В теории множеств и ее приложениях в математике класс — это совокупность множеств (или иногда других математических объектов), которая может быть однозначно определена свойством , общим для всех ее членов. Классы действуют как способ иметь совокупности, подобные множествам, отличающиеся от множеств, чтобы избежать парадоксов, особенно парадокса Рассела (см. § Парадоксы ). Точное определение «класса» зависит от основополагающего контекста. В работах по теории множеств Цермело–Френкеля понятие класса является неформальным, тогда как другие теории множеств, такие как теория множеств фон Неймана–Бернейса–Геделя , аксиоматизируют понятие «собственного класса», например, как сущностей, которые не являются членами другой сущности.
Класс, который не является множеством (неформально в Цермело–Френкеле), называется собственным классом , а класс, который является множеством, иногда называется малым классом . Например, класс всех порядковых чисел и класс всех множеств являются собственными классами во многих формальных системах.
В теоретико-множественных работах Куайна выражение «конечный класс» часто используется вместо выражения «собственный класс», подчеркивая, что в рассматриваемых им системах определенные классы не могут быть членами и, таким образом, являются конечным членом в любой цепочке членства, к которой они принадлежат.
За пределами теории множеств слово «класс» иногда используется как синоним слова «множество». Такое использование восходит к историческому периоду, когда классы и множества не различались так, как в современной терминологии теории множеств. [1] Многие обсуждения «классов» в 19 веке и ранее на самом деле относились к множествам или, скорее, возможно, происходили без учета того, что некоторые классы могут не быть множествами.
Совокупность всех алгебраических структур заданного типа обычно будет являться собственным классом. Примерами служат класс всех групп , класс всех векторных пространств и многие другие. В теории категорий категория , совокупность объектов которой образует собственный класс (или совокупность морфизмов которой образует собственный класс), называется большой категорией .
Сюрреалистические числа — это особый класс объектов, обладающих свойствами поля .
В теории множеств многие коллекции множеств оказываются собственными классами. Примерами служат класс всех множеств (универсальный класс), класс всех порядковых чисел и класс всех кардинальных чисел .
Один из способов доказать, что класс является правильным, — поместить его в биекцию с классом всех порядковых чисел. Этот метод используется, например, в доказательстве того, что не существует свободной полной решетки на трех или более образующих .
Парадоксы наивной теории множеств можно объяснить в терминах непоследовательного молчаливого предположения , что «все классы являются множествами». Имея строгое основание, эти парадоксы вместо этого предлагают доказательства того, что определенные классы являются правильными (т. е. что они не являются множествами). Например, парадокс Рассела предлагает доказательство того, что класс всех множеств, которые не содержат себя, является правильным, а парадокс Бурали-Форти предполагает, что класс всех порядковых чисел является правильным. Парадоксы не возникают с классами, потому что нет понятия классов, содержащих классы. В противном случае можно было бы, например, определить класс всех классов, которые не содержат себя, что привело бы к парадоксу Рассела для классов. С другой стороны, конгломерат может иметь в качестве членов правильные классы. [2]
Теория множеств ZF не формализует понятие классов, поэтому каждая формула с классами должна быть синтаксически сведена к формуле без классов. [3] Например, можно свести формулу к . Для класса и символа переменной множества необходимо иметь возможность развернуть каждую из формул , , , и в формулу без вхождения класса. [4] стр. 339
Семантически, в метаязыке , классы могут быть описаны как классы эквивалентности логических формул : Если есть структура , интерпретирующая ZF, то объектный язык «выражение-построитель классов» интерпретируется в совокупностью всех элементов из области , на которой выполняется; таким образом, класс может быть описан как множество всех предикатов, эквивалентных (включая себя). В частности, можно отождествить «класс всех множеств» с множеством всех предикатов, эквивалентных . [ необходима цитата ]
Поскольку классы не имеют формального статуса в теории ZF, аксиомы ZF не применяются непосредственно к классам. Однако, если предполагается недоступный кардинал , то множества меньшего ранга образуют модель ZF ( универсум Гротендика ), и ее подмножества можно рассматривать как «классы».
В ZF понятие функции также может быть обобщено на классы. Функция класса не является функцией в обычном смысле, поскольку она не является множеством; это скорее формула со свойством, что для любого множества существует не более одного множества, такого, что пара удовлетворяет . Например, функция класса, отображающая каждое множество в его powerset, может быть выражена как формула . Тот факт, что упорядоченная пара удовлетворяет , может быть выражен с помощью сокращенной записи .
Другой подход принят аксиомами фон Неймана–Бернейса–Гёделя (NBG); классы являются базовыми объектами в этой теории, а множество затем определяется как класс, который является элементом некоторого другого класса. Однако аксиомы существования класса NBG ограничены, так что они квантифицируют только по множествам, а не по всем классам. Это делает NBG консервативным расширением ZFC.
Теория множеств Морса–Келли допускает собственные классы как базовые объекты, как NBG, но также допускает квантификацию по всем собственным классам в своих аксиомах существования классов. Это делает MK строго сильнее, чем NBG и ZFC.
В других теориях множеств, таких как Новые основания или теория полумножеств , концепция "собственного класса" все еще имеет смысл (не все классы являются множествами), но критерий множества не замкнут относительно подмножеств. Например, любая теория множеств с универсальным множеством имеет собственные классы, которые являются подклассами множеств.
