Квартальное взаимодействие

Квантовая теория поля с четырехточечными взаимодействиями

В квантовой теории поля квартикальное взаимодействие — это тип самовзаимодействия в скалярном поле . Другие типы квартикальных взаимодействий можно найти в разделе о четырехфермионных взаимодействиях . Классическое свободное скалярное поле удовлетворяет уравнению Клейна–Гордона . Если скалярное поле обозначено , квартикальное взаимодействие представляется добавлением потенциального энергетического члена к плотности лагранжиана . Константа связи безразмерна в 4-мерном пространстве-времени . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle ({\lambda }/{4!})\varphi ^{4}}$ ${\displaystyle \lambda }$

В данной статье используется метрическая сигнатура для пространства Минковского . ${\displaystyle (+---)}$

Лагранжиан для действительного скалярного поля

Плотность лагранжиана для реального скалярного поля с квартикальным взаимодействием равна

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -m^{2}\varphi ^{2}]-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi ^{4}.}$

Этот лагранжиан имеет глобальное отображение симметрии Z ₂ . ${\displaystyle \varphi \to -\varphi }$

Лагранжиан для комплексного скалярного поля

Лагранжиан для комплексного скалярного поля можно мотивировать следующим образом. Для двух скалярных полей и лагранжиан имеет вид ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{1}\partial ^{\mu }\varphi _{1}-m^{2}\varphi _{1}^{2}]+{\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{2}\partial ^{\mu }\varphi _{2}-m^{2}\varphi _{2}^{2}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2})^{2},}$

что можно записать более кратко, введя комплексное скалярное поле, определяемое как ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}+i\varphi _{2}),}$

${\displaystyle \phi ^{*}\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}-i\varphi _{2}).}$

Выраженный в терминах этого комплексного скалярного поля, приведенный выше лагранжиан становится

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )=\partial ^{\mu }\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2},}$

что, таким образом, эквивалентно модели SO(2) реальных скалярных полей , как можно увидеть, разложив комплексное поле на действительную и мнимую части. ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}}$ ${\displaystyle \phi }$

С реальными скалярными полями мы можем иметь модель с глобальной симметрией SO(N), заданной лагранжианом ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi ^{4}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},...,\varphi _{N})={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi _{a}\partial _{\mu }\varphi _{a}-m^{2}\varphi _{a}\varphi _{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.}$

Разложение комплексного поля на действительную и мнимую части показывает, что оно эквивалентно модели SO(2) действительных скалярных полей.

Во всех вышеприведенных моделях константа связи должна быть положительной, так как в противном случае потенциал был бы неограничен снизу, и не было бы стабильного вакуума. Кроме того, интеграл Фейнмана по траектории, обсуждаемый ниже, был бы плохо определен. В 4 измерениях теории имеют полюс Ландау . Это означает, что без обрезания на шкале высоких энергий перенормировка сделала бы теорию тривиальной . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \phi ^{4}}$

Модель принадлежит к классу Гриффитса-Саймона ^[1] , что означает, что ее можно представить также как слабый предел модели Изинга на определенном типе графика. Тривиальность как модели, так и модели Изинга в может быть показана с помощью графического представления, известного как расширение случайного тока. ^[2] ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle d\geq 4}$

Фейнмановское интегральное квантование

Расширение диаграммы Фейнмана может быть получено также из формулы интеграла по траектории Фейнмана . ^[3] Упорядоченные по времени вакуумные ожидаемые значения полиномов по φ, известные как n -частичные функции Грина, строятся путем интегрирования по всем возможным полям, нормализованным вакуумным ожидаемым значением без внешних полей,

${\displaystyle \langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.}$

Все эти функции Грина могут быть получены путем разложения экспоненты по J ( x )φ( x ) в производящей функции

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle .}$

Вращение Вика может быть применено, чтобы сделать время мнимым. Изменение подписи на (++++) затем дает φ ⁴ статистический механика интеграл по 4-мерному евклидову пространству ,

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left({1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}.}$

Обычно это применяется к рассеянию частиц с фиксированными импульсами, и в этом случае полезно преобразование Фурье , дающее вместо этого

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{\lambda \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.}$

где — дельта-функция Дирака . ${\displaystyle \delta (x)}$

Стандартный прием для оценки этого функционального интеграла состоит в том, чтобы записать его в виде произведения экспоненциальных множителей, схематически:

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].}$

Вторые два экспоненциальных фактора можно разложить в степенной ряд , а комбинаторику этого разложения можно представить графически. Интеграл с λ = 0 можно рассматривать как произведение бесконечного числа элементарных гауссовых интегралов, а результат можно выразить как сумму диаграмм Фейнмана , вычисленных с использованием следующих правил Фейнмана:

• Каждое поле в n -точечной евклидовой функции Грина представлено внешней линией (полуребром) на графике и связано с импульсом p . ${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)}$
• Каждая вершина представлена ​​множителем -λ .
• При заданном порядке λ ^k все диаграммы с n внешними линиями и k вершинами построены так, что импульсы, текущие в каждую вершину, равны нулю. Каждая внутренняя линия представлена ​​множителем 1/( q ² + m ² ), где q — импульс, текущий через эту линию.
• Все неограниченные импульсы интегрируются по всем значениям.
• Результат делится на коэффициент симметрии, который представляет собой число способов, которыми можно переставить линии и вершины графа, не меняя его связности.
• Не включайте графы, содержащие «вакуумные пузыри», связанные подграфы без внешних линий.

Последнее правило учитывает эффект деления на . Правила Фейнмана в пространстве Минковского аналогичны, за исключением того, что каждая вершина представлена ​​как , а каждая внутренняя линия представлена ​​множителем i /( q ² - m ² + i ε ), где член ε представляет собой малый поворот Вика, необходимый для сходимости гауссовского интеграла в пространстве Минковского. ${\displaystyle {\tilde {Z}}[0]}$ ${\displaystyle -i\lambda }$ 

Перенормировка

Интегралы по неограниченным импульсам, называемые «петлевыми интегралами», в графиках Фейнмана обычно расходятся. Обычно это обрабатывается перенормировкой , которая представляет собой процедуру добавления расходящихся контрчленов к лагранжиану таким образом, что диаграммы, построенные из исходного лагранжиана и контрчленов , являются конечными. ^[4] В процессе необходимо ввести масштаб перенормировки, и константа связи и масса становятся зависимыми от нее. Именно эта зависимость приводит к полюсу Ландау, упомянутому ранее, и требует, чтобы обрезание оставалось конечным. В качестве альтернативы, если обрезание может стремиться к бесконечности, полюса Ландау можно избежать, только если перенормированная связь стремится к нулю, что делает теорию тривиальной . ^[5]

Спонтанное нарушение симметрии

Интересная особенность может возникнуть, если m ² становится отрицательным, но λ все еще положительным. В этом случае вакуум состоит из двух состояний с самой низкой энергией, каждое из которых спонтанно нарушает глобальную симметрию Z ₂ исходной теории. Это приводит к появлению интересных коллективных состояний, таких как доменные стенки . В теории O (2) вакуум будет лежать на окружности, и выбор одного из них спонтанно нарушит симметрию O (2). Непрерывная нарушенная симметрия приводит к бозону Голдстоуна . Этот тип спонтанного нарушения симметрии является существенным компонентом механизма Хиггса . ^[6]

Спонтанное нарушение дискретных симметрий

Простейшая релятивистская система, в которой мы можем наблюдать спонтанное нарушение симметрии, — это система с одним скалярным полем с лагранжианом ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}-{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}\equiv {\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}-V(\varphi ),}$

где и ${\displaystyle \mu ^{2}>0}$

${\displaystyle V(\varphi )\equiv -{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}.}$

Минимизация потенциала в отношении приводит к ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle V'(\varphi _{0})=0\Longleftrightarrow \varphi _{0}^{2}\equiv v^{2}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.}$

Теперь мы расширяем область вокруг этого минимального письма.

${\displaystyle \varphi (x)=v+\sigma (x),}$

и подставляя в лагранжиан, получаем

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )=\underbrace {-{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}} _{\text{unimportant constant}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}[(\partial \sigma )^{2}-({\sqrt {2}}\mu )^{2}\sigma ^{2}]} _{\text{massive scalar field}}+\underbrace {(-\lambda v\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\sigma ^{4})} _{\text{self-interactions}}.}$

где мы замечаем, что скаляр теперь имеет положительный массовый член. ${\displaystyle \sigma }$

Размышления в терминах значений вакуумного ожидания позволяют нам понять, что происходит с симметрией, когда она спонтанно нарушается. Исходный лагранжиан был инвариантен относительно симметрии . Поскольку ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$

${\displaystyle \langle \Omega |\varphi |\Omega \rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}}$

оба минимума, должно быть два разных вакуума: с ${\displaystyle |\Omega _{\pm }\rangle }$

${\displaystyle \langle \Omega _{\pm }|\varphi |\Omega _{\pm }\rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}.}$

Поскольку симметрия принимает , она должна принимать также. Два возможных вакуума для теории эквивалентны, но один должен быть выбран. Хотя кажется, что в новом лагранжиане симметрия исчезла, она все еще там, но теперь она действует как Это общая черта спонтанно нарушенных симметрий: вакуум нарушает их, но они на самом деле не нарушены в лагранжиане, просто скрыты и часто реализуются только нелинейным образом. ^[7] ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$ ${\displaystyle |\Omega _{+}\rangle \leftrightarrow |\Omega _{-}\rangle }$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle \sigma \rightarrow -\sigma -2v.}$

Точные решения

Существует множество точных классических решений уравнения движения теории, записанных в виде

${\displaystyle \partial ^{2}\varphi +\mu _{0}^{2}\varphi +\lambda \varphi ^{3}=0}$

что можно записать для безмассового случая как ^[8] ${\displaystyle \mu _{0}=0}$

${\displaystyle \varphi (x)=\pm \mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{1 \over 4}{\rm {sn}}(p\cdot x+\theta ,i),}$

где — эллиптическая синусоидальная функция Якоби, а — две константы интегрирования, при условии, что выполняется следующее дисперсионное соотношение ${\displaystyle \,{\rm {sn\!}}}$ ${\displaystyle \,\mu ,\theta }$

${\displaystyle p^{2}=\mu ^{2}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{1 \over 2}.}$

Интересный момент заключается в том, что мы начали с уравнения без массы, но точное решение описывает волну с дисперсионным соотношением, соответствующим решению с массой. Когда член массы не равен нулю, мы получаем

${\displaystyle \varphi (x)=\pm {\sqrt {\frac {2\mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {\frac {-\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}{-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}\right)}$

будучи теперь дисперсионным соотношением

${\displaystyle p^{2}=\mu _{0}^{2}+{\frac {\lambda \mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}.}$

Наконец, для случая нарушения симметрии имеем

${\displaystyle \varphi (x)=\pm v\cdot {\rm {dn}}(p\cdot x+\theta ,i),}$

и выполняется следующее дисперсионное соотношение ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2\mu _{0}^{2}}{3\lambda }}}}$

${\displaystyle p^{2}={\frac {\lambda v^{2}}{2}}.}$

Эти волновые решения интересны тем, что, несмотря на то, что мы начали с уравнения с неправильным знаком массы, дисперсионное соотношение имеет правильный знак. Кроме того, функция Якоби не имеет действительных нулей, и поэтому поле никогда не равно нулю, а движется вокруг заданного постоянного значения, которое изначально выбирается, описывая спонтанное нарушение симметрии. ${\displaystyle \,{\rm {dn}}\!}$

Доказательство единственности можно предоставить, если заметить, что решение можно искать в виде . Тогда уравнение в частных производных становится обыкновенным дифференциальным уравнением, определяющим эллиптическую функцию Якоби с удовлетворением надлежащего дисперсионного соотношения. ${\displaystyle \varphi =\varphi (\xi )}$ ${\displaystyle \xi =p\cdot x}$ ${\displaystyle p}$

Смотрите также

• Теория скалярного поля
• Квантовая тривиальность
• полюс Ландау
• Перенормировка
• механизм Хиггса
• Голдстоуновский бозон
• Потенциал Коулмена-Вайнберга

Ссылки

1. Саймон, Барри; Гриффитс, Роберт Б. (1973-06-01). "Теория поля (φ4)2 как классическая модель Изинга". Communications in Mathematical Physics . 33 (2): 145–164. Bibcode :1973CMaPh..33..145S. CiteSeerX  10.1.1.210.9639 . doi :10.1007/BF01645626. ISSN  1432-0916. S2CID  123201243.
2. Айзенман, Майкл; Думинил-Копен, Хьюго (2021-07-01). "Маргинальная тривиальность пределов масштабирования критических 4D-моделей Изинга и $\phi_4^4$". Annals of Mathematics . 194 (1). arXiv : 1912.07973 . doi : 10.4007/annals.2021.194.1.3. ISSN  0003-486X. S2CID  209386716.
3. Общая ссылка для этого раздела: Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Второе изд.). США: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3..
4. См. предыдущую ссылку или для более подробной информации, Itzykson, Zuber; Zuber, Jean-Bernard (2006-02-24). Квантовая теория поля . Довер..
5. DJE Callaway (1988). «Погоня за тривиальностью: могут ли существовать элементарные скалярные частицы?». Physics Reports . 167 (5): 241–320. Bibcode : 1988PhR...167..241C. doi : 10.1016/0370-1573(88)90008-7.
6. Базовое описание спонтанного нарушения симметрии можно найти в предыдущих двух источниках или в большинстве других книг по квантовой теории поля.
7. Шварц, Квантовая теория поля и Стандартная модель, Глава 28.1
8. Марко Фраска (2011). «Точные решения классических скалярных полевых уравнений». Журнал нелинейной математической физики . 18 (2): 291–297. arXiv : 0907.4053 . Bibcode :2011JNMP...18..291F. doi :10.1142/S1402925111001441. S2CID  17314344.

Дальнейшее чтение

• 'т Хоофт, Г. , «Концептуальная основа квантовой теории поля» (онлайн-версия).