Информация о квантовом Фишере

Квантовый

Квантовая информация Фишера является центральной величиной в квантовой метрологии и является квантовым аналогом классической информации Фишера . ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Квантовая информация Фишера о состоянии относительно наблюдаемой определяется как ${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]}$ ${\displaystyle \varrho }$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=2\sum _{k,l}{\frac {(\lambda _{k}-\lambda _{l})^{2}}{(\lambda _{k}+\lambda _{l})}}\vert \langle k\vert A\vert l\rangle \vert ^{2},}$

где и являются собственными значениями и собственными векторами матрицы плотности соответственно, а суммирование ведется по всем и таким, что . ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\displaystyle \vert k\rangle }$ ${\displaystyle \varrho ,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \lambda _{k}+\lambda _{l}>0}$

Когда наблюдаемая генерирует унитарное преобразование системы с параметром из начального состояния , ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varrho _{0}}$

${\displaystyle \varrho (\theta )=\exp(-iA\theta )\varrho _{0}\exp(+iA\theta ),}$

квантовая информация Фишера ограничивает достижимую точность статистической оценки параметра с помощью квантовой границы Крамера – Рао как ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle (\Delta \theta )^{2}\geq {\frac {1}{mF_{\rm {Q}}[\varrho ,A]}},}$

где – количество независимых повторений. ${\displaystyle m}$

Часто желательно оценить величину неизвестного параметра , который контролирует силу гамильтониана системы по отношению к известной наблюдаемой в течение известного динамического времени . В этом случае определение , так что , означает, что оценки могут быть непосредственно переведены в оценки . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle H=\alpha A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta =\alpha t}$ ${\displaystyle \theta A=tH}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha }$

Связь с информацией Fisher

Классическая информация Фишера об измерении наблюдаемой на матрице плотности определяется как , где вероятность получения результата при измерении наблюдаемой на преобразованной матрице плотности . — собственное значение, соответствующее собственному вектору наблюдаемой . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varrho (\theta )}$ ${\displaystyle F[B,\theta ]=\sum _{b}{\frac {1}{p(b|\theta )}}\left({\frac {\partial p(b|\theta )}{\partial \theta }}\right)^{2}}$ ${\displaystyle p(b|\theta )=\langle b\vert \varrho (\theta )\vert b\rangle }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varrho (\theta )}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \vert b\rangle }$ ${\displaystyle B}$

Квантовая информация Фишера представляет собой верхнюю границу классической информации Фишера по всем таким наблюдаемым, ^[6]

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=\sup _{B}F[B,\theta ].}$

Связь с симметричной логарифмической производной

Квантовая информация Фишера равна математическому ожиданию , где – симметричная логарифмическая производная. ${\displaystyle L_{\varrho }^{2}}$ ${\displaystyle L_{\varrho }}$

Эквивалентные выражения

Для операции унитарного кодирования квантовая информация Фишера может быть вычислена как интеграл, ^[7] ${\displaystyle \varrho (\theta )=\exp(-iA\theta )\varrho _{0}\exp(+iA\theta ),}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=-2\int _{0}^{\infty }{\text{tr}}\left(\exp(-\rho _{0}t)[\varrho _{0},A]\exp(-\rho _{0}t)[\varrho _{0},A]\right)\ dt,}$

где справа обозначает коммутатор. Это также можно выразить через произведение Кронекера и векторизацию , ^[8] ${\displaystyle [\ ,\ ]}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=2\,{\text{vec}}([\varrho _{0},A])^{\dagger }{\big (}\rho _{0}^{*}\otimes {\rm {Identity}}+{\rm {Identity}}\otimes \rho _{0}{\big )}^{-1}{\text{vec}}([\varrho _{0},A]),}$

где обозначает комплексное сопряжение и обозначает сопряженное транспонирование . Эта формула справедлива для обратимых матриц плотности. Для необратимых матриц плотности инверсия, указанная выше, заменяется псевдообратной матрицей Мура-Пенроуза . В качестве альтернативы можно вычислить квантовую информацию Фишера для обратимого состояния , где – любая матрица плотности полного ранга, а затем выполнить предел, чтобы получить квантовую информацию Фишера для . Матрица плотности может находиться, например, в конечномерной системе, или тепловое состояние в бесконечномерной системе. ${\displaystyle ^{*}}$ ${\displaystyle ^{\dagger }}$ ${\displaystyle \rho _{\nu }=(1-\nu )\rho _{0}+\nu \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \nu \rightarrow 0^{+}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\rm {Identity}}/\dim {\mathcal {H}}}$

Обобщение и связь с метрикой Буреса и квантовой точностью.

Для любой дифференцируемой параметризации матрицы плотности вектором параметров квантовая информационная матрица Фишера определяется как ${\displaystyle \varrho ({\boldsymbol {\theta }})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=(\theta _{1},\dots ,\theta _{n})}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\boldsymbol {\theta }})]=2\sum _{k,l}{\frac {\operatorname {Re} (\langle k\vert \partial _{i}\varrho \vert l\rangle \langle l\vert \partial _{j}\varrho \vert k\rangle )}{\lambda _{k}+\lambda _{l}}},}$

где обозначает частную производную по параметру . Формула справедлива и без учета действительной части , поскольку мнимая часть приводит к антисимметричному вкладу, который исчезает под суммой. Заметим, что все собственные значения и собственные векторы матрицы плотности потенциально зависят от вектора параметров . ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\displaystyle \vert k\rangle }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$

Это определение идентично четырехкратному увеличению метрики Буреса с точностью до особых точек, в которых изменяется ранг матрицы плотности (это точки, в которых внезапно становится нулем). Благодаря этому соотношению оно также связано с квантовой точностью двух бесконечно малых состояний. , ^[9] ${\displaystyle \lambda _{k}+\lambda _{l}}$ ${\displaystyle F(\varrho ,\sigma )=\left(\mathrm {tr} \left[{\sqrt {{\sqrt {\varrho }}\sigma {\sqrt {\varrho }}}}\right]\right)^{2}}$

${\displaystyle F(\varrho _{\boldsymbol {\theta }},\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}+d{\boldsymbol {\theta }}})=1-{\frac {1}{4}}\sum _{i,j}{\Big (}F_{\rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\boldsymbol {\theta }})]+2\!\!\sum _{\lambda _{k}({\boldsymbol {\theta }})=0}\!\!\partial _{i}\partial _{j}\lambda _{k}{\Big )}d\theta _{i}d\theta _{j}+{\mathcal {O}}(d\theta ^{4}),}$

где внутренняя сумма охватывает все собственные значения . Дополнительного члена (который, однако, в большинстве приложений равен нулю) можно избежать, приняв симметричное разложение точности: ^[10] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda _{k}({\boldsymbol {\theta }})=0}$

${\displaystyle F\left(\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}-d{\boldsymbol {\theta }}/2},\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}+d{\boldsymbol {\theta }}/2}\right)=1-{\frac {1}{4}}\sum _{i,j}F_{\rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\boldsymbol {\theta }})]d\theta _{i}d\theta _{j}+{\mathcal {O}}(d\theta ^{4}).}$

При унитарном кодировании квантовая информационная матрица Фишера сводится к исходному определению. ${\displaystyle n=1}$

Квантовая информационная матрица Фишера является частью более широкого семейства квантовых статистических расстояний. ^[11]

Связь с восприимчивостью к верности

Предполагая, что это основное состояние зависящего от параметра невырожденного гамильтониана , четырехкратное увеличение квантовой информации Фишера этого состояния называется восприимчивостью к точности и обозначается ^[12] ${\displaystyle \vert \psi _{0}(\theta )\rangle }$ ${\displaystyle H(\theta )}$

${\displaystyle \chi _{F}=4F_{Q}(\vert \psi _{0}(\theta )\rangle ).}$

Восприимчивость к точности измеряет чувствительность основного состояния к параметру, а ее расхождение указывает на квантовый фазовый переход. Это связано с вышеупомянутой связью с точностью: расходящаяся квантовая информация Фишера означает, что и ортогональны друг другу при любом бесконечно малом изменении параметра , и, таким образом, говорят, что они претерпевают фазовый переход в точке . ${\displaystyle \vert \psi _{0}(\theta )\rangle }$ ${\displaystyle \vert \psi _{0}(\theta +d\theta )\rangle }$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \theta }$

Свойства выпуклости

Квантовая информация Фишера в четыре раза превышает дисперсию для чистых состояний.

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\vert \Psi \rangle ,H]=4(\Delta H)_{\Psi }^{2}}$.

Для смешанных состояний, когда вероятности не зависят от параметров, т. е. когда , квантовая информация Фишера является выпуклой: ${\displaystyle p(\theta )=p}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[p\varrho _{1}(\theta )+(1-p)\varrho _{2}(\theta ),H]\leq pF_{\rm {Q}}[\varrho _{1}(\theta ),H]+(1-p)F_{\rm {Q}}[\varrho _{2}(\theta ),H].}$

Квантовая информация Фишера — это наибольшая выпуклая функция, равная четырехкратной дисперсии для чистых состояний. То есть оно в четыре раза превышает выпуклую крышу дисперсии ^{[13] [14]}

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]=4\inf _{\{p_{k},\vert \Psi _{k}\rangle \}}\sum _{k}p_{k}(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2},}$

где нижняя грань находится по всем разложениям матрицы плотности

${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert .}$

Обратите внимание, что они не обязательно ортогональны друг другу. Вышеупомянутую оптимизацию можно переписать как оптимизацию пространства с двумя копиями как ^[15] ${\displaystyle \vert \Psi _{k}\rangle }$

${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,H]=\min _{\varrho _{12}}2{\rm {Tr}}[(H\otimes {\rm {Identity}}-{\rm {Identity}}\otimes H)^{2}\varrho _{12}],}$

такое, что это симметричное сепарабельное состояние и ${\displaystyle \varrho _{12}}$

${\displaystyle {\rm {Tr}}_{1}(\varrho _{12})={\rm {Tr}}_{2}(\varrho _{12})=\varrho .}$

Позднее это утверждение было доказано даже для случая минимизации по общим (не обязательно симметричным) сепарабельным состояниям. ^[16]

Когда вероятности -зависимы , было доказано соотношение расширенной выпуклости: ^[17] ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}{\Big [}\sum _{i}p_{i}(\theta )\varrho _{i}(\theta ){\Big ]}\leq \sum _{i}p_{i}(\theta )F_{\rm {Q}}[\varrho _{i}(\theta )]+F_{\rm {C}}[\{p_{i}(\theta )\}],}$

где – классическая информация Фишера, связанная с вероятностями, способствующими выпуклому разложению. Первый член в правой части приведенного выше неравенства можно рассматривать как среднюю квантовую информацию Фишера матриц плотности в выпуклом разложении. ${\displaystyle F_{\rm {C}}[\{p_{i}(\theta )\}]=\sum _{i}{\frac {\partial _{\theta }p_{i}(\theta )^{2}}{p_{i}(\theta )}}}$

Неравенства для составных систем

Нам необходимо понять поведение квантовой информации Фишера в составной системе, чтобы изучить квантовую метрологию многочастичных систем. ^[18] Для состояний продукта:

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho _{1}\otimes \varrho _{2},H_{1}\otimes {\rm {Identity}}+{\rm {Identity}}\otimes H_{2}]=F_{\rm {Q}}[\varrho _{1},H_{1}]+F_{\rm {Q}}[\varrho _{2},H_{2}]}$

держит.

Для приведенного состояния имеем

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho _{12},H_{1}\otimes {\rm {Identity}}_{2}]\geq F_{\rm {Q}}[\varrho _{1},H_{1}],}$

где . ${\displaystyle \varrho _{1}={\rm {Tr}}_{2}(\varrho _{12})}$

Отношение к запутанности

Между квантовой метрологией и квантовой информатикой существуют прочные связи . Для многочастичной системы частиц со спином 1/2 ^[19] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq N}$

справедливо для сепарабельных состояний, где

${\displaystyle J_{z}=\sum _{n=1}^{N}j_{z}^{(n)},}$

и представляет собой компонент углового момента одной частицы. Максимум для общих квантовых состояний определяется выражением ${\displaystyle j_{z}^{(n)}}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq N^{2}.}$Следовательно, квантовая запутанность необходима для достижения максимальной точности в квантовой метрологии.

Более того , для квантовых состояний с глубиной запутанности ${\displaystyle k}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq sk^{2}+r^{2}}$

где — наибольшее целое число, меньшее или равное, и остаток от деления на . Следовательно, для достижения все большей и большей точности оценки параметров необходимы все более высокие уровни многочастной запутанности. ^{[20] [21]} Можно получить более слабую, но более простую оценку ^[22] ${\displaystyle s=\lfloor N/k\rfloor }$ ${\displaystyle N/k,}$ ${\displaystyle r=N-sk}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq Nk.}$

Следовательно, нижняя граница глубины перепутывания получается как

${\displaystyle {\frac {F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]}{N}}\leq k.}$

Связь с информацией об асимметрии Вигнера-Янасе

Информация о перекосе Вигнера-Янасе определяется как ^[23]

${\displaystyle I(\varrho ,H)={\rm {Tr}}(H^{2}\varrho )-{\rm {Tr}}(H{\sqrt {\varrho }}H{\sqrt {\varrho }}).}$

Отсюда следует, что выпукло в ${\displaystyle I(\varrho ,H)}$ ${\displaystyle \varrho .}$

Для квантовой информации Фишера и информации о перекосе Вигнера-Янасе неравенство

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]\geq 4I(\varrho ,H)}$

имеет место равенство чистых состояний.

Отношение к дисперсии

Для любого разложения матрицы плотности по формуле и соотношению ^[13] ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle \vert \Psi _{k}\rangle }$

${\displaystyle (\Delta H)^{2}\geq \sum _{k}p_{k}(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2}\geq {\frac {1}{4}}F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]}$

имеет место, где оба неравенства точны. То есть существует разложение, для которого второе неравенство является насыщенным, что равнозначно утверждению, что квантовая информация Фишера представляет собой выпуклую крышу дисперсии по четырем, обсуждавшейся выше. Существует также разложение, для которого первое неравенство является насыщенным, а это означает, что дисперсия представляет собой собственную вогнутую крышу ^[13]

${\displaystyle (\Delta H)^{2}=\sup _{\{p_{k},\vert \Psi _{k}\rangle \}}\sum _{k}p_{k}(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2}.}$

Отношения неопределенности с квантовой информацией Фишера и дисперсией

Зная, что квантовая информация Фишера представляет собой выпуклую крышу дисперсии, умноженной на четыре, мы получаем соотношение ^[24]

$${\displaystyle (\Delta A)^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq \vert \langle i[A,B]\rangle \vert ^{2},}$$

соотношения неопределенностей ${\displaystyle j,}$

$${\displaystyle (\Delta J_{x})^{2}+(\Delta J_{y})^{2}+(\Delta J_{z})^{2}\geq j,}$$

^{[25] [26]} ${\displaystyle J_{l}}$

$${\displaystyle (\Delta J_{x})^{2}+(\Delta J_{y})^{2}+F_{Q}[\varrho ,J_{z}]/4\geq j.}$$

Рекомендации

1. Хелстром, К. (1976). Квантовая теория обнаружения и оценки . Академическая пресса. ISBN 0123400503.
2. Холево, Александр С (1982). Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории (2-е английское изд.). Высшая нормальная школа. ISBN 978-88-7642-378-9.
3. Браунштейн, Сэмюэл Л.; Кейвс, Карлтон М. (30 мая 1994 г.). «Статистическое расстояние и геометрия квантовых состояний». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество (APS). 72 (22): 3439–3443. Бибкод : 1994PhRvL..72.3439B. doi : 10.1103/physrevlett.72.3439. ISSN  0031-9007. ПМИД  10056200.
4. Браунштейн, Сэмюэл Л.; Кейвс, Карлтон М .; Милберн, Дж.Дж. (апрель 1996 г.). «Обобщенные соотношения неопределенностей: теория, примеры и лоренц-инвариантность». Анналы физики . 247 (1): 135–173. arXiv : Quant-ph/9507004 . Бибкод : 1996AnPhy.247..135B. дои : 10.1006/aphy.1996.0040. S2CID  358923.
5. Париж, Маттео Джорджия (21 ноября 2011 г.). «Квантовая оценка квантовых технологий». Международный журнал квантовой информации . 07 (супп01): 125–137. arXiv : 0804.2981 . дои : 10.1142/S0219749909004839. S2CID  2365312.
6. Париж, Маттео Джорджия (2009). «Квантовая оценка квантовых технологий». Международный журнал квантовой информации . 07 (супп01): 125–137. arXiv : 0804.2981 . дои : 10.1142/s0219749909004839. ISSN  0219-7499. S2CID  2365312.
7. ПАРИЖ, МАТТЕО ГА (2009). «Квантовая оценка квантовых технологий». Международный журнал квантовой информации . 07 (супп01): 125–137. arXiv : 0804.2981 . дои : 10.1142/s0219749909004839. ISSN  0219-7499. S2CID  2365312.
8. Шафранек, Доминик (12 апреля 2018 г.). «Простое выражение для квантовой информационной матрицы Фишера». Физический обзор А. 97 (4): 042322. arXiv : 1801.00945 . Бибкод : 2018PhRvA..97d2322S. doi : 10.1103/physreva.97.042322. ISSN  2469-9926.
9. Шафранек, Доминик (11 мая 2017 г.). «Разрывы квантовой информации Фишера и метрики Буреса». Физический обзор А. 95 (5): 052320. arXiv : 1612.04581 . Бибкод : 2017PhRvA..95e2320S. doi :10.1103/physreva.95.052320. ISSN  2469-9926. S2CID  118962619.
10. Чжоу, Сиси; Цзян, Лян (18 октября 2019 г.). «Точное соответствие между квантовой информацией Фишера и метрикой Буреса». arXiv : 1910.08473 [квант-ph].
11. Яржина, М.; Колодинский Ю. (18 августа 2020 г.). «Геометрический подход к квантовому статистическому выводу». Журнал IEEE по избранным областям теории информации . 1 (2): 367–386. arXiv : 2008.09129 . doi : 10.1109/JSAIT.2020.3017469. ISSN  2641-8770. S2CID  221245983.
12. Гу, С.-Дж. (2010). «Точный подход к квантовым фазовым переходам». Международный журнал современной физики Б. 24 (23): 4371–4458. arXiv : 0811.3127 . Бибкод : 2010IJMPB..24.4371G. дои : 10.1142/S0217979210056335. S2CID  118375103.
13. Тот, Геза; Петц, Ден (20 марта 2013 г.). «Экстремальные свойства дисперсии и квантовая информация Фишера». Физический обзор А. 87 (3): 032324. arXiv : 1109.2831 . Бибкод : 2013PhRvA..87c2324T. doi : 10.1103/PhysRevA.87.032324. S2CID  55088553.
14. Ю, Сиксия (2013). «Квантовая информация Фишера как выпуклая крыша дисперсии». arXiv : 1302.5311 [квант-ph].
15. Тот, Геза; Мородер, Тобиас; Гюне, Отфрид (21 апреля 2015 г.). «Оценка мер по запутыванию выпуклой крыши». Письма о физических отзывах . 114 (16): 160501. arXiv : 1409.3806 . Бибкод : 2015PhRvL.114p0501T. doi : 10.1103/PhysRevLett.114.160501. PMID  25955038. S2CID  39578286.
16. Тот, Геза; Питрик, Йожеф (16 октября 2023 г.). «Квантовое расстояние Вассерштейна, основанное на оптимизации по разделимым состояниям». Квантовый . 7 : 1143. arXiv : 2209.09925 . Бибкод : 2023Количество...7.1143T. doi : 10.22331/q-2023-10-16-1143. S2CID  252408568.
17. Алипур, С.; Резахани, АТ (07 апреля 2015 г.). «Расширенная выпуклость квантовой информации Фишера в квантовой метрологии». Физический обзор А. 91 (4): 042104. arXiv : 1403.8033 . Бибкод : 2015PhRvA..91d2104A. doi :10.1103/PhysRevA.91.042104. ISSN  1050-2947. S2CID  124094775.
18. Тот, Геза; Апелланис, Ягоба (24 октября 2014 г.). «Квантовая метрология с точки зрения квантовой информатики». Физический журнал A: Математический и теоретический . 47 (42): 424006. arXiv : 1405.4878 . Бибкод : 2014JPhA...47P4006T. дои : 10.1088/1751-8113/47/42/424006. S2CID  119261375.
19. Пецце, Лука; Смерзи, Аугусто (10 марта 2009 г.). «Запутывание, нелинейная динамика и предел Гейзенберга». Письма о физических отзывах . 102 (10): 100401. arXiv : 0711.4840 . Бибкод : 2009PhRvL.102j0401P. doi : 10.1103/PhysRevLett.102.100401. PMID  19392092. S2CID  13095638.
20. Хиллус, Филипп (2012). «Информация Фишера и многочастичная запутанность». Физический обзор А. 85 (2): 022321. arXiv : 1006.4366 . Бибкод : 2012PhRvA..85b2321H. doi :10.1103/physreva.85.022321. S2CID  118652590.
21. Тот, Геза (2012). «Многосторонняя запутанность и высокоточная метрология». Физический обзор А. 85 (2): 022322. arXiv : 1006.4368 . Бибкод : 2012PhRvA..85b2322T. doi :10.1103/physreva.85.022322. S2CID  119110009.
22. Тот, Геза (2021). Обнаружение запутанности и квантовая метрология в квантовых оптических системах (PDF) . Будапешт: Докторская диссертация представлена ​​в Венгерскую академию наук. п. 68.
23. Вигнер, EP; Янасэ, ММ (1 июня 1963 г.). «Информационное содержание раздач». Труды Национальной академии наук . 49 (6): 910–918. Бибкод : 1963PNAS...49..910W. дои : 10.1073/pnas.49.6.910 . ПМК 300031 . ПМИД  16591109. 
24. Фрёвис, Флориан; Шмид, Роман; Гизин, Николя (2 июля 2015 г.). «Более строгие соотношения квантовой неопределенности, вытекающие из общей вероятностной границы». Физический обзор А. 92 (1): 012102. arXiv : 1409.4440 . Бибкод : 2015PhRvA..92a2102F. doi :10.1103/PhysRevA.92.012102. S2CID  58912643.
25. Тот, Геза; Фрёвис, Флориан (31 января 2022 г.). «Отношения неопределенности с дисперсией и квантовой информацией Фишера на основе выпуклых разложений матриц плотности». Обзор физических исследований . 4 (1): 013075. arXiv : 2109.06893 . Бибкод : 2022PhRvR...4a3075T. doi : 10.1103/PhysRevResearch.4.013075. S2CID  237513549.
26. Чиу, Шао-Хен; Гесснер, Мануэль (31 января 2022 г.). «Улучшение отношений неопределенности суммы с помощью квантовой информации Фишера». Обзор физических исследований . 4 (1): 013076. arXiv : 2109.06900 . Бибкод : 2022PhRvR...4a3076C. doi : 10.1103/PhysRevResearch.4.013076. S2CID  237513883.