Квантовая суперпозиция

Принцип квантовой механики

Квантовая суперпозиция состояний и декогеренция

Квантовая суперпозиция — фундаментальный принцип квантовой механики , который гласит, что линейные комбинации решений уравнения Шредингера также являются решениями уравнения Шредингера. Это следует из того факта, что уравнение Шредингера является линейным дифференциальным уравнением по времени и положению. Точнее, состояние системы задается линейной комбинацией всех собственных функций уравнения Шредингера, управляющих этой системой.

Примером может служить кубит, используемый в квантовой обработке информации . Состояние кубита в общем случае представляет собой суперпозицию базисных состояний и : ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

${\displaystyle |\Psi \rangle =c_{0}|0\rangle +c_{1}|1\rangle ,}$

где — квантовое состояние кубита, а , обозначают частные решения уравнения Шредингера в нотации Дирака, взвешенные двумя амплитудами вероятности , и что оба являются комплексными числами. Здесь соответствует классическому биту 0 , а классическому биту 1. Вероятности измерения системы в состоянии или задаются как и соответственно (см. правило Борна ). До того, как происходит измерение, кубит находится в суперпозиции обоих состояний. ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |c_{0}|^{2}}$ ${\displaystyle |c_{1}|^{2}}$

Интерференционные полосы в эксперименте с двумя щелями представляют собой еще один пример принципа суперпозиции.

постулат волны

Теория квантовой механики постулирует, что волновое уравнение полностью определяет состояние квантовой системы в любой момент времени. Более того, это дифференциальное уравнение ограничено тем, что оно линейно и однородно . Эти условия означают, что для любых двух решений волнового уравнения и линейная комбинация этих решений также решает волновое уравнение: для произвольных комплексных коэффициентов и . ^{[1] : 61} Если волновое уравнение имеет более двух решений, комбинации всех таких решений снова являются допустимыми решениями. ${\displaystyle \Psi _{1}}$ ${\displaystyle \Psi _{2}}$ $${\displaystyle \Psi =c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}}$$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

Трансформация

Квантовое волновое уравнение может быть решено с использованием функций положения, или с использованием функций импульса, и, следовательно, суперпозиция функций импульса также является решением: Решения положения и импульса связаны линейным преобразованием , преобразованием Фурье . Это преобразование само по себе является квантовой суперпозицией, и каждая волновая функция положения может быть представлена ​​как суперпозиция волновых функций импульса и наоборот. Эти суперпозиции включают бесконечное число компонентных волн. ^{[1] : 244} ${\displaystyle \Psi ({\vec {r}})}$ ${\displaystyle \Phi ({\vec {p}})}$ $${\displaystyle \Phi ({\vec {p}})=d_{1}\Phi _{1}({\vec {p}})+d_{2}\Phi _{2}({\vec {p}})}$$

Обобщение на базисные состояния

Другие преобразования выражают квантовое решение как суперпозицию собственных векторов , каждый из которых соответствует возможному результату измерения квантовой системы. Собственный вектор для математического оператора , имеет уравнение , где — одно возможное измеренное квантовое значение для наблюдаемой . Суперпозиция этих собственных векторов может представлять любое решение: Такие состояния называются базисными состояниями. ${\displaystyle \psi _{i}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ $${\displaystyle {\hat {A}}\psi _{i}=\lambda _{i}\psi _{i}}$$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \Psi =\sum _{n}a_{i}\psi _{i}.}$$ ${\displaystyle \psi _{i}}$

Компактная запись для суперпозиций

Важные математические операции над решениями квантовых систем могут быть выполнены с использованием только коэффициентов суперпозиции, подавляя детали суперпозиции функций. Это приводит к квантовым системам, выраженным в скобочной нотации Дирака : ^{[1] : 245} Этот подход особенно эффективен для систем, подобных квантовому спину, без классического аналога координат. Такая сокращенная запись очень распространена в учебниках и статьях по квантовой механике, а суперпозиция базисных состояний является фундаментальным инструментом в квантовой механике. $${\displaystyle |v\rangle =d_{1}|1\rangle +d_{2}|2\rangle }$$

Последствия

Поль Дирак описал принцип суперпозиции следующим образом:

Неклассическая природа процесса суперпозиции становится ясной, если мы рассмотрим суперпозицию двух состояний, A и B , так что существует наблюдение, которое, будучи сделано над системой в состоянии A , наверняка приведет к одному конкретному результату, скажем, a , а будучи сделано над системой в состоянии B, наверняка приведет к некоторому другому результату, скажем, b . Каким будет результат наблюдения, когда оно сделано над системой в суперпозиции? Ответ заключается в том, что результат будет иногда a , а иногда b , в соответствии с вероятностным законом, зависящим от относительных весов A и B в процессе суперпозиции. Он никогда не будет отличаться как от a, так и от b [т. е. либо от a , либо от b ]. Промежуточный характер состояния, образованного суперпозицией, таким образом, выражается через вероятность того, что конкретный результат для наблюдения является промежуточным между соответствующими вероятностями для исходных состояний, а не через сам результат, являющийся промежуточным между соответствующими результатами для исходных состояний. ^[2]

Антон Цайлингер , ссылаясь на прототипический пример эксперимента с двумя щелями , подробно остановился на создании и разрушении квантовой суперпозиции:

«[С]уперпозиция амплитуд... действительна только в том случае, если нет способа узнать, даже в принципе, какой путь выбрала частица. Важно понимать, что это не означает, что наблюдатель на самом деле замечает то, что происходит. Достаточно разрушить интерференционную картину, если информация о пути в принципе доступна из эксперимента или даже если она рассеяна в окружающей среде и не подлежит технической возможности восстановления, но в принципе все еще «там». Отсутствие любой такой информации является существенным критерием для появления квантовой интерференции. ^[3]

Теория

Общий формализм

Любое квантовое состояние можно разложить как сумму или суперпозицию собственных состояний эрмитова оператора, например, гамильтониана, поскольку собственные состояния образуют полный базис:

${\displaystyle |\alpha \rangle =\sum _{n}c_{n}|n\rangle ,}$

где — собственные энергетические состояния гамильтониана. Для непрерывных переменных, таких как собственные состояния положения, : ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle |x\rangle }$

${\displaystyle |\alpha \rangle =\int dx'|x'\rangle \langle x'|\alpha \rangle ,}$

где — проекция состояния на базис, а называется волновой функцией частицы. В обоих случаях мы замечаем, что может быть расширена как суперпозиция бесконечного числа базисных состояний. ${\displaystyle \phi _{\alpha }(x)=\langle x|\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

Пример

Учитывая уравнение Шредингера

${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,}$

где индексы множества собственных состояний гамильтониана с собственными значениями энергии, мы сразу видим, что ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle E_{n},}$

${\displaystyle {\hat {H}}{\big (}|n\rangle +|n'\rangle {\big )}=E_{n}|n\rangle +E_{n'}|n'\rangle ,}$

где

${\displaystyle |\Psi \rangle =|n\rangle +|n'\rangle }$

является решением уравнения Шредингера, но в общем случае не является собственным состоянием, поскольку и в общем случае не равны. Мы говорим, что состоит из суперпозиции собственных состояний энергии. Теперь рассмотрим более конкретный случай электрона , который имеет либо спин вверх, либо спин вниз. Теперь мы индексируем собственные состояния со спинорами в базисе: ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n'}}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$

${\displaystyle |\Psi \rangle =c_{1}|{\uparrow }\rangle +c_{2}|{\downarrow }\rangle ,}$

где и обозначают состояния спина вверх и спина вниз соответственно. Как обсуждалось ранее, величины комплексных коэффициентов дают вероятность нахождения электрона в любом определенном состоянии спина: ${\displaystyle |{\uparrow }\rangle }$ ${\displaystyle |{\downarrow }\rangle }$

${\displaystyle P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}=|c_{1}|^{2},}$

${\displaystyle P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=|c_{2}|^{2},}$

${\displaystyle P_{\text{total}}=P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}+P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1,}$

где вероятность обнаружения частицы со спином вверх или вниз нормализована до 1. Обратите внимание, что и являются комплексными числами, так что ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

${\displaystyle |\Psi \rangle ={\frac {3}{5}}i|{\uparrow }\rangle +{\frac {4}{5}}|{\downarrow }\rangle .}$

является примером разрешенного состояния. Теперь мы получаем

${\displaystyle P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}=\left|{\frac {3i}{5}}\right|^{2}={\frac {9}{25}},}$

${\displaystyle P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=\left|{\frac {4}{5}}\right|^{2}={\frac {16}{25}},}$

${\displaystyle P_{\text{total}}=P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}+P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}={\frac {9}{25}}+{\frac {16}{25}}=1.}$

Если мы рассмотрим кубит, имеющий как положение, так и спин, то его состояние будет представлять собой суперпозицию всех возможностей для обоих:

${\displaystyle \Psi =\psi _{+}(x)\otimes |{\uparrow }\rangle +\psi _{-}(x)\otimes |{\downarrow }\rangle ,}$

где общее состояние представляет собой сумму тензорных произведений волновых функций позиционного пространства и спиноров. ${\displaystyle \Psi }$

Эксперименты

Были проведены успешные эксперименты по суперпозициям относительно больших (по меркам квантовой физики) объектов.

• Ион бериллия был захвачен в суперпозиции состояний. [ 4 ^]
• Эксперимент с двумя щелями был проведен с молекулами размером с бакиболы и функционализированными олигопорфиринами, содержащими до 2000 атомов. ^{[5] [6]}
• Молекулы с массой более 10 000, состоящие из более чем 810 атомов, были успешно наложены друг на друга ^[7]
• Очень чувствительные магнитометры были созданы с использованием сверхпроводящих квантовых интерференционных устройств (СКВИДов), которые работают с использованием эффектов квантовой интерференции в сверхпроводящих цепях.

• Был сконструирован пьезоэлектрический " камертон ", который может быть помещен в суперпозицию вибрирующих и невибрирующих состояний. Резонатор содержит около 10 триллионов атомов. ^[8]
• Недавние исследования показывают, что хлорофилл в растениях , по-видимому, использует свойство квантовой суперпозиции для достижения большей эффективности в транспортировке энергии, позволяя пигментным белкам располагаться дальше друг от друга, чем это было бы возможно в противном случае. ^{[9] [10]}

В квантовых компьютерах

В квантовых компьютерах кубит является аналогом классического информационного бита , и кубиты могут быть наложены друг на друга. ^{[11] : 13} В отличие от классических битов, суперпозиция кубитов представляет информацию о двух состояниях параллельно. ^{[11] : 31} Управление суперпозицией кубитов является центральной проблемой в квантовых вычислениях. Системы кубитов, такие как ядерные спины с малой силой связи, устойчивы к внешним возмущениям, но та же малая связь затрудняет считывание результатов. ^{[11] : 278}

Смотрите также

• Собственные состояния  – математическая сущность, описывающая вероятность каждого возможного измерения в системе.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Интерферометр Маха-Цендера  – Устройство для определения относительного сдвига фаз
• Интерпретация Пенроуза  – Интерпретация квантовой механики
• Чистое состояние кубита  – базовая единица квантовой информацииPages displaying short descriptions of redirect targets
• Квантовые вычисления  – технология, использующая квантовую механикуPages displaying short descriptions of redirect targets
• Кот Шредингера  – Мысленный эксперимент в квантовой механике
• Принцип суперпозиции  – фундаментальный физический принцип, утверждающий, что физические решения линейных систем являются линейными.
• Волновой пакет  – короткий «всплеск» или «конверт» ограниченного волнового воздействия, который распространяется как единое целое.

Ссылки

1. Messiah, Albert (1976). Квантовая механика. 1 (2-е изд.). Амстердам: Северная Голландия. ISBN 978-0-471-59766-7.
2. П. А. М. Дирак (1947). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Clarendon Press. стр. 12.
3. Zeilinger A (1999). «Эксперимент и основы квантовой физики». Rev. Mod. Phys . 71 (2): S288–S297. Bibcode :1999RvMPS..71..288Z. doi :10.1103/revmodphys.71.s288.
4. Монро, К.; Микхоф, Д.М.; Кинг, Б.Э.; Уайнленд, Д.Дж. (24 мая 1996 г.). «Состояние суперпозиции атома «кот Шредингера». Science . 272 ​​(5265): 1131–1136. doi :10.1126/science.272.5265.1131. ISSN  0036-8075.
5. "Корпусно-волновой дуализм C60". 31 марта 2012 г. Архивировано из оригинала 31 марта 2012 г.{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
6. Наирц, Олаф. "standinglightwave".Яаков Й. Фейн; Филипп Гейер; Патрик Цвик; Филип Киалка; Себастьян Педалино; Марсель Майор; Стефан Герлих; Маркус Арндт (сентябрь 2019 г.). «Квантовая суперпозиция молекул за пределами 25 кДа». Nature Physics . 15 (12): 1242–1245. Bibcode :2019NatPh..15.1242F. doi :10.1038/s41567-019-0663-9. S2CID  203638258.
7. Эйбенбергер, С., Герлих, С., Арндт, М., Майор, М., Тюксен, Й. (2013). "Материйно-волновая интерференция с частицами, выбранными из молекулярной библиотеки с массами, превышающими 10 000 а.е.м.", Физическая химия Химическая физика , 15 : 14696-14700. arXiv :1310.8343
8. Scientific American: Макространность: «Квантовый микрофон» помещает видимый невооруженным глазом объект в два места одновременно: новое устройство проверяет пределы возможностей кота Шредингера
9. Scholes, Gregory; Elisabetta Collini; Cathy Y. Wong; Krystyna E. Wilk; Paul MG Curmi; Paul Brumer; Gregory D. Scholes (4 февраля 2010 г.). «Когерентно связанное светособирание в фотосинтезирующих морских водорослях при температуре окружающей среды». Nature . 463 (7281): 644–647. Bibcode :2010Natur.463..644C. doi :10.1038/nature08811. PMID  20130647. S2CID  4369439.
10. Мойер, Майкл (сентябрь 2009 г.). «Квантовая запутанность, фотосинтез и лучшие солнечные элементы». Scientific American . Получено 12 мая 2010 г.
11. Нильсен, Майкл А .; Чуан, Айзек (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC  43641333.

Дальнейшее чтение

• Бор, Н. (1927/1928). Квантовый постулат и недавнее развитие атомной теории, Nature Supplement 14 апреля 1928 г., 121: 580–590.
• Коэн-Таннуджи, К. , Диу, Б., Лалоэ, Ф. (1973/1977). Квантовая механика , перевод с французского SR Hemley, N. Ostrowsky, D. Ostrowsky, второе издание, том 1, Wiley, Нью-Йорк, ISBN 0471164321 . 
• Эйнштейн, А. (1949). Замечания относительно эссе, собранных в этом совместном томе, переведенные с немецкого оригинала редактором, стр. 665–688 в Schilpp, PA editor (1949), Albert Einstein: Philosopher-Scientist, том II , Open Court, La Salle IL.
• Фейнман, Р. П. , Лейтон, Р. Б., Сэндс, М. (1965). Лекции Фейнмана по физике , том 3, Эддисон-Уэсли, Рединг, Массачусетс.
• Мерцбахер, Э. (1961/1970). Квантовая механика , второе издание, Wiley, Нью-Йорк.
• Мессия, А. (1961). Квантовая механика , том 1, перевод Г. М. Теммера с французского Mécanique Quantique , Северная Голландия, Амстердам.
• Уилер, JA ; Зурек, WH (1983). Квантовая теория и измерения . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
• Нильсен, Майкл А.; Чуан , Айзек (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0521632358. OCLC  43641333.
• Уильямс, Колин П. (2011). Исследования в области квантовых вычислений . Springer . ISBN 978-1-84628-887-6.
• Янофски, Носон С.; Мануччи, Мирко (2013). Квантовые вычисления для компьютерных ученых . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-87996-5.