Квантовая тривиальность

Возможный результат перенормировки в физике

В квантовой теории поля экранирование заряда может ограничить значение наблюдаемого «перенормированного» заряда классической теории. Если единственное результирующее значение перенормированного заряда равно нулю, теория называется «тривиальной» или невзаимодействующей. Таким образом, как ни удивительно, классическая теория, описывающая взаимодействующие частицы, может, будучи реализована как квантовая теория поля, стать «тривиальной» теорией невзаимодействующих свободных частиц. Это явление называется квантовой тривиальностью . Веские доказательства подтверждают идею о том, что теория поля, включающая только скалярный бозон Хиггса , тривиальна в четырех измерениях пространства-времени, ^{[1] [2]} , но ситуация для реалистичных моделей, включающих другие частицы в дополнение к бозону Хиггса, в целом не известна. Тем не менее, поскольку бозон Хиггса играет центральную роль в Стандартной модели физики элементарных частиц , вопрос тривиальности моделей Хиггса имеет большое значение.

Эта тривиальность Хиггса аналогична проблеме полюса Ландау в квантовой электродинамике , где эта квантовая теория может быть противоречивой в очень высоких масштабах импульса, если перенормированный заряд не установлен равным нулю, т. е. если теория поля не имеет взаимодействий. Вопрос о полюсе Ландау обычно считается не имеющим большого академического интереса для квантовой электродинамики из-за недостижимо большого масштаба импульса, при котором появляется несогласованность. Однако это не относится к теориям, включающим элементарный скалярный бозон Хиггса, поскольку масштаб импульса, в котором «тривиальная» теория демонстрирует противоречия, может быть доступен для проведения экспериментальных исследований, таких как Большой адронный коллайдер (БАК) в ЦЕРН . В этих теориях Хиггса предполагается, что взаимодействия частицы Хиггса с самой собой порождают массы W- и Z-бозонов , а также лептонные массы, такие как массы электрона и мюона . Если реалистичные модели физики элементарных частиц, такие как Стандартная модель, страдают от проблем с тривиальностью, идею элементарной скалярной частицы Хиггса, возможно, придется изменить или отказаться от нее.

Однако ситуация становится более сложной в теориях, в которых участвуют другие частицы. Фактически, добавление других частиц может превратить тривиальную теорию в нетривиальную ценой введения ограничений. В зависимости от деталей теории масса Хиггса может быть ограничена или даже вычислима. ^[2] Эти квантовые ограничения тривиальности резко контрастируют с картиной, которую можно получить на классическом уровне, где масса Хиггса является свободным параметром. Квантовая тривиальность также может привести к вычислимой массе Хиггса в асимптотических сценариях безопасности.

Тривиальность и ренормгруппа

Современные соображения тривиальности обычно формулируются в терминах ренормгруппы реального пространства , в значительной степени разработанной Кеннетом Уилсоном и другими. Исследования тривиальности обычно проводятся в рамках калибровочной теории решетки . Более глубокое понимание физического смысла и обобщение процесса перенормировки, выходящее за рамки дилатационной группы обычных перенормируемых теорий, пришло из физики конденсированного состояния. В статье Лео П. Каданова в 1966 году была предложена ренормгруппа «блочного спина». ^[3] Идея блокировки – это способ определить компоненты теории на больших расстояниях как совокупность компонентов на более коротких расстояниях.

Этот подход охватывал концептуальную точку и получил полное вычислительное содержание ^[4] в обширных важных вкладах Уилсона. Сила идей Вильсона была продемонстрирована конструктивным итерационным перенормировочным решением давней проблемы, проблемы Кондо , в 1974 году, а также предыдущими плодотворными разработками его нового метода в теории фазовых переходов второго рода и критических явлений. в 1971 году ^{[ нужна ссылка ]} . За этот решающий вклад в 1982 году он был удостоен Нобелевской премии.

Говоря более техническим языком, давайте предположим, что у нас есть теория, описываемая определенной функцией переменных состояния и определенным набором констант связи . Эта функция может быть статистической суммой , действием , гамильтонианом и т. д. Она должна содержать полное описание физики системы. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \{s_{i}\}}$ ${\displaystyle \{J_{k}\}}$

Теперь рассмотрим некое блокирующее преобразование переменных состояния , число которых должно быть меньше числа . Теперь попробуем переписать функцию только в терминах . Если это достижимо некоторым изменением параметров , то теория называется перенормируемой . Самой важной информацией в потоке РГ являются его неподвижные точки . Возможные макроскопические состояния системы в большом масштабе задаются этим набором фиксированных точек. Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, теория называется тривиальной . Многочисленные неподвижные точки появляются при изучении решеточных теорий Хиггса , но природа связанных с ними квантовых теорий поля остается открытым вопросом. ^[2] ${\displaystyle \{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}}$ ${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$ ${\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}}$

Историческая справка

Первое свидетельство возможной тривиальности квантовых теорий поля было получено Ландау, Абрикосовым и Халатниковым ^{[5] [6] [7]} , найдя следующую связь наблюдаемого заряда g _obs с «голым» зарядом g ₀ :

где m — масса частицы, а Λ — обрезание импульса. Если g0 _{конечно} , то g _obs стремится к нулю в пределе бесконечного обрезания Λ .

Фактически, правильная интерпретация уравнения 1 состоит в его обращении, так что g ₀ (связанный с масштабом длины 1/Λ ) выбирается так, чтобы дать правильное значение g _obs ,

Рост g ₀ с увеличением Λ делает уравнения недействительными. ( 1 ) и ( 2 ) в области g ₀ ≈ 1 (поскольку они были получены при g ₀ ≪ 1 ) и существование «полюса Ландау» в уравнении (2) не имеет физического смысла.

Реальное поведение заряда g ( µ ) в зависимости от масштаба импульса µ определяется полным уравнением Гелл-Манна–Лоу

что дает уравнения ( 1 ), ( 2 ), если оно интегрировано при условиях g ( µ ) = g _obs для µ = m и g ( µ ) = g ₀ для µ = Λ , когда в Правая сторона. ${\displaystyle \beta _{2}}$

Общее поведение зависит от появления функции β ( g ) . По классификации Боголюбова и Ширкова ^[8] существуют три качественно различные ситуации: ${\displaystyle g(\mu )}$

1. если имеет нуль при конечном значении g ^* , то рост g является насыщенным, т.е. для ; ${\displaystyle \beta (g)}$ ${\displaystyle g(\mu )\to g^{*}}$ ${\displaystyle \mu \to \infty }$
2. если является непеременным и при больших ведет себя как при , то рост продолжается до бесконечности; ${\displaystyle \beta (g)}$ ${\displaystyle \beta (g)\propto g^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \leq 1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(\mu )}$
3. если с при больших , то при конечном значении расходится и возникает действительный полюс Ландау: теория внутренне противоречива из-за неопределенности при . ${\displaystyle \beta (g)\propto g^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(\mu )}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle g(\mu )}$ ${\displaystyle \mu >\mu _{0}}$

Последний случай соответствует квантовой тривиальности в полной теории (вне контекста ее возмущений), как это можно увидеть путем доведения до абсурда . Действительно, если g _obs конечно, теория внутренне противоречива. Единственный способ избежать этого — стремиться к бесконечности, что возможно только при _gobs → 0 . ${\displaystyle \mu _{0}}$

Выводы

В результате вопрос о том, является ли Стандартная модель физики элементарных частиц нетривиальной, остается серьезным нерешенным вопросом. Теоретические доказательства тривиальности чистой скалярной теории поля существуют, но ситуация для полной стандартной модели неизвестна. Обсуждались подразумеваемые ограничения стандартной модели. ^{[9] [10] [11] [12] [13] [14]}

Смотрите также

• Проблема иерархии

Рекомендации

1. Р. Фернандес; Дж. Фрелих ; А.Д. Сокаль (1992). Случайные блуждания, критические явления и тривиальность в квантовой теории поля . Спрингер . ISBN 0-387-54358-9.
2. DJE Callaway (1988). «Погоня за тривиальностью: могут ли существовать элементарные скалярные частицы?». Отчеты по физике . 167 (5): 241–320. Бибкод : 1988PhR...167..241C. дои : 10.1016/0370-1573(88)90008-7.
3. LP Kadanoff (1966): «Законы масштабирования для моделей Изинга вблизи », Physics (Лонг-Айленд-Сити, Нью-Йорк) 2 , 263. ${\displaystyle T_{c}}$
4. К. Г. Уилсон (1975): Ренормгруппа: критические явления и проблема Кондо, Rev. Mod. Физ. 47 , 4, 773.
5. Л.Д. Ландау ; А.А. Абрикосов ; И. М. Халатников (1954). «Об устранении бесконечностей в квантовой электродинамике». Доклады Академии наук СССР . 95 : 497.
6. Л.Д. Ландау; А. А. Абрикосов, И. М. Халатников (1954). «Асимптотический экспрессин функции Грина электрона в квантовой электродинамике». Доклады Академии наук СССР . 95 : 773.
7. Л.Д. Ландау; А. А. Абрикосов, И. М. Халатников (1954). «Асимптотический экспрессин функции Грина фотона в квантовой электродинамике». Доклады Академии наук СССР . 95 :1177.
8. Н. Н. Боголюбов; Д. В. Ширков (1980). Введение в теорию квантованных полей (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-04223-5.
9. Каллауэй, Д.; Петронцио, Р. (1987). «Предсказуема ли стандартная модель массы Хиггса?». Ядерная физика Б . 292 : 497–526. Бибкод : 1987NuPhB.292..497C. дои : 10.1016/0550-3213(87)90657-2.
10. И. М. Суслов (2010). «Асимптотическое поведение β- функции в теории φ ⁴ : схема без комплексных параметров». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 111 (3): 450–465. arXiv : 1010.4317 . Бибкод : 2010JETP..111..450S. дои : 10.1134/S1063776110090153. S2CID  118545858.
11. Фраска, Марко (2011). Теорема об отображении и функции Грина в теории Янга-Миллса (PDF) . Многоликость КХД. Триест : Труды науки. п. 039. arXiv : 1011.3643 . Бибкод : 2010mfq..confE..39F . Проверено 27 августа 2011 г.
12. Каллауэй, DJE (1984). «Нетривиальность калибровочных теорий с элементарными скалярами и верхними оценками масс Хиггса». Ядерная физика Б . 233 (2): 189–203. Бибкод : 1984NuPhB.233..189C. дои : 10.1016/0550-3213(84)90410-3.
13. Линднер, М. (1986). «Следствия тривиальности для стандартной модели». Zeitschrift für Physik C. 31 (2): 295–300. Бибкод : 1986ZPhyC..31..295L. дои : 10.1007/BF01479540. S2CID  123166350.
14. Урс Хеллер, Маркус Кломфасс, Герберт Нойбергер и Павлос Вранас (1993). «Численный анализ границы тривиальности массы Хиггса», Nucl. Физ. , Б405 : 555-573.