Квантовая операция

Класс преобразований, которым могут подвергаться квантовые системы и процессы

В квантовой механике квантовая операция (также известная как квантовая динамическая карта или квантовый процесс ) — это математический формализм, используемый для описания широкого класса преобразований, которым может подвергаться квантовомеханическая система. Впервые это обсуждалось как общее стохастическое преобразование матрицы плотности Джорджем Сударшаном . ^[1] Формализм квантовых операций описывает не только унитарную временную эволюцию или преобразования симметрии изолированных систем, но также эффекты измерения и переходных взаимодействий с окружающей средой. В контексте квантовых вычислений квантовая операция называется квантовым каналом .

Обратите внимание, что некоторые авторы используют термин «квантовая операция» для обозначения полностью положительных (CP) и невозрастающих следов отображений в пространстве матриц плотности, а термин « квантовый канал » — для обозначения подмножества тех, которые являются строго следоохраняющий. ^[2]

Квантовые операции формулируются в терминах описания оператором плотности квантовомеханической системы. Строго говоря, квантовая операция — это линейное , полностью положительное отображение множества операторов плотности в себя. В контексте квантовой информации часто накладывают дополнительное ограничение, согласно которому квантовая операция должна быть физической ^[3] , то есть удовлетворять любому состоянию . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle 0\leq \operatorname {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho )]\leq 1}$ ${\displaystyle \rho }$

Некоторые квантовые процессы невозможно уловить в рамках формализма квантовых операций; ^{В [4]} в принципе матрица плотности квантовой системы может претерпевать совершенно произвольную эволюцию во времени. Квантовые операции обобщаются квантовыми инструментами , которые улавливают классическую информацию, полученную в ходе измерений, в дополнение к квантовой информации .

Фон

Картина Шредингера дает удовлетворительное объяснение эволюции состояния квантовой механической системы во времени при определенных предположениях. Эти предположения включают в себя

• Система нерелятивистская.
• Система изолирована.

Картина Шредингера для эволюции во времени имеет несколько математически эквивалентных формулировок. Одна из таких формулировок выражает скорость изменения состояния во времени через уравнение Шрёдингера . Более подходящая формулировка для этого изложения выражается следующим образом:

Влияние прохождения t единиц времени на состояние изолированной системы S задается унитарным оператором U _t на гильбертовом пространстве H, ассоциированном с S .

Это означает, что если в момент времени s система находится в состоянии, соответствующем v ∈ H , то через t единиц времени состояние будет U _t v . Для релятивистских систем не существует универсального параметра времени, но мы все же можем сформулировать влияние некоторых обратимых преобразований на квантовомеханическую систему. Например, преобразования состояния, связывающие наблюдателей в разных системах отсчета, задаются унитарными преобразованиями. В любом случае, эти преобразования состояний переводят чистые состояния в чистые состояния; это часто формулируют, говоря, что в этой идеализированной структуре не существует декогеренции .

Для взаимодействующих (или открытых) систем, например тех, которые подвергаются измерениям, ситуация совершенно иная. Начнем с того, что изменения состояний, испытываемые такими системами, не могут быть объяснены исключительно преобразованием множества чистых состояний (то есть тех, которые связаны с векторами нормы 1 в H ). После такого взаимодействия система в чистом состоянии φ может уже не находиться в чистом состоянии φ. В общем, это будет статистическая смесь последовательности чистых состояний φ ₁ , ..., φ _k с соответствующими вероятностями λ ₁ , ..., λ _k . Переход из чистого состояния в смешанное называется декогеренцией.

Для рассмотрения случая взаимодействующей системы были созданы многочисленные математические формализмы. Формализм квантовых операций возник примерно в 1983 году из работы Карла Крауса , который опирался на более ранние математические работы Ман-Дуэна Чоя. Его преимущество состоит в том, что он выражает такие операции, как измерение, как отображение состояний плотности в состояния плотности. В частности, эффект квантовых операций остается в пределах набора состояний плотности.

Определение

Напомним, что оператор плотности — это неотрицательный оператор в гильбертовом пространстве с единичным следом.

Математически квантовая операция — это линейное отображение Φ между пространствами ядерных операторов в гильбертовых пространствах H и G такое, что

• Если S — оператор плотности, Tr(Φ( S )) ≤ 1.
• Φ полностью положителен , то есть для любого натурального числа n и любой квадратной матрицы размера n , элементы которой являются операторами нулевого класса и которая неотрицательна, тогда также неотрицательна. Другими словами, Ф вполне положительна, если положительна для всех п , где обозначает тождественное отображение на С*-алгебре матриц . $${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{11}&\cdots &S_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\S_{n1}&\cdots &S_{nn}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Phi (S_{11})&\cdots &\Phi (S_{1n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\Phi (S_{n1})&\cdots &\Phi (S_{nn})\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle \Phi \otimes I_{n}}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$

Заметим, что по первому условию квантовые операции могут не сохранять свойство нормализации статистических ансамблей. В вероятностных терминах квантовые операции могут быть субмарковскими. Чтобы квантовая операция сохраняла набор матриц плотности, нам необходимо дополнительное предположение о том, что она сохраняет следы.

В контексте квантовой информации определенные здесь квантовые операции, т.е. полностью положительные карты, не увеличивающие след, также называются квантовыми каналами или стохастическими картами . Формулировка здесь ограничена каналами между квантовыми состояниями; однако его можно расширить, включив в него и классические состояния, что позволяет обрабатывать квантовую и классическую информацию одновременно.

Операторы Крауса

Теорема Крауса (названная в честь Карла Крауса ) характеризует полностью положительные отображения , которые моделируют квантовые операции между квантовыми состояниями. Неформально, теорема гарантирует, что действие любой такой квантовой операции на состояние всегда может быть записано как , для некоторого набора операторов, удовлетворяющих , где – тождественный оператор. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\textstyle \Phi (\rho )=\sum _{k}B_{k}\rho B_{k}^{*}}$ ${\displaystyle \{B_{k}\}_{k}}$ ${\textstyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}\leq \mathbf {1} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$

Формулировка теоремы

Теорема . ^[5] Позвольте и быть гильбертовыми пространствами размерности и соответственно, и быть квантовой операцией между и . Затем существуют матрицы, отображающиеся в такие, что для любого состояния . И наоборот, любое отображение этой формы является квантовой операцией . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ $${\displaystyle \{B_{i}\}_{1\leq i\leq nm}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle \Phi (\rho )=\sum _{i}B_{i}\rho B_{i}^{*}.}$$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\textstyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}\leq \mathbf {1} }$

Матрицы называются операторами Крауса . (Иногда их называют операторами шума или операторами ошибок , особенно в контексте квантовой обработки информации , где квантовая операция представляет собой шумные, вызывающие ошибки эффекты окружающей среды.) Теорема факторизации Стайнспринга расширяет приведенный выше результат до произвольного сепарабельного Гильберта. пространства H и G. ​Здесь S заменяется оператором ядерного класса и последовательностью ограниченных операторов. ${\displaystyle \{B_{i}\}}$ ${\displaystyle \{B_{i}\}}$

Унитарная эквивалентность

Матрицы Крауса не определяются однозначно квантовой операцией в целом. Например, разные факторизации Холецкого матрицы Чоя могут давать разные наборы операторов Крауса. Следующая теорема утверждает, что все системы матриц Крауса, представляющие одну и ту же квантовую операцию, связаны унитарным преобразованием: ${\displaystyle \Phi }$

Теорема . Пусть – квантовая операция (не обязательно сохраняющая след) на конечномерном гильбертовом пространстве H с двумя представляющими последовательностями матриц Крауса и . Тогда существует унитарная операторная матрица такая, что ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \{B_{i}\}_{i\leq N}}$ ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\leq N}}$ ${\displaystyle (u_{ij})_{ij}}$ $${\displaystyle C_{i}=\sum _{j}u_{ij}B_{j}.}$$

В бесконечномерном случае это обобщается на связь между двумя минимальными представлениями Стайнспринга .

Следствием теоремы Стайнспринга является то, что все квантовые операции могут быть реализованы путем унитарной эволюции после присоединения подходящей вспомогательной системы к исходной системе.

Примечания

Эти результаты также могут быть получены из теоремы Чоя о вполне положительных отображениях , характеризующей вполне положительное конечномерное отображение единственным эрмитово-положительным оператором плотности (матрицей Чоя) относительно следа. Среди всех возможных представлений Крауса данного канала существует каноническая форма, отличающаяся соотношением ортогональности операторов Крауса . Такой канонический набор ортогональных операторов Крауса можно получить путем диагонализации соответствующей матрицы Чоя и преобразования ее собственных векторов в квадратные матрицы. ${\displaystyle \operatorname {Tr} A_{i}^{\dagger }A_{j}\sim \delta _{ij}}$

Существует также бесконечномерное алгебраическое обобщение теоремы Чоя, известное как «теорема Радона-Никодима Белявкина для вполне положительных отображений», которое определяет оператор плотности как «производную Радона-Никодима» квантового канала относительно доминирующего полностью положительная карта (опорный канал). Он используется для определения относительной точности и взаимной информации для квантовых каналов.

Динамика

Для нерелятивистской квантово-механической системы ее эволюция во времени описывается однопараметрической группой автоморфизмов {α _t } _t группы Q . Это можно сузить до унитарных преобразований: при определенных слабых технических условиях (см. статью о квантовой логике и ссылку Варадараджана) существует сильно непрерывная однопараметрическая группа { U _t } _t унитарных преобразований основного гильбертова пространства такая, что элементы E из Q развиваются по формуле

${\displaystyle \alpha _{t}(E)=U_{t}^{*}EU_{t}.}$

Временную эволюцию системы можно также рассматривать двойственно, как временную эволюцию статистического пространства состояний. Эволюция статистического состояния задается семейством операторов {β _t } _t таких, что $${\displaystyle \operatorname {Tr} (\beta _{t}(S)E)=\operatorname {Tr} (S\alpha _{-t}(E))=\operatorname {Tr} (SU_{t}EU_{t}^{*})=\operatorname {Tr} (U_{t}^{*}SU_{t}E).}$$

Очевидно , что для каждого значения t S → U * _t S U _t является квантовой операцией. Более того, эта операция обратима .

Это можно легко обобщить: если G — связная группа Ли симметрий Q, удовлетворяющая одним и тем же слабым условиям непрерывности, то действие любого элемента g из G задается унитарным оператором U : это отображение g → U _g известно как проективное представление G .​ Отображения S → U * _g S U _g являются обратимыми квантовыми операциями. $${\displaystyle g\cdot E=U_{g}EU_{g}^{*}.}$$

Квантовые измерения

Квантовые операции можно использовать для описания процесса квантового измерения . Представленное ниже описание описывает измерение в терминах самосопряженных проекций на сепарабельное комплексное гильбертово пространство H , то есть в терминах PVM ( Проекционнозначной меры ). В общем случае измерения можно проводить с использованием неортогональных операторов, используя понятия POVM . Неортогональный случай интересен тем, что может повысить общую эффективность квантового прибора .

Двоичные измерения

Квантовые системы можно измерить, применив серию вопросов типа «да-нет» . Можно понимать, что этот набор вопросов выбран из ортодополненной решетки Q предложений квантовой логики . Решетка эквивалентна пространству самосопряженных проекторов на сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве H .

Рассмотрим систему в некотором состоянии S с целью определить, обладает ли она некоторым свойством E , где E — элемент решетки квантовых вопросов «да-нет» . Измерение в этом контексте означает подчинение системы некоторой процедуре для определения того, удовлетворяет ли государство свойство. Ссылке на состояние системы в этом обсуждении можно придать операциональное значение , рассматривая статистический ансамбль систем. Каждое измерение дает определенное значение 0 или 1; более того, применение процесса измерения к ансамблю приводит к предсказуемому изменению статистического состояния. Это преобразование статистического состояния задается квантовой операцией. Здесь E можно понимать как оператор проектирования . $${\displaystyle S\mapsto ESE+(I-E)S(I-E).}$$

Общий случай

В общем случае измерения проводятся на наблюдаемых, принимающих более двух значений.

Когда наблюдаемая A имеет чисто точечный спектр , ее можно записать в терминах ортонормированного базиса собственных векторов. То есть A имеет спектральное разложение , где E _A (λ) представляет собой семейство попарно ортогональных проекторов , каждый из которых на соответствующее собственное пространство A , связанное с измеренным значением λ. $${\displaystyle A=\sum _{\lambda }\lambda \operatorname {E} _{A}(\lambda )}$$

Измерение наблюдаемой A дает собственное значение A . Повторные измерения, выполненные на статистическом ансамбле S систем, приводят к распределению вероятностей по спектру собственных значений A . Это дискретное распределение вероятностей и определяется выражением $${\displaystyle \operatorname {Pr} (\lambda )=\operatorname {Tr} (S\operatorname {E} _{A}(\lambda )).}$$

Измерение статистического состояния S задается картой. То есть сразу после измерения статистическое состояние представляет собой классическое распределение по собственным пространствам, связанным с возможными значениями λ наблюдаемой: S — смешанное состояние . $${\displaystyle S\mapsto \sum _{\lambda }\operatorname {E} _{A}(\lambda )S\operatorname {E} _{A}(\lambda )\ .}$$

Не полностью положительные карты

Шаджи и Сударшан в статье Physical Review Letters утверждали, что при внимательном рассмотрении полная положительность не является требованием для хорошего представления открытой квантовой эволюции. Их расчеты показывают, что, если начать с некоторых фиксированных начальных корреляций между наблюдаемой системой и окружающей средой, карта, ограниченная самой системой, не обязательно будет даже положительной. Однако оно не является положительным только для тех состояний, которые не удовлетворяют предположению о виде исходных корреляций. Таким образом, они показывают, что для полного понимания квантовой эволюции следует учитывать и не полностью положительные отображения. ^{[4] [6] [7]}

Смотрите также

• Квантовая динамическая полугруппа
• Супероператор

Рекомендации

1. Сударшан, ЭКГ; Мэтьюз, премьер-министр; Рау, Джаясита (1 февраля 1961 г.). «Стохастическая динамика квантово-механических систем». Физический обзор . 121 (3). Американское физическое общество (APS): 920–924. Бибкод : 1961PhRv..121..920S. doi : 10.1103/physrev.121.920. ISSN  0031-899X.
2. Видбрук, Кристиан; Пирандола, Стефано; Гарсиа-Патрон, Рауль; Серф, Николас Дж.; Ральф, Тимоти К.; и другие. (01.05.2012). «Гауссова квантовая информация». Обзоры современной физики . 84 (2): 621–669. arXiv : 1110.3234 . Бибкод : 2012RvMP...84..621W. doi : 10.1103/revmodphys.84.621. hdl : 1721.1/71588 . ISSN  0034-6861. S2CID  119250535.
3. Нильсен и Чуанг (2010).
4. Печукас, Филипп (22 августа 1994 г.). «Сниженная динамика не обязательно должна быть полностью положительной». Письма о физических отзывах . 73 (8). Американское физическое общество (APS): 1060–1062. Бибкод : 1994PhRvL..73.1060P. doi : 10.1103/physrevlett.73.1060. ISSN  0031-9007. ПМИД  10057614.
5. Эта теорема доказана в работах Нильсена и Чуанга (2010), теоремы 8.1 и 8.3.
6. Шаджи, Анил; Сударшан, ЭКГ (2005). «Кто боится не совсем положительных карт?». Буквы по физике А. 341 (1–4). Эльзевир Б.В.: 48–54. Бибкод : 2005PhLA..341...48S. doi :10.1016/j.physleta.2005.04.029. ISSN  0375-9601.
7. Куффаро, Майкл Э.; Мирволд, Уэйн К. (2013). «К дискуссии о правильной характеристике квантовой динамической эволюции». Философия науки . 80 (5). Издательство Чикагского университета: 1125–1136. arXiv : 1206.3794 . дои : 10.1086/673733. ISSN  0031-8248. S2CID  31842197.

• Нильсен, Майкл А.; Чуанг, Исаак Л. (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация (10-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107002173. ОСЛК  665137861.
• Чой, Ман-Дуэн (1975). «Вполне положительные линейные отображения комплексных матриц». Линейная алгебра и ее приложения . 10 (3). Эльзевир Б.В.: 285–290. дои : 10.1016/0024-3795(75)90075-0 . ISSN  0024-3795.
• Сударшан, ЭКГ; Мэтьюз, премьер-министр; Рау, Джаясита (1 февраля 1961 г.). «Стохастическая динамика квантово-механических систем». Физический обзор . 121 (3). Американское физическое общество (APS): 920–924. Бибкод : 1961PhRv..121..920S. doi : 10.1103/physrev.121.920. ISSN  0031-899X.
• Белавкин, вице-президент; Сташевский, П. (1986). «Теорема Радона-Никодима для вполне положительных отображений». Доклады по математической физике . 24 (1). Эльзевир Б.В.: 49–55. Бибкод : 1986РпМП...24...49Б. дои : 10.1016/0034-4877(86)90039-x. ISSN  0034-4877.
• К. Краус, Состояния, эффекты и операции: фундаментальные понятия квантовой теории , Springer Verlag, 1983 г.
• В. Ф. Стайнспринг, Положительные функции в C*-алгебрах , Труды Американского математического общества, 211–216, 1955 г.
• В. Варадараджан, Геометрия квантовой механики, тома 1 и 2, Springer-Verlag, 1985 г.