Кватернионное векторное пространство

Поскольку кватернионная алгебра является кольцом с делением , то модуль над кватернионной алгеброй называется векторным пространством. Поскольку кватернионная алгебра некоммутативна, мы различаем левые и правые векторные пространства. В левом векторном пространстве линейная композиция векторов и имеет вид , где , . В правом векторном пространстве линейная композиция векторов и имеет вид . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle av+bw}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b\in H}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle va+wb}$

Если кватернионное векторное пространство имеет конечную размерность , то оно изоморфно прямой сумме копий кватернионной алгебры . В таком случае мы можем использовать базис, который имеет вид ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle e_{1}=(1,0,\ldots ,0)}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1)}$

В левом кватернионном векторном пространстве мы используем покомпонентную сумму векторов и произведение вектора на скаляр ${\displaystyle H^{n}}$

${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})+(r_{1},\ldots ,r_{n})=(p_{1}+r_{1},\ldots ,p_{n}+r_{n})}$

${\displaystyle q(r_{1},\ldots ,r_{n})=(qr_{1},\ldots ,qr_{n})}$

В правом кватернионном векторном пространстве мы используем покомпонентную сумму векторов и произведение вектора на скаляр ${\displaystyle H^{n}}$

${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})+(r_{1},\ldots ,r_{n})=(p_{1}+r_{1},\ldots ,p_{n}+r_{n})}$

${\displaystyle (r_{1},\ldots ,r_{n})q=(r_{1}q,\ldots ,r_{n}q)}$

Смотрите также

• Вектор пространства
• Общая линейная группа
• Специальная линейная группа
• СЛ(н,Н)
• Симплектическая группа

Ссылки

• Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 0-12-329650-1.