Квантовая тривиальность

Возможный результат перенормировки в физике

В квантовой теории поля экранирование заряда может ограничить значение наблюдаемого «перенормированного» заряда классической теории. Если единственное результирующее значение перенормированного заряда равно нулю, теория называется «тривиальной» или невзаимодействующей. Таким образом, как ни удивительно, классическая теория, которая, по-видимому, описывает взаимодействующие частицы, может, будучи реализованной как квантовая теория поля, стать «тривиальной» теорией невзаимодействующих свободных частиц. Это явление называется квантовой тривиальностью . Убедительные доказательства подтверждают идею о том, что теория поля, включающая только скалярный бозон Хиггса , тривиальна в четырех пространственно-временных измерениях ^{[1] [2],} но ситуация для реалистичных моделей, включающих другие частицы в дополнение к бозону Хиггса, в целом неизвестна. Тем не менее, поскольку бозон Хиггса играет центральную роль в Стандартной модели физики элементарных частиц , вопрос тривиальности в моделях Хиггса имеет большое значение.

Эта тривиальность Хиггса похожа на проблему полюса Ландау в квантовой электродинамике , где эта квантовая теория может быть противоречивой при очень больших масштабах импульса, если только перенормированный заряд не установлен равным нулю, т. е. если только теория поля не имеет взаимодействий. Вопрос о полюсе Ландау обычно считается представляющим незначительный академический интерес для квантовой электродинамики из-за недоступно большого масштаба импульса, при котором проявляется несоответствие. Однако это не относится к теориям, которые включают элементарный скалярный бозон Хиггса, поскольку масштаб импульса, при котором «тривиальная» теория демонстрирует несоответствия, может быть доступен для современных экспериментальных усилий, таких как на Большом адронном коллайдере (БАК) в ЦЕРНе . В этих теориях Хиггса предполагается, что взаимодействия частицы Хиггса с самой собой порождают массы W- и Z-бозонов , а также массы лептонов, такие как массы электрона и мюона . Если реалистичные модели физики элементарных частиц, такие как Стандартная модель, страдают от проблем тривиальности, идею элементарной скалярной частицы Хиггса, возможно, придется изменить или отказаться.

Однако ситуация становится более сложной в теориях, включающих другие частицы. Фактически, добавление других частиц может превратить тривиальную теорию в нетривиальную ценой введения ограничений. В зависимости от деталей теории масса Хиггса может быть ограниченной или даже вычислимой. ^[2] Эти ограничения квантовой тривиальности резко контрастируют с картиной, которую можно получить на классическом уровне, где масса Хиггса является свободным параметром. Квантовая тривиальность также может привести к вычислимой массе Хиггса в асимптотических сценариях безопасности . ^[2]

Тривиальность и группа ренормализации

Современные соображения о тривиальности обычно формулируются в терминах группы перенормировки реального пространства , в значительной степени разработанной Кеннетом Уилсоном и другими. Исследования тривиальности обычно проводятся в контексте решеточной калибровочной теории . Более глубокое понимание физического смысла и обобщение процесса перенормировки, выходящее за рамки группы дилатации обычных перенормируемых теорий, пришло из физики конденсированного состояния. В статье Лео П. Каданова 1966 года была предложена группа перенормировки «блок-спин». ^[3] Идея блокирования — это способ определения компонентов теории на больших расстояниях как совокупностей компонентов на более коротких расстояниях.

Этот подход охватывал концептуальную точку и получил полное вычислительное содержание ^[4] в обширных важных вкладах Уилсона. Сила идей Уилсона была продемонстрирована конструктивным итеративным ренормализационным решением давней проблемы, проблемы Кондо , в 1974 году, а также предшествующими основополагающими разработками его нового метода в теории фазовых переходов второго рода и критических явлений в 1971 году ^{[ требуется ссылка ]} . За эти решающие вклады он был удостоен Нобелевской премии в 1982 году.

В более технических терминах предположим, что у нас есть теория, описываемая определенной функцией переменных состояния и определенным набором констант связи . Эта функция может быть статистической суммой , действием , гамильтонианом и т. д. Она должна содержать полное описание физики системы. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \{s_{i}\}}$ ${\displaystyle \{J_{k}\}}$

Теперь рассмотрим определенное блокирующее преобразование переменных состояния , число должно быть меньше числа . Теперь попробуем переписать функцию только в терминах . Если это достижимо путем определенного изменения параметров, , то говорят, что теория перенормируема . Наиболее важной информацией в потоке РГ являются ее неподвижные точки . Возможные макроскопические состояния системы в больших масштабах задаются этим набором неподвижных точек. Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, говорят, что теория тривиальна . Многочисленные неподвижные точки появляются при изучении теорий решеточного Хиггса , но природа квантовых теорий поля, связанных с ними, остается открытым вопросом. ^[2] ${\displaystyle \{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}}$ ${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$ ${\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}}$

Историческая справка

Первые доказательства возможной тривиальности квантовых теорий поля были получены Ландау, Абрикосовым и Халатниковым ^{[5] [6] [7],} которые нашли следующую связь наблюдаемого заряда g _obs с «голым» зарядом g ₀ :

где m — масса частицы, а Λ — обрезание импульса. Если g ₀ конечно, то g _obs стремится к нулю в пределе бесконечного обрезания Λ .

На самом деле, правильная интерпретация уравнения 1 состоит в его инверсии, так что g ₀ (относящийся к шкале длины 1/Λ ) выбирается так, чтобы дать правильное значение g _obs ,

Рост g ₀ с Λ делает уравнения ( 1 ) и ( 2 ) недействительными в области g ₀ ≈ 1 (так как они были получены при g ₀ ≪ 1 ), а существование «полюса Ландау» в уравнении 2 не имеет физического смысла.

Фактическое поведение заряда g ( μ ) как функции масштаба импульса μ определяется полным уравнением Гелл-Манна–Лоу

что дает уравнения ( 1 ), ( 2 ), если его интегрировать при условиях g ( μ ) = g _obs для μ = m и g ( μ ) = g ₀ для μ = Λ , когда в правой части сохраняется только член с . ${\displaystyle \beta _{2}}$

Общее поведение зависит от вида функции β ( g ) . Согласно классификации Боголюбова и Ширкова ^[8] , возможны три качественно различные ситуации: ${\displaystyle g(\mu )}$

1. если имеет нуль при конечном значении g ^* , то рост g насыщается, т.е. для ; ${\displaystyle \beta (g)}$ ${\displaystyle g(\mu )\to g^{*}}$ ${\displaystyle \mu \to \infty }$
2. если непеременная и ведет себя как при больших , то рост продолжается до бесконечности; ${\displaystyle \beta (g)}$ ${\displaystyle \beta (g)\propto g^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \leq 1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(\mu )}$
3. если при больших , то расходится при конечном значении и возникает действительный полюс Ландау: теория внутренне противоречива из-за неопределенности при . ${\displaystyle \beta (g)\propto g^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(\mu )}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle g(\mu )}$ ${\displaystyle \mu >\mu _{0}}$

Последний случай соответствует квантовой тривиальности в полной теории (вне контекста ее возмущений), как можно увидеть с помощью reductio ad absurdum . Действительно, если g _obs конечен, теория внутренне противоречива. Единственный способ избежать этого — стремиться к бесконечности, что возможно только при g _obs → 0 . ${\displaystyle \mu _{0}}$

Выводы

В результате вопрос о том, является ли Стандартная модель физики частиц нетривиальной, остается серьезным нерешенным вопросом. Теоретические доказательства тривиальности чистой скалярной теории поля существуют, но ситуация для полной стандартной модели неизвестна. Обсуждались подразумеваемые ограничения на стандартную модель. ^{[9] [10] [11] [12] [13] [14]}

Смотрите также

• Проблема иерархии

Ссылки

1. Р. Фернандес; Дж. Фрёлих ; А. Д. Сокал (1992). Случайные блуждания, критические явления и тривиальность в квантовой теории поля . Springer . ISBN 0-387-54358-9.
2. DJE Callaway (1988). «Погоня за тривиальностью: могут ли существовать элементарные скалярные частицы?». Physics Reports . 167 (5): 241–320. Bibcode : 1988PhR...167..241C. doi : 10.1016/0370-1573(88)90008-7.
3. Л. П. Каданофф (1966): «Законы масштабирования для моделей Изинга вблизи », Физика (Лонг-Айленд-Сити, Нью-Йорк) 2 , 263. ${\displaystyle T_{c}}$
4. KG Wilson (1975): Группа перенормировки: критические явления и проблема Кондо, Rev. Mod. Phys. 47 , 4, 773.
5. Л. Д. Ландау ; А. А. Абрикосов ; И. М. Халатников (1954). «Об устранении бесконечностей в квантовой электродинамике». Доклады АН СССР . 95 : 497.
6. Л.Д. Ландау; А. А. Абрикосов, И. М. Халатников (1954). «Асимптотический экспрессин функции Грина электрона в квантовой электродинамике». Доклады Академии наук СССР . 95 : 773.
7. Л.Д. Ландау; А. А. Абрикосов, И. М. Халатников (1954). «Асимптотический экспрессин функции Грина фотона в квантовой электродинамике». Доклады Академии наук СССР . 95 :1177.
8. Н. Н. Боголюбов; Д. В. Ширков (1980). Введение в теорию квантованных полей (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-04223-5.
9. Callaway, D.; Petronzio, R. (1987). «Предсказуема ли масса Хиггса стандартной модели?». Nuclear Physics B. 292 : 497–526. Bibcode : 1987NuPhB.292..497C. doi : 10.1016/0550-3213(87)90657-2.
10. IM Suslov (2010). "Асимптотическое поведение функции β в теории φ ⁴ : схема без комплексных параметров". Журнал экспериментальной и теоретической физики . 111 (3): 450–465. arXiv : 1010.4317 . Bibcode :2010JETP..111..450S. doi :10.1134/S1063776110090153. S2CID  118545858.
11. Фраска, Марко (2011). Теорема отображения и функции Грина в теории Янга-Миллса (PDF) . Многогранность КХД. Триест : Труды науки. стр. 039. arXiv : 1011.3643 . Bibcode : 2010mfq..confE..39F . Получено 27.08.2011 .
12. Callaway, DJE (1984). «Нетривиальность калибровочных теорий с элементарными скалярами и верхние границы масс Хиггса». Nuclear Physics B. 233 ( 2): 189–203. Bibcode :1984NuPhB.233..189C. doi :10.1016/0550-3213(84)90410-3.
13. Линднер, М. (1986). «Следствия тривиальности для стандартной модели». Zeitschrift für Physik C. 31 (2): 295–300. Бибкод : 1986ZPhyC..31..295L. дои : 10.1007/BF01479540. S2CID  123166350.
14. Урс Хеллер, Маркус Кломфасс, Герберт Нойбергер и Павлос Вранас, (1993). «Численный анализ тривиальной границы массы Хиггса», Nucl. Phys. , B405 : 555-573.