4075/46/10/104001. S2CID  118570800.
4. Jaekel, MT; Reynaud, S. (1990). «Квантовые пределы в интерферометрических измерениях». Europhysics Letters . 13 (4): 301–306. arXiv : quant-ph/0101104 . Bibcode : 1990EL.....13..301J. doi : 10.1209/0295-5075/13/4/003. S2CID  250851585.
5. Piston, DS (1936). «Поляризация рентгеновских лучей от тонких мишеней». Physical Review . 49 (4): 275–279. Bibcode : 1936PhRv...49..275P. doi : 10.1103/PhysRev.49.275.