Квантовый шум

Квантовый эффект неопределенности

Квантовый шум — это шум, возникающий из-за неопределенного состояния материи в соответствии с фундаментальными принципами квантовой механики , в частности, с принципом неопределенности и через флуктуации энергии нулевой точки . Квантовый шум возникает из-за явно дискретной природы малых квантовых составляющих, таких как электроны , а также из-за дискретной природы квантовых эффектов, таких как фототоки .

Квантифицированный шум аналогичен классической теории шума и не всегда возвращает асимметричную спектральную плотность. ^{[1] [ необходимо разъяснение ]}

Дробовой шум , как его назвал Дж. Вердейен ^[2], — это форма квантового шума, связанная со статистикой подсчета фотонов , дискретной природой электронов и генерацией собственного шума в электронике. В отличие от дробового шума, ^{[ необходимо разъяснение ]} квантово-механический принцип неопределенности устанавливает нижний предел измерения. Принцип неопределенности требует, чтобы любой усилитель или детектор имел шум. ^[1]

Макроскопические проявления квантовых явлений легко нарушаются, поэтому квантовый шум в основном наблюдается в системах, где обычные источники шума подавлены. В общем, шум представляет собой неконтролируемое случайное отклонение от ожидаемого значения и, как правило, является нежелательным. Общими причинами являются тепловые флуктуации, механические вибрации, промышленный шум , флуктуации напряжения от источника питания, тепловой шум из-за броуновского движения , шум приборов, выходной режим лазера, отклоняющийся от желаемого режима работы и т. д. Если они присутствуют и не контролируются тщательно, эти другие источники шума обычно доминируют и маскируют квантовый шум.

В астрономии устройством, которое расширяет границы квантового шума, является гравитационно-волновая обсерватория LIGO .

Микроскоп Гейзенберга

Квантовый шум можно проиллюстрировать, рассмотрев микроскоп Гейзенберга, где положение атома измеряется по рассеянию фотонов. Принцип неопределенности задается как,

$${\displaystyle \Delta x_{imp}\Delta p_{BA}\gtrsim \hbar .}$$

Где - неопределенность положения атома, а - неопределенность импульса или иногда называемого обратным действием (импульс, переданный атому) вблизи квантового предела . Точность измерения положения может быть увеличена за счет знания импульса атома. Когда положение известно достаточно точно, обратное действие начинает влиять на измерение двумя способами. Во-первых, оно будет передавать импульс обратно измерительным приборам в экстремальных случаях. Во-вторых, у нас уменьшается будущее знание будущего положения атома. Точные и чувствительные приборы будут приближаться к принципу неопределенности в достаточно контролируемых средах. ${\displaystyle \Delta x_{imp}}$ ${\displaystyle \Delta p_{BA}}$

Основы теории шума

Шум имеет практическое значение для точного машиностроения и инженерных систем, приближающихся к стандартному квантовому пределу. Типичное инженерное рассмотрение квантового шума касается квантового неразрушающего измерения и квантового точечного контакта . Поэтому квантификация шума полезна. ^{[2] [3] [4]} Шум сигнала количественно определяется как преобразование Фурье его автокорреляции . Автокорреляция сигнала задается как которая измеряет, когда наш сигнал положительно, отрицательно или не коррелирован в разное время и . Среднее по времени, , равно нулю, а наш — это сигнал напряжения. Его преобразование Фурье происходит, потому что мы измеряем напряжение в конечном временном окне. Теорема Винера–Хинчина в целом утверждает, что спектр мощности шума задается как автокорреляция сигнала, т. е. $${\displaystyle G_{vv}(t-t')=\langle V(t)V(t')\rangle ,}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle \langle V(t)\rangle }$ ${\displaystyle V(t)}$ $${\displaystyle V(\omega )={\frac {1}{\sqrt {T}}}\int _{0}^{T}V(t)e^{i\omega t}dt}$$ $${\displaystyle S_{vv}(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}G_{vv}dt=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}\langle |V(\omega )|^{2}\rangle dt}$$

Вышеуказанное соотношение иногда называют спектром мощности или спектральной плотностью. В приведенной выше схеме мы предположили, что

• Наш шум стационарен или вероятность не меняется со временем. Имеет значение только разница во времени .
• Шум возникает из-за очень большого числа флуктуирующих зарядов, поэтому применима центральная предельная теорема, т. е. шум распределен по гауссовскому или нормальному закону .
• ${\displaystyle G_{vv}}$быстро спадает до нуля в течение некоторого времени . ${\displaystyle \tau _{c}}$
• Мы делаем выборку в течение достаточно большого времени, , что наш интеграл масштабируется как случайное блуждание . Таким образом, наш не зависит от измеренного времени для . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\sqrt {T}}}$ ${\displaystyle V(\omega )}$ ${\displaystyle T\gg \tau _{c}}$
  Говоря по-другому, как . ${\displaystyle G_{vv}(t-t')\to 0}$ ${\displaystyle |t-t'|\gg \tau _{c}}$

Можно показать, что идеальный сигнал "цилиндр", который может соответствовать конечному измерению напряжения в течение некоторого времени, будет производить шум по всему спектру как функцию sinc. Даже в классическом случае шум производится.

Классический и квантовый шум

Для изучения квантового шума соответствующие классические измерения заменяются квантовыми операторами, например, где — квантовое статистическое среднее с использованием матрицы плотности в картине Гейзенберга. $${\displaystyle S_{xx}(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle dt,}$$ ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$

Квантовый шум и принцип неопределенности

Неопределенность Гейзенберга подразумевает существование шума. ^[5] Оператор с эрмитовым сопряжением следует соотношению, . Определим как , где является действительным. И являются квантовыми операторами. Мы можем показать следующее, ${\displaystyle AA^{\dagger }\geq 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=\delta x+\lambda e^{i\theta }\delta y}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \langle \delta x^{2}\rangle \langle \delta y^{2}\rangle \geq {\frac {1}{4}}|\langle [\delta x,\delta y]\rangle |^{2}+|\langle [\delta x,\delta y]_{+}\rangle |^{2}}$$где — средние значения по волновой функции и другим статистическим свойствам. Левые члены — это неопределенность в и , второй член справа — ковариация или , которая возникает из-за связи с внешним источником или квантовыми эффектами. Первый член справа соответствует соотношению коммутатора и будет сокращаться, если x и y коммутируют . Это источник нашего квантового шума. ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \langle \delta x\delta y+\delta y\delta x\rangle }$

Демонстративно позволить и соответствовать положению и импульсу, которые удовлетворяют хорошо известному коммутаторному соотношению, . Тогда наше новое выражение будет иметь вид, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [x,p]=i\hbar }$

$${\displaystyle \Delta x\Delta y\geq {\sqrt {{\frac {1}{4}}\hbar ^{2}+\sigma _{xy}^{2}}}}$$

Где — корреляция. Если второй член справа исчезает, то мы восстанавливаем принцип неопределенности Гейзенберга. ${\displaystyle \sigma _{xy}}$

Гармоническое движение и слабосвязанная тепловая ванна

Рассмотрим движение простого гармонического осциллятора с массой, , и частотой, , соединенного с некоторой тепловой ванной, которая удерживает систему в равновесии. Уравнения движения задаются как, ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle x(t)=x(0)\cos(\Omega t)+p(0){\frac {1}{M\Omega }}\sin(\Omega t)}$$

Квантовая автокорреляция тогда имеет вид:

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{xx}&=\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle \\&=\langle {\hat {x}}(0){\hat {x}}(0)\rangle \cos(\Omega t)+\langle {\hat {p}}(0){\hat {x}}(0)\rangle \sin(\Omega t)\end{aligned}}}$$

Классически, нет никакой корреляции между положением и импульсом. Принцип неопределенности требует, чтобы второй член был ненулевым. Он переходит в . Мы можем взять теорему о равнораспределении или тот факт, что в равновесии энергия равномерно распределена между степенями свободы молекулы/атома в тепловом равновесии, т.е. ${\displaystyle i\hbar /2}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}M\Omega ^{2}\langle x^{2}\rangle ={\frac {1}{2}}k_{\text{B}}T}$$

В классической автокорреляции мы имеем

$${\displaystyle G_{xx}={\frac {k_{\text{B}}T}{M\Omega ^{2}}}\cos(\Omega t)\to S_{xx}(\omega )=\pi {\frac {k_{\text{B}}T}{M\Omega ^{2}}}[\delta (\omega -\Omega )+\delta (\omega +\Omega )]}$$

в то время как в квантовой автокорреляции мы имеем

$${\displaystyle G_{xx}=\left({\frac {\hbar }{2M\Omega }}\right)\left\{n_{BE}(\hbar \Omega )e^{i\Omega t}+[n_{BE}(\hbar \Omega )+1]e^{-i\Omega t}\right\}\to S_{xx}(\omega )=2\pi \left({\frac {\hbar }{2M\Omega }}\right)[n_{BE}(\hbar \Omega )\delta (\omega -\Omega )+[n_{BE}(\hbar \Omega )+1]\delta (\omega +\Omega )]}$$

Где дробные члены в скобках — это неопределенность энергии нулевой точки. Это распределение популяции Бозе-Эйнштейна. Обратите внимание, что квант асимметричен в из-за мнимой автокорреляции. По мере увеличения температуры до более высокой, что соответствует достижению предела . Можно показать, что квант приближается к классическому . Это позволяет ${\displaystyle n_{BE}}$ ${\displaystyle S_{xx}}$ ${\displaystyle k_{B}T\gg \hbar \Omega }$ ${\displaystyle S_{xx}}$ ${\textstyle n_{BE}\approx n_{BE}+1\approx {\frac {k_{\text{B}}T}{\hbar \Omega }}}$

Физическая интерпретация спектральной плотности

Обычно положительная частота спектральной плотности соответствует потоку энергии в осциллятор (например, квантованному полю фотонов), тогда как отрицательная частота соответствует испусканию энергии из осциллятора . Физически асимметричная спектральная плотность будет соответствовать либо чистому потоку энергии из нашей модели осциллятора, либо к ней.

Линейный коэффициент усиления и квантовая неопределенность

Большинство оптических коммуникаций используют амплитудную модуляцию , где квантовый шум в основном является дробовым шумом . Квантовый шум лазера , если не учитывать дробовой шум, является неопределенностью амплитуды и фазы его электрического поля . Эта неопределенность становится наблюдаемой, когда квантовый усилитель сохраняет фазу. Фазовый шум становится важным, когда энергия частотной модуляции или фазовой модуляции сравнима с энергией сигнала (частотная модуляция более устойчива, чем амплитудная модуляция, из-за аддитивного шума, присущего амплитудной модуляции).

Линейное усиление

Идеальное бесшумное усиление не может существовать. ^[6] Рассмотрим усиление потока фотонов, идеальное линейное бесшумное усиление и соотношение неопределенности «энергия-время».

$${\displaystyle \Delta E\Delta t\gtrsim \hbar /2}$$

Фотоны, игнорируя неопределенность частоты, будут иметь неопределенность в своей общей фазе и числе и предполагают известную частоту, т. е. и . Мы можем подставить эти соотношения в наше уравнение неопределенности энергии-времени, чтобы найти соотношение неопределенности числа-фазы или неопределенность в фазе и числе фотонов. ${\displaystyle \Delta \phi =2\pi \nu \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta E=h\nu \Delta n}$ $${\displaystyle \Delta n\Delta \phi >1/2}$$

Пусть идеальный линейный бесшумный коэффициент усиления, , действует на поток фотонов. Мы также предполагаем единичную квантовую эффективность , или каждый фотон преобразуется в фототок. Выход будет следующим без добавления шума. ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle n_{0}\pm \Delta n_{0}\to Gn_{0}\pm G\Delta n_{0}}$$

Фаза также будет изменена,

$${\displaystyle \phi _{0}\pm \Delta \phi _{0}\to \phi _{0}+\theta +\Delta \phi _{0},}$$где - общая накопленная фаза, когда фотоны проходили через среду усиления. Подстановка наших выходных коэффициентов усиления и фазовых неопределенностей дает нам ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle \Delta n_{0}\Delta \phi _{0}>1/2G.}$$

Наш коэффициент усиления равен , что противоречит нашим принципам неопределенности. Таким образом, линейный бесшумный усилитель не может увеличить свой сигнал без шума . Более глубокий анализ, проведенный Х. Хеффнером, показал, что минимальная выходная мощность шума, необходимая для соответствия принципу неопределенности Гейзенберга, определяется как ^[7] где — половина полной ширины на половине максимума , частота фотонов, а — постоянная Планка . Член с иногда называют квантовым шумом ^[6] ${\displaystyle G>1}$ $${\displaystyle P_{n}=h\nu B(G-1)}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h\nu B_{0}/2}$ ${\displaystyle B_{0}=2B}$

Дробовой шум и инструментарий

В прецизионной оптике с высокостабилизированными лазерами и эффективными детекторами квантовый шум относится к флуктуациям сигнала.

Случайная ошибка интерферометрических измерений положения, обусловленная дискретным характером измерения фотонов, является еще одним квантовым шумом. Неопределенность положения зонда в зондовой микроскопии также может быть отнесена к квантовому шуму; но не к доминирующему механизму, управляющему разрешением.

В электрической цепи случайные флуктуации сигнала из-за дискретного характера электронов можно назвать квантовым шумом. ^[8] Эксперимент С. Сарафа и др. ^[9] продемонстрировал измерения, ограниченные дробовым шумом, как демонстрацию измерений квантового шума. Вообще говоря, они усилили лазер в свободном пространстве на Nd:YAG с минимальным добавлением шума при переходе от линейного к нелинейному усилению. Для эксперимента потребовались Фабри-Перо для фильтрации шумов лазерной моды и выбора частот, два отдельных, но идентичных зондирующих и насыщающих луча для обеспечения некоррелированных лучей, среда усиления в виде зигзагообразной пластины и сбалансированный детектор для измерения квантового шума или шума, ограниченного дробовым шумом.

Мощность дробового шума

Теория, лежащая в основе анализа шума статистики фотонов (иногда называемая прямым уравнением Колмогорова ), начинается с уравнения Мастерса из работы Шимоды и др. ^[10].

$${\displaystyle {\frac {dP_{n}}{dx}}=a[nP_{n-1}-(n+1)P_{n}]+b[(n+1)P_{n+1}-nP_{n}]}$$

где соответствует сечению излучения и произведению верхнего числа популяций , а - сечение поглощения . Вышеуказанное соотношение описывает вероятность обнаружения фотонов в режиме излучения . Динамика учитывает только соседние моды и , поскольку фотоны проходят через среду возбужденных и основных атомов из положения в . Это дает нам в общей сложности 4 фотонных перехода, связанных с одним уровнем энергии фотона. Два числа фотонов добавляются к полю и покидают атом, и и два фотона покидают поле в атоме и . Его шумовая мощность определяется как, ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma _{e}N_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma _{a}N_{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle |n+1\rangle }$ ${\displaystyle |n-1\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+dx}$ ${\displaystyle |n-1\rangle \to |n\rangle }$ ${\displaystyle |n\rangle \to |n+1\rangle }$ ${\displaystyle |n+1\rangle \to |n\rangle }$ ${\displaystyle |n\rangle \to |n-1\rangle }$

$${\displaystyle P_{d}^{2}=P_{\text{shot}}^{2}[1+2f_{sp}\eta (G-1)]}$$

Где,

• ${\displaystyle P_{d}}$это мощность на детекторе,
• ${\displaystyle P_{\text{shot}}}$это ограниченный по мощности шум выстрела,
• ${\displaystyle G}$ненасыщенный коэффициент усиления и также верно для насыщенного коэффициента усиления,
• ${\displaystyle \eta }$это коэффициент эффективности. Это произведение эффективности окна пропускания к нашему фотодетектору и квантовой эффективности.
• ${\displaystyle f_{sp}}$- это фактор спонтанной эмиссии, который обычно соответствует относительной силе спонтанной эмиссии по отношению к вынужденной эмиссии. Значение, равное единице, будет означать, что все легированные ионы находятся в возбужденном состоянии. ^[11]

Шариф и др. продемонстрировали измерения, ограниченные квантовым шумом или дробовым шумом, в широком диапазоне усиления мощности, что согласуется с теорией.

Нулевые колебания

Существование нулевых энергетических флуктуаций хорошо известно в теории квантованного электромагнитного поля. ^[12] Вообще говоря, при самом низком энергетическом возбуждении квантованного поля, которое пронизывает все пространство (т.е. мода поля находится в вакуумном состоянии), среднеквадратичное колебание напряженности поля не равно нулю. Это объясняет вакуумные колебания, которые пронизывают все пространство.

Эта вакуумная флуктуация или квантовый шум повлияет на классические системы. Это проявится как квантовая декогеренция в запутанной системе, обычно приписываемая термическим различиям в условиях, окружающих каждую запутанную частицу. ^{[ требуется разъяснение ]} Поскольку запутанность интенсивно изучается в простых парах запутанных фотонов, например, декогеренция, наблюдаемая в экспериментах, вполне может быть синонимом «квантового шума» в отношении источника декогеренции. Вакуумная флуктуация является возможной причиной спонтанного появления квантов энергии в данном поле или пространстве-времени, тогда термические различия должны быть связаны с этим событием. Следовательно, это вызовет декогеренцию в запутанной системе вблизи события. ^{[ сомнительно – обсудить ]}

Когерентные состояния и шум квантового усилителя

Лазер описывается когерентным состоянием света или суперпозицией собственных состояний гармонических осцилляторов. Эрвин Шредингер впервые вывел когерентное состояние для уравнения Шредингера, чтобы удовлетворить принципу соответствия в 1926 году. ^[12]

Лазер — это квантово-механическое явление (см. уравнения Максвелла–Блоха , приближение вращающейся волны и полуклассическую модель двухуровневого атома). Коэффициенты Эйнштейна и уравнения скорости лазера адекватны, если вас интересуют уровни заселенности, и вам не нужно учитывать квантовые когерентности заселенности (недиагональные члены в матрице плотности). Фотоны порядка 10 ⁸ соответствуют умеренной энергии. Относительная погрешность измерения интенсивности из-за квантового шума составляет порядка 10 ⁻⁵ . Это считается хорошей точностью для большинства приложений.

Квантовый усилитель

Квантовый усилитель — это усилитель, который работает близко к квантовому пределу. Квантовый шум становится важным, когда усиливается слабый сигнал. Квантовые неопределенности слабого сигнала в его квадратуре также усиливаются; это устанавливает нижний предел для усилителя. Шум квантового усилителя — это его выходная амплитуда и фаза. Как правило, лазер усиливается в диапазоне длин волн вокруг центральной длины волны, некоторого распределения мод и поляризационного распространения. Но можно рассмотреть одномодовое усиление и обобщить на множество различных мод. Фазоинвариантный усилитель сохраняет фазу входного усиления без резких изменений выходной фазовой моды. ^[13]

Квантовое усиление можно представить с помощью унитарного оператора , , как указано в статье Д. Кузнецова 1995 года. ${\displaystyle A_{\text{out}}=U^{\dagger }A_{\text{in}}U}$

Смотрите также

• Квантовая коррекция ошибок
• Квантовая оптика
• Квантовый предел
• Шум выстрела
• Квантовый гармонический осциллятор

Ссылки

1. Clark, Aashish A. "Квантовый шум и квантовые измерения" (PDF) . Получено 13 декабря 2021 г.
2. Verdeyen, Joseph T. (1995). Laser Electronics (3-е изд.). Prentice-Hall . ISBN 9780137066667.
3. Клерк, AA; Деворе, MH; Гирвин, SM; Марквардт, Флориан; Шелькопф, RJ (2010). «Введение в квантовый шум, измерение и усиление». Rev. Mod. Phys . 82 (2): 1155--1208. arXiv : 0810.4729 . Bibcode :2010RvMP...82.1155C. doi :10.1103/RevModPhys.82.1155. S2CID  119200464.
4. Генри, Чарльз Х.; Казаринов, Рудольф Ф. (1996). «Квантовый шум в фотонике». Rev. Mod. Phys . 68 (3): 01–853. Bibcode : 1996RvMP...68..801H. doi : 10.1103/RevModPhys.68.801.
5. Криспин В. Гардинер и Пол Цоллер (2004). Квантовый шум: Справочник по марковским и немарковским квантовым стохастическим методам с приложениями к квантовой оптике (3-е изд.). Springer. ISBN 978-3540223016.
6. Desurvire, Emmanuel (1994). Усилители на основе волокон с эрбием. Принципы и применение (1-е изд.). Wiley-Interscience. ISBN 978-0471589778.
7. Хеффнер, Хуберт (1962). «Фундаментальный предел шума линейных усилителей». Труды IRE . 50 (7): 1604-1608. doi :10.1109/JRPROC.1962.288130. S2CID  51674821.
8. CW Гардинер и Питер Золлер , Quantum Noise , Springer-Verlag (1991, 2000, 2004)
9. Сараф, Шалли и Урбанек, Карел и Байер, Роберт Л. и Кинг, Питер Дж. (2005). «Измерения квантового шума в насыщенном усилителе Nd:YAG с непрерывной лазерной диодной накачкой». Optics Letters . 30 (10): 1195–1197. Bibcode :2005OptL...30.1195S. doi :10.1364/ol.30.001195. PMID  15943307.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
10. Симода, Коити и Такахаси, Хидетоси и Х. Таунс, Чарльз (1957). «Флуктуации в усилении квантов с применением к усилителям мазеров». Журнал Физического общества Японии . 12 (5): 686-700. Bibcode : 1957JPSJ...12..686S. doi : 10.1143/JPSJ.12.686.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
11. Бишну П. Пал, ред. (2006). Компоненты и устройства волноводной оптики: основы, технологии и приложения (1-е изд.). Академический. ISBN 978-0-12-088481-0.
12. John S Townsend. (2012). Современный подход к квантовой механике (2-е изд.). University Science Books. ISBN 978-1891389788.
13. Д. Кузнецов; Д. Рорлих; Р. Ортега (1995). «Квантовый предел шума фазово-инвариантного усилителя». Physical Review A. 52 ( 2): 1665–1669. arXiv : cond-mat/9407011 . Bibcode : 1995PhRvA..52.1665K. doi : 10.1103/PhysRevA.52.1665. PMID  9912406. S2CID  19495906.

Дальнейшее чтение

• Клерк, Аашиш А. Квантовый шум и квантовые измерения . Oxford University Press.
• Клерк, Аашиш А. и др. Введение в квантовый шум, измерение и усиление , Обзоры современной физики 82 , 1155-1208.
• Гардинер, К. В. и Цоллер, П. Квантовый шум: Справочник по марковским и немарковским квантовым стохастическим методам с приложениями к квантовой оптике , Springer, 2004, 978-3540223016

Источники

• CW Gardiner и Peter Zoller , Квантовый шум: Справочник по марковским и немарковским квантово-стохастическим методам с приложениями к квантовой оптике, Springer-Verlag (1991, 2000, 2004).