класс Штифель–Уитни

Множество топологических инвариантов

В математике , в частности в алгебраической топологии и дифференциальной геометрии , классы Штифеля–Уитни представляют собой набор топологических инвариантов вещественного векторного расслоения , которые описывают препятствия к построению всюду независимых множеств сечений векторного расслоения. Классы Штифеля–Уитни индексируются от 0 до n , где n — ранг векторного расслоения. Если класс Штифеля–Уитни индекса i не равен нулю, то не может существовать всюду линейно независимых сечений векторного расслоения. Ненулевой n-й класс Штифеля–Уитни указывает, что каждое сечение расслоения должно исчезнуть в некоторой точке. Ненулевой первый класс Штифеля–Уитни указывает, что векторное расслоение не является ориентируемым . Например, первый класс Штифеля–Уитни ленты Мёбиуса , как линейного расслоения над окружностью, не равен нулю, тогда как первый класс Штифеля–Уитни тривиального линейного расслоения над окружностью, равен нулю. ${\displaystyle (n-i+1)}$ ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$

Класс Штифеля–Уитни был назван в честь Эдуарда Штифеля и Хасслера Уитни и является примером -характеристического класса, связанного с действительными векторными расслоениями. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

В алгебраической геометрии можно также определить аналогичные классы Штифеля–Уитни для векторных расслоений с невырожденной квадратичной формой, принимающей значения в этальных группах когомологий или в K-теории Милнора . В качестве особого случая можно определить классы Штифеля–Уитни для квадратичных форм над полями, первые два случая — дискриминант и инвариант Хассе–Витта (Milnor 1970).

Введение

Общая презентация

Для действительного векторного расслоения E класс Штифеля –Уитни расслоения E обозначается как w ( E ) . Это элемент кольца когомологий

${\displaystyle H^{\ast }(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i\geq 0}H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

где X — базовое пространство расслоения E , и (часто также обозначаемое как ) — коммутативное кольцо , единственными элементами которого являются 0 и 1. Компонента in обозначается как и называется i -м классом Штифеля–Уитни расслоения E. Таким образом, ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle w(E)}$ ${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle w_{i}(E)}$

${\displaystyle w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\cdots }$,

где каждый является элементом . ${\displaystyle w_{i}(E)}$ ${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

Класс Штифеля–Уитни является инвариантом действительного векторного расслоения E ; т. е. когда F является другим действительным векторным расслоением, имеющим то же базовое пространство X, что и E , и если F изоморфно E , то классы Штифеля–Уитни и равны. (Здесь изоморфный означает, что существует изоморфизм векторных расслоений , который охватывает тождество .) Хотя в общем случае трудно решить, являются ли два действительных векторных расслоения E и F изоморфными , классы Штифеля–Уитни и часто можно легко вычислить. Если они различны, то известно, что E и F не изоморфны. ${\displaystyle w(E)}$ ${\displaystyle w(E)}$ ${\displaystyle w(F)}$ ${\displaystyle E\to F}$ ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}\colon X\to X}$ ${\displaystyle w(E)}$ ${\displaystyle w(F)}$

Например, над окружностью существует линейное расслоение (т. е. действительное векторное расслоение ранга 1), которое не изоморфно тривиальному расслоению . Это линейное расслоение L является лентой Мёбиуса (которая является расслоением волокон , волокна которого могут быть снабжены структурами векторного пространства таким образом, что оно становится векторным расслоением). Группа когомологий имеет только один элемент, отличный от 0. Этот элемент является первым классом Штифеля–Уитни L . Поскольку тривиальное линейное расслоение над имеет первый класс Штифеля–Уитни 0 , оно не изоморфно L . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle H^{1}(S^{1};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle w_{1}(L)}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Два действительных векторных расслоения E и F , которые имеют один и тот же класс Штифеля–Уитни, не обязательно изоморфны. Это происходит, например, когда E и F являются тривиальными действительными векторными расслоениями разных рангов над одним и тем же базовым пространством X. Это может также произойти, когда E и F имеют одинаковый ранг: касательное расслоение 2-сферы и тривиальное действительное векторное расслоение ранга 2 над имеют один и тот же класс Штифеля–Уитни, но они не изоморфны. Но если два действительных линейных расслоения над X имеют один и тот же класс Штифеля–Уитни, то они изоморфны. ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Происхождение

Классы Штифеля–Уитни получили свое название потому, что Эдуард Штифель и Хасслер Уитни открыли их как редукции по модулю 2 классов препятствий к построению всюду линейно независимых сечений векторного расслоения E, ограниченного i -скелетом X. Здесь n обозначает размерность слоя векторного расслоения . ${\displaystyle w_{i}(E)}$ ${\displaystyle n-i+1}$ ${\displaystyle F\to E\to X}$

Точнее, при условии, что X является CW-комплексом , Уитни определил классы в i -й клеточной когомологической группе X со скрученными коэффициентами. Система коэффициентов является -й гомотопической группой многообразия Штифеля линейно независимых векторов в слоях E . Уитни доказал, что тогда и только тогда , когда E , будучи ограниченным i -скелетом X , имеет линейно-независимые сечения. ${\displaystyle W_{i}(E)}$ ${\displaystyle (i-1)}$ ${\displaystyle V_{n-i+1}(F)}$ ${\displaystyle n-i+1}$ ${\displaystyle W_{i}(E)=0}$ ${\displaystyle n-i+1}$

Так как является либо бесконечно- циклическим , либо изоморфным , существует каноническая редукция классов к классам , которые являются классами Штифеля–Уитни. Более того, всякий раз, когда , эти два класса идентичны. Таким образом, тогда и только тогда , когда расслоение ориентируемо . ${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle W_{i}(E)}$ ${\displaystyle w_{i}(E)\in H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle w_{1}(E)=0}$ ${\displaystyle E\to X}$

Класс не содержит никакой информации, поскольку по определению он равен 1. Его создание Уитни было актом творческой нотации, позволившим формуле суммы Уитни быть истинной. ${\displaystyle w_{0}(E)}$ ${\displaystyle w(E_{1}\oplus E_{2})=w(E_{1})w(E_{2})}$

Определения

Везде обозначает сингулярные когомологии пространства X с коэффициентами в группе G. Слово отображение всегда означает непрерывную функцию между топологическими пространствами . ${\displaystyle H^{i}(X;G)}$

Аксиоматическое определение

Характеристический класс Штифеля-Уитни вещественного векторного расслоения E конечного ранга на паракомпактной базе X определяется как единственный класс, такой что выполняются следующие аксиомы: ${\displaystyle w(E)\in H^{*}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

1. Нормализация: Класс Уитни тавтологического линейного расслоения над вещественным проективным пространством нетривиален, т.е. . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle w(\gamma _{1}^{1})=1+a\in H^{*}(\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} );\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )[a]/(a^{2})}$
2. Ранг: и для i выше ранга E , , то есть, ${\displaystyle w_{0}(E)=1\in H^{0}(X),}$ ${\displaystyle w_{i}=0\in H^{i}(X)}$ ${\displaystyle w(E)\in H^{\leqslant \mathrm {rank} (E)}(X).}$
3. Формула произведения Уитни: , то есть класс Уитни прямой суммы является произведением классов слагаемых. ${\displaystyle w(E\oplus F)=w(E)\smile w(F)}$
4. Естественность: для любого вещественного векторного расслоения и отображения , где обозначает обратное векторное расслоение . ${\displaystyle w(f^{*}E)=f^{*}w(E)}$ ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle f\colon X'\to X}$ ${\displaystyle f^{*}E}$

Единственность этих классов доказана, например, в разделе 17.2 – 17.6 у Хуземоллера или разделе 8 у Милнора и Сташеффа. Существует несколько доказательств существования, исходящих из различных конструкций, с несколькими различными вариантами, их согласованность обеспечивается утверждением единственности.

Определениес помощьюбесконечные грассманианы

Бесконечные грассманианы и векторные расслоения

В этом разделе описывается конструкция, использующая понятие классифицирующего пространства .

Для любого векторного пространства V обозначим грассманиан , пространство n -мерных линейных подпространств V , и обозначим бесконечный грассманиан ${\displaystyle Gr_{n}(V)}$

${\displaystyle Gr_{n}=Gr_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })}$.

Напомним, что он снабжен тавтологическим расслоением — векторным расслоением ранга n , которое можно определить как подрасслоение тривиального расслоения волокна V, волокном которого в точке является подпространство, представленное W. ${\displaystyle \gamma ^{n}\to Gr_{n},}$ ${\displaystyle W\in Gr_{n}(V)}$

Пусть , — непрерывное отображение в бесконечный грассманиан. Тогда с точностью до изоморфизма расслоение, индуцированное отображением f на X ${\displaystyle f\colon X\to Gr_{n}}$

${\displaystyle f^{*}\gamma ^{n}\in \mathrm {Vect} _{n}(X)}$

зависит только от гомотопического класса отображения [ f ]. Таким образом, операция протягивания дает морфизм из множества

${\displaystyle [X;Gr_{n}]}$

отображений по модулю гомотопической эквивалентности, к множеству ${\displaystyle X\to Gr_{n}}$

${\displaystyle \mathrm {Vect} _{n}(X)}$

классов изоморфизма векторных расслоений ранга n над X.

(Важным фактом в этой конструкции является то, что если X — паракомпактное пространство , то это отображение является биекцией . Вот почему мы называем бесконечные грассманианы классифицирующими пространствами векторных расслоений.)

Теперь, по аксиоме естественности (4) выше, . Так что в принципе достаточно знать значения для всех j . Однако кольцо когомологий свободно на определенных генераторах, возникающих из стандартного разложения клеток, и тогда оказывается, что эти генераторы на самом деле просто заданы . Таким образом, для любого расслоения ранга n, , где f — подходящее классифицирующее отображение. Это, в частности, дает одно из доказательств существования классов Штифеля–Уитни. ${\displaystyle w_{j}(f^{*}\gamma ^{n})=f^{*}w_{j}(\gamma ^{n})}$ ${\displaystyle w_{j}(\gamma ^{n})}$ ${\displaystyle H^{*}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle x_{j}\in H^{j}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle x_{j}=w_{j}(\gamma ^{n})}$ ${\displaystyle w_{j}=f^{*}x_{j}}$

Случай линейных пучков

Теперь мы ограничим приведенную выше конструкцию линейными расслоениями, т.е. рассмотрим пространство линейных расслоений над X. Грассманиан прямых — это просто бесконечное проективное пространство ${\displaystyle \mathrm {Vect} _{1}(X)}$ ${\displaystyle Gr_{1}}$

${\displaystyle \mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )=\mathbf {R} ^{\infty }/\mathbf {R} ^{*},}$

которая дважды покрыта бесконечной сферой с антиподальными точками в качестве волокон. Эта сфера стягиваема , поэтому мы имеем ${\displaystyle S^{\infty }}$ ${\displaystyle S^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{i}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\pi _{i}(S^{\infty })=0&&i>1\end{aligned}}}$

Следовательно, P ^∞ ( R ) является пространством Эйленберга-Маклейна . ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,1)}$

Это свойство пространств Эйленберга-Маклейна, что

${\displaystyle \left[X;\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )\right]=H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

для любого X , с изоморфизмом, заданным формулой f → f* η, где η — генератор

${\displaystyle H^{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

Применяя предыдущее замечание о том, что α : [ X , Gr ₁ ] → Vect ₁ ( X ) также является биекцией, мы получаем биекцию

${\displaystyle w_{1}\colon {\text{Vect}}_{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$

это определяет класс Штифеля–Уитни w ₁ для линейных расслоений.

Группа линейных пучков

Если Vect ₁ ( X ) рассматривать как группу относительно операции тензорного произведения, то класс Штифеля–Уитни, w ₁  : Vect ₁ ( X ) → H ¹ ( X ; Z /2 Z ), является изоморфизмом. То есть, w ₁ (λ ⊗ μ) = w ₁ (λ) + w ₁ (μ) для всех линейных расслоений λ, μ → X .

Например, поскольку H ¹ ( S ¹ ; Z /2 Z ) = Z /2 Z , то с точностью до изоморфизма расслоений над окружностью существует только два линейных расслоения: тривиальное и открытая лента Мёбиуса (т. е. лента Мёбиуса с вычеркнутой границей).

Та же конструкция для комплексных векторных расслоений показывает, что класс Черна определяет биекцию между комплексными линейными расслоениями над X и H ² ( X ; Z ), поскольку соответствующее классифицирующее пространство есть P ^∞ ( C ), a K( Z , 2). Этот изоморфизм верен для топологических линейных расслоений, препятствием к инъективности класса Черна для алгебраических векторных расслоений является якобианское многообразие .

Характеристики

Топологическая интерпретация исчезновения

1. w _i ( E ) = 0 всякий раз, когда i > rank( E ).
2. Если E ^k имеет сечения , которые всюду линейно независимы , то классы Уитни высшей степени исчезают: . ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle w_{k-\ell +1}=\cdots =w_{k}=0}$
3. Первый класс Штифеля–Уитни равен нулю тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо . В частности, многообразие M ориентируемо тогда и только тогда, когда w ₁ ( TM ) = 0.
4. Расслоение допускает спиновую структуру тогда и только тогда, когда и первый, и второй классы Штифеля–Уитни равны нулю.
5. Для ориентируемого расслоения второй класс Штифеля–Уитни находится в образе естественного отображения H ² ( M , Z ) → H ² ( M , Z /2 Z ) (эквивалентно, так называемый третий интегральный класс Штифеля–Уитни равен нулю) тогда и только тогда, когда расслоение допускает структуру спина ^c .
6. Все числа Штифеля–Уитни (см. ниже) гладкого компактного многообразия X обращаются в нуль тогда и только тогда, когда многообразие является границей некоторого гладкого компактного (неориентированного) многообразия (обратите внимание, что некоторые классы Штифеля–Уитни могут быть ненулевыми, даже если все числа Штифеля–Уитни обращаются в нуль!)

Уникальность классов Штифеля–Уитни

Биекция выше для линейных расслоений подразумевает, что любой функтор θ, удовлетворяющий четырем аксиомам выше, равен w , по следующему аргументу. Вторая аксиома дает θ(γ ¹ ) = 1 + θ ₁ (γ ¹ ). Для отображения включения i  : P ¹ ( R ) → P ^∞ ( R ) расслоение-пулбэк равно . Таким образом, первая и третья аксиомы влекут ${\displaystyle i^{*}\gamma ^{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}^{1}}$

${\displaystyle i^{*}\theta _{1}\left(\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=i^{*}w_{1}\left(\gamma ^{1}\right).}$

Так как карта

${\displaystyle i^{*}:H^{1}\left(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} \right);\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{1}\left(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \right)}$

является изоморфизмом, и θ(γ ¹ ) = w (γ ¹ ) следует. Пусть E — действительное векторное расслоение ранга n над пространством X . Тогда E допускает отображение расщепления , т.е. отображение f  : X′ → X для некоторого пространства X′ такого, что является инъективным и для некоторых линейных расслоений . Любое линейное расслоение над X имеет вид для некоторого отображения g , и ${\displaystyle \theta _{1}(\gamma ^{1})=w_{1}(\gamma ^{1})}$ ${\displaystyle f^{*}:H^{*}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ))\to H^{*}(X';\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle f^{*}E=\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}\to X'}$ ${\displaystyle g^{*}\gamma ^{1}}$

${\displaystyle \theta \left(g^{*}\gamma ^{1}\right)=g^{*}\theta \left(\gamma ^{1}\right)=g^{*}w\left(\gamma ^{1}\right)=w\left(g^{*}\gamma ^{1}\right),}$

по естественности. Таким образом, θ = w на . Из четвертой аксиомы выше следует, что ${\displaystyle {\text{Vect}}_{1}(X)}$

${\displaystyle f^{*}\theta (E)=\theta (f^{*}E)=\theta (\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n})=\theta (\lambda _{1})\cdots \theta (\lambda _{n})=w(\lambda _{1})\cdots w(\lambda _{n})=w(f^{*}E)=f^{*}w(E).}$

Так как инъективно, θ = w . Таким образом, класс Штифеля–Уитни является единственным функтором, удовлетворяющим четырем аксиомам выше. ${\displaystyle f^{*}}$

Неизоморфные расслоения с одинаковыми классами Штифеля–Уитни

Хотя отображение является биекцией, соответствующее отображение не обязательно инъективно в более высоких размерностях. Например, рассмотрим касательное расслоение для четного n . С каноническим вложением в нормальное расслоение к является линейным расслоением. Поскольку является ориентируемым, является тривиальным. Сумма является просто ограничением к , которое является тривиальным, поскольку является стягиваемым. Следовательно, w ( TS ⁿ ) = w ( TS ⁿ ) w (ν) = w( TS ⁿ ⊕ ν) = 1. Но при условии, что n четно, TS ⁿ → S ⁿ не является тривиальным; его класс Эйлера , где [ S ⁿ ] обозначает фундаментальный класс S ⁿ , а χ — эйлерову характеристику . ${\displaystyle w_{1}\colon \mathrm {Vect} _{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle TS^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle TS^{n}\oplus \nu }$ ${\displaystyle T\mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle e(TS^{n})=\chi (TS^{n})[S^{n}]=2[S^{n}]\not =0}$

Связанные инварианты

Числа Штифеля–Уитни

Если мы работаем с многообразием размерности n , то любое произведение классов Штифеля–Уитни общей степени  n может быть сопряжено с Z /2 Z - фундаментальным классом многообразия, чтобы получить элемент Z /2 Z , число Штифеля–Уитни векторного расслоения. Например, если многообразие имеет размерность 3, существует три линейно независимых числа Штифеля–Уитни, заданных как . В общем случае, если многообразие имеет размерность n , число возможных независимых чисел Штифеля–Уитни равно числу разбиений n  . ${\displaystyle w_{1}^{3},w_{1}w_{2},w_{3}}$

Числа Штифеля–Уитни касательного расслоения гладкого многообразия называются числами Штифеля–Уитни многообразия. Известно, что они являются инвариантами кобордизма . Было доказано Львом Понтрягиным , что если B – гладкое компактное ( n +1)–мерное многообразие с границей, равной M , то все числа Штифеля–Уитни многообразия M равны нулю. ^[1] Более того, было доказано Рене Томом , что если все числа Штифеля–Уитни многообразия M равны нулю, то M можно реализовать как границу некоторого гладкого компактного многообразия. ^[2]

Одним из важных чисел Штифеля–Уитни в теории хирургии является инвариант де Рама (4k + 1)-мерного многообразия, ${\displaystyle w_{2}w_{4k-1}.}$

У классы

Классы Штифеля–Уитни являются квадратами Стинрода классов Ву , определенными У Вэньцзюнем в 1947 году. ^[3] Проще говоря, полный класс Штифеля–Уитни является полным квадратом Стинрода полного класса Ву: . Классы Ву чаще всего определяются неявно в терминах квадратов Стинрода, как класс когомологий, представляющий квадраты Стинрода. Пусть многообразие X имеет размерность n . Тогда для любого класса когомологий x степени , ${\displaystyle w_{k}}$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sq} (v)=w}$ ${\displaystyle n-k}$

${\displaystyle v_{k}\cup x=\operatorname {Sq} ^{k}(x)}$.

Или, более узко, мы можем потребовать , снова для классов когомологий x степени . ^[4] ${\displaystyle \langle v_{k}\cup x,\mu \rangle =\langle \operatorname {Sq} ^{k}(x),\mu \rangle }$ ${\displaystyle n-k}$

Интегральные классы Штифеля–Уитни

Элемент называется i + 1 целым классом Штифеля–Уитни, где β — гомоморфизм Бокштейна , соответствующий редукции по модулю 2, Z → Z /2 Z : ${\displaystyle \beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle \beta \colon H^{i}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{i+1}(X;\mathbf {Z} ).}$

Например, третий интегральный класс Штифеля–Уитни является препятствием к структуре Spin ^c .

Соотношения над алгеброй Стинрода

Над алгеброй Стинрода классы Штифеля–Уитни гладкого многообразия (определяемые как классы Штифеля–Уитни касательного расслоения) порождаются классами вида . В частности, классы Штифеля–Уитни удовлетворяют условию ${\displaystyle w_{2^{i}}}$Формула У , названная в честьУ Вэньцзюня:^[5]

${\displaystyle Sq^{i}(w_{j})=\sum _{t=0}^{i}{j+t-i-1 \choose t}w_{i-t}w_{j+t}.}$

Смотрите также

• Характеристический класс для общего обзора, в частности класс Черна , прямой аналог для комплексных векторных расслоений
• Реальное проективное пространство

Ссылки

1. Понтрягин, Лев С. (1947). «Характеристические циклы на дифференцируемых многообразиях». Матем. Сборник . Новая серия. 21 (63): 233–284.
2. Милнор, Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974). Классы характеристик . Princeton University Press. стр. 50–53. ISBN 0-691-08122-0.
3. Ву, Вен-Цюн (1947). «Примечание к важнейшим симметричным топологическим пространствам продуктов». Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 224 : 1139–1141. МР  0019914.
4. Милнор, Джон В.; Сташефф , Джеймс Д. (1974). Классы характеристик . Princeton University Press . С. 131–133. ISBN 0-691-08122-0.
5. (Май 1999, стр. 197)

• Дейл Хусемоллер , Связки волокон , Springer-Verlag, 1994.
• Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии (PDF) , Чикаго: Издательство Чикагского университета , дата обращения 2009-08-07
• Милнор, Джон Уиллард (1970), «Алгебраическая K -теория и квадратичные формы», Inventiones Mathematicae , 9 , с приложением Дж. Тейта: 318–344, doi :10.1007/BF01425486, ISSN  0020-9910, MR  0260844, Zbl  0199.55501

Внешние ссылки

• Класс Ву в Manifold Atlas