Теория Бурместера

Геометрическая техника проектирования механических связей.

В кинематике теория Бурместера включает геометрические приемы синтеза связей . ^[1] Он был введен в конце 19 века Людвигом Бурместером (1840–1927). Его подход заключался в вычислении геометрических ограничений рычажного механизма непосредственно на основе желаемого изобретателем движения плавающего звена. С этой точки зрения четырехзвенная связь представляет собой плавающую связь, две точки которой вынуждены лежать на двух окружностях.

Бурместер начал с набора мест, часто называемых «позами» , для плавающего звена, которые рассматриваются как снимки ограниченного движения этого плавающего звена в проектируемом устройстве. Конструкция кривошипа для рычажного механизма теперь заключается в поиске точки в движущемся плавающем звене, траектория которой при просмотре в каждом из этих заданных положений лежит на окружности. Размер кривошипа — это расстояние от точки плавающего звена, называемой точкой вращения, до центра круга, по которому оно движется, называемого центральной точкой. ^[2] Два кривошипа, сконструированные таким образом, образуют желаемую четырехзвенную тягу.

Эта формулировка математического синтеза четырехзвенной рычажной системы и решения полученных уравнений известна как теория Бурместера. ^{[3] [4] [5]} Подход был обобщен на синтез сферических и пространственных механизмов. ^[6]

Синтез конечных позиций

Геометрическая формулировка

Теория Бурместера ищет в движущемся теле точки, траектории которых лежат на окружности, называемой точками вращения. Дизайнер аппроксимирует желаемое движение с помощью конечного числа позиций задачи; и Бурместер показали, что круговые точки существуют для пяти рабочих позиций. Чтобы найти эти точки вращения, необходимо решить пять квадратных уравнений с пятью неизвестными, что он и сделал, используя методы начертательной геометрии. Графические конструкции Бурместера и по сей день встречаются в учебниках по теории машин.

P – полюс смещения A ¹ B ¹ к A ² B ²

Два положения. В качестве примера рассмотрим задачу, определяемую двумя положениями соединительного звена, как показано на рисунке. Выберем две точки A и B в теле так, чтобы два их положения определяли отрезки A ¹ B ¹ и A ² B ² . Легко видеть, что A — точка окружности с центром, лежащим на серединном перпендикуляре отрезка A ¹ A ² . Аналогично, B — это точка окружности с центром, который является любой точкой серединного перпендикуляра к B ¹ B ² . Четырехзвенная связь может быть построена из любой точки двух серединных перпендикуляров в качестве фиксированных шарниров, а также из точек A и B в качестве движущихся шарниров. Точка P явно особенная, поскольку это шарнир, который обеспечивает чистое вращательное движение от A ¹ B ¹ к A ² B ² . Его называют полюсом относительного перемещения или также мгновенным центром вращения .

Три положения. Если разработчик указывает три положения задачи, то точки A и B в движущемся теле представляют собой окружные точки, каждая из которых имеет уникальную центральную точку. Центральная точка A — это центр круга, проходящего через A ¹ , A ² и A ³ в трех положениях. Аналогично, центральная точка B — это центр круга, проходящего через B ¹ , B ² и B ³ . Таким образом, для трех положений задачи получается четырехзвенная связь для каждой пары точек А и В, выбранных в качестве движущихся шарниров.

Четыре позиции. Графическое решение задачи синтеза становится более интересным в случае четырех позиций задачи, поскольку не каждая точка тела является точкой окружности. Четыре положения задачи дают шесть полюсов относительного смещения, и Бурместер выбрал четыре, чтобы сформировать четырехугольник с противоположным полюсом, который он затем использовал для графического создания кривой окружающейся точки ( Kreispunktcurven ). Бурместер также показал, что кривая точки вращения представляет собой круговую кубическую кривую в движущемся теле.

Пять позиций: чтобы достичь пяти позиций задачи, Бурместер пересекает кривую точки окружности, созданную четырехугольником с противоположным полюсом для набора из четырех из пяти позиций задачи, с кривой точки окружности, созданную четырехугольником с противоположным полюсом для другого набора из четырех позиций задачи. . Пять поз подразумевают десять полюсов относительного смещения, что дает четыре различных четырехугольника с противоположными полюсами, каждый из которых имеет свою собственную кривую точки окружности. Бурместер показывает, что эти кривые будут пересекаться в четырех точках, называемых точками Бурместера , каждая из которых будет очерчивать пять точек на окружности вокруг центральной точки. Поскольку две окружные точки определяют четырехзвенную связь, эти четыре точки могут образовывать до шести четырехзвенных связей, которые направляют соединительное звено через пять заданных положений задачи.

Алгебраическая формулировка

Подход Бурместера к синтезу четырехзвенной рычажной системы можно сформулировать математически, введя преобразования координат [ T _i ] = [ A _i ,  d _i ], i  = 1, ..., 5, где [ A ] — 2× 2 матрица вращения, а d представляет собой вектор перемещения 2×1, который определяет позиции задачи движущегося кадра M , заданные разработчиком. ^[6]

Целью процедуры синтеза является вычисление координат w  = ( w _x ,  w _y ) движущегося шарнира, прикрепленного к движущейся системе отсчета M , и координаты неподвижного шарнира G  = ( u ,  v ) в неподвижной системе отсчета F , которые обладают тем свойством, что w движется по окружности радиуса R вокруг G. Траектория w определяется пятью позициями задач, такими что

${\displaystyle \mathbf {W} ^{i}=[T_{i}]\mathbf {w} =[A_{i}]\mathbf {w} +\mathbf {d} _{i},\quad i=1,\ldots ,5.}$

Таким образом, координаты w и G должны удовлетворять пяти уравнениям:

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )\cdot (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )=R^{2},\quad i=1,\ldots ,5.}$

Устраните неизвестный радиус R , вычитая первое уравнение из остальных, чтобы получить четыре квадратных уравнения с четырьмя неизвестными:

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )\cdot (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )-(\mathbf {W} ^{1}-\mathbf {G} )\cdot (\mathbf {W} ^{1}-\mathbf {G} )=0,\quad i=2,\ldots ,5.}$

Эти уравнения синтеза можно решить численно, чтобы получить координаты w  = ( w _x ,  w _y ) и G  = ( u ,  v ), которые определяют местонахождение неподвижных и движущихся шарниров кривошипа, который можно использовать как часть четырехзвенной рычажной системы. . Бурместер доказал, что существует не более четырех таких кривошипов, которые можно объединить, чтобы получить не более шести четырехзвенных рычагов, которые проводят муфту через пять заданных рабочих положений.

Полезно отметить, что уравнения синтеза можно преобразовать в форму:

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {W} ^{1})\cdot \left({\frac {\mathbf {W} ^{i}+\mathbf {W} ^{1}}{2}}-\mathbf {G} \right)=0,\quad i=2,\ldots ,5,}$

что является алгебраическим эквивалентом условия, что фиксированная точка поворота G лежит на биссектрисах каждого из четырех отрезков Wi  -  W ¹ , i = 2, ^...  , 5.

Синтез ввода-вывода

Одним из наиболее распространенных применений четырехрычажной системы является стержень, соединяющий два рычага , так что вращение первого рычага приводит к вращению второго рычага. Рычаги шарнирно прикреплены к опорной раме и называются входным и выходным кривошипами , а шатун называется соединительным звеном. Подход Burmester к конструкции четырехзвенной рычажной системы можно использовать для размещения муфты таким образом, чтобы пять заданных углов входного кривошипа приводили к пяти заданным углам выходного кривошипа.

Пусть θ _i , i  = 1, ..., 5 будут угловыми положениями входного кривошипа, и пусть ψ _i , i  = 1, ..., 5 будут соответствующими углами выходного кривошипа. Для удобства найдите фиксированный шарнир входного кривошипа в начале фиксированной рамки, O  = (0, 0), и пусть фиксированный шарнир выходного кривошипа будет расположен в точке C  = ( c _x ,  c _y ), что выбран дизайнером. Неизвестными в этой задаче синтеза являются координаты g  = ( g _x ,  g _y ) крепления муфты к входному кривошипу и координаты w  = ( w _x ,  w _y ) крепления к выходному кривошипу, измеренные в их соответствующих эталонные кадры.

Хотя координаты w и g неизвестны, их траектории в фиксированной системе отсчета определяются выражением:

${\displaystyle \mathbf {G} ^{i}=[A(\theta _{i})]\mathbf {g} ,\quad \mathbf {W} ^{i}=[A(\psi _{i})]\mathbf {w} +\mathbf {C} ,\quad i=1,\ldots ,5,}$

где [A(•)] обозначает поворот на заданный угол.

Координаты w и g должны удовлетворять пяти уравнениям ограничений:

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} ^{i})\cdot (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} ^{i})=R^{2},\quad i=1,\ldots ,5.}$

Устраните неизвестную длину соединителя R , вычитая первое уравнение из остальных, чтобы получить четыре квадратных уравнения с четырьмя неизвестными:

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} ^{i})\cdot (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} ^{i})-(\mathbf {W} ^{1}-\mathbf {G} ^{1})\cdot (\mathbf {W} ^{1}-\mathbf {G} ^{1})=0,\quad i=2,\ldots ,5.}$

Эти уравнения синтеза можно решить численно, чтобы получить координаты w  = ( w _x ,  w _y ) и g  = ( g _x ,  g _y ), которые определяют местонахождение муфты четырехзвенной связи.

Эта формулировка синтеза ввода-вывода четырехзвенной рычажной системы представляет собой инверсию синтеза конечных положений, в которой движение выходного кривошипа относительно входного кривошипа задается конструктором. С этой точки зрения земляное звено OC представляет собой кривошип, удовлетворяющий заданным конечным положениям движения выходного кривошипа относительно входного, и результаты Бурместера показывают, что его существование гарантирует наличие хотя бы одного соединительного звена. Более того, результаты Бурместера показывают, что таких соединительных звеньев может быть целых три, которые обеспечивают желаемое соотношение ввода-вывода. ^[6]

Рекомендации

1. Хартенберг, Р.С. и Дж. Денавит. Кинематический синтез связей . Нью-Йорк: McGraw-Hill, 1964. Онлайн через KMODDL.
2. Бурместер, Л. Lehrbuch der Kinematik . Лейпциг: Верлаг фон Артура Феликса, 1886.
3. Су, Ч. Х., и Рэдклифф, К. В. Кинематика и проектирование механизмов . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, 1978.
4. Сандор, Г.Н., и Эрдман, А.Г. Проектирование усовершенствованного механизма: анализ и синтез . Том. 2. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 1984.
5. Хант, К. Х. Кинематическая геометрия механизмов . Оксфордская серия инженерных наук, 1979.
6. Дж. М. Маккарти и Г. С. Сох. Геометрическое проектирование связей. 2-е издание, Спрингер, 2010 г.

дальнейшее чтение

• Ян Р. Портеус (2001) Геометрическое дифференцирование , § 3.5 Точки Бурместера, стр. 58, ISBN Cambridge University Press 0-521-00264-8 . 
• М. Чеккарелли и Т. Кетсер, Бурместер и Аллиеви: теория и ее применение для проектирования механизмов в конце XIX века, ASME, 2006 г.

Внешние ссылки

• Р.Э. Кауфман предоставляет ссылки на видеоролики KINSYN, оригинального программного обеспечения для интерактивной графики, реализующего четырехпозиционный синтез Бурместера.
• Программное обеспечение Lincages Университета Миннесоты реализует четырехпозиционный синтез Бурместера.
• Программное обеспечение Synthetica 3.0 применяет подход Бурместера к синтезу пространственных связей.
• Синтез связей на сайте Mechanicaldesign101.com предоставляет блокнот Mathematica для пятипозиционного синтеза Бурместера.