Представление алгебры Ли

В математической области теории представлений представление алгебры Ли или представление алгебры Ли — это способ записи алгебры Ли в виде набора матриц (или эндоморфизмов векторного пространства ) таким образом, что скобка Ли задается коммутатором . На языке физики ищут векторное пространство вместе с набором операторов, удовлетворяющих некоторому фиксированному набору коммутационных соотношений, например, соотношениям, которым удовлетворяют операторы углового момента . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Понятие тесно связано с понятием представления группы Ли . Грубо говоря, представления алгебр Ли являются дифференцированной формой представлений групп Ли, в то время как представления универсальной накрывающей группы Ли являются интегрированной формой представлений ее алгебры Ли.

При изучении представлений алгебры Ли важную роль играет особое кольцо , называемое универсальной обертывающей алгеброй , связанное с алгеброй Ли. Универсальность этого кольца говорит о том, что категория представлений алгебры Ли совпадает с категорией модулей над ее обертывающей алгеброй.

Формальное определение

Пусть будет алгеброй Ли и пусть будет векторным пространством. Обозначим пространство эндоморфизмов , то есть пространство всех линейных отображений в себя. Превращаем в алгебру Ли со скобкой, заданной коммутатором: для всех ρ,σ в . Тогда представление на является гомоморфизмом алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle [\rho ,\sigma ]=\rho \circ \sigma -\sigma \circ \rho }$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$.

Явно это означает, что это должно быть линейное отображение, и оно должно удовлетворять ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho ([X,Y])=\rho (X)\rho (Y)-\rho (Y)\rho (X)}$

для всех X, Y из . Векторные пространства V вместе с представлением ρ называются -модулем . (Многие авторы злоупотребляют терминологией и называют само V представлением). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Представление называется точным, если оно инъективно. ${\displaystyle \rho }$

Эквивалентно можно определить -модуль как векторное пространство V вместе с билинейным отображением таким образом, что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times V\to V}$

${\displaystyle [X,Y]\cdot v=X\cdot (Y\cdot v)-Y\cdot (X\cdot v)}$

для всех X,Y в и v в V. Это связано с предыдущим определением, устанавливая X ⋅ v = ρ ( X )( v ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Примеры

Сопряженные представления

Самым простым примером представления алгебры Ли является присоединенное представление алгебры Ли на самой себе: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad X\mapsto \operatorname {ad} _{X},\quad \operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y].}$

Действительно, в силу тождества Якоби , является гомоморфизмом алгебр Ли. ${\displaystyle \operatorname {ad} }$

Представления инфинитезимальных групп Ли

Представление алгебры Ли также возникает в природе. Если : G → H — гомоморфизм (действительных или комплексных) групп Ли , а и — алгебры Ли групп G и H соответственно, то дифференциал на касательных пространствах в единицах — гомоморфизм алгебр Ли. В частности, для конечномерного векторного пространства V представление групп Ли ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle d_{e}\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \phi :G\to \operatorname {GL} (V)\,}$

определяет гомоморфизм алгебры Ли

${\displaystyle d\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$

из в алгебру Ли полной линейной группы GL( V ), т.е. алгебру эндоморфизмов V . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Например, пусть . Тогда дифференциал в единице является элементом . Обозначая его через , получаем представление G на векторном пространстве . Это присоединенное представление G . Применяя предыдущее, получаем представление алгебры Ли . Можно показать, что , присоединенное представление . ${\displaystyle c_{g}(x)=gxg^{-1}}$ ${\displaystyle c_{g}:G\to G}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} (g)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle d\operatorname {Ad} }$ ${\displaystyle d_{e}\operatorname {Ad} =\operatorname {ad} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Частичное обращение этого утверждения гласит, что каждое представление конечномерной (действительной или комплексной) алгебры Ли поднимается до единственного представления ассоциированной односвязной группы Ли, так что представления односвязных групп Ли находятся во взаимно однозначном соответствии с представлениями их алгебр Ли. ^[1]

В квантовой физике

В квантовой теории рассматриваются "наблюдаемые", которые являются самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве . Тогда коммутационные соотношения между этими операторами являются важным инструментом. Например, операторы углового момента удовлетворяют коммутационным соотношениям

${\displaystyle [L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z},\;\;[L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},\;\;[L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y},}$.

Таким образом, диапазон этих трех операторов образует алгебру Ли, которая изоморфна алгебре Ли so(3) группы вращения SO(3) . ^[2] Тогда, если - любое подпространство квантового гильбертова пространства, инвариантное относительно операторов углового момента, то оно будет представлять собой представление алгебры Ли so(3). Понимание теории представлений so(3) оказывает большую помощь, например, при анализе гамильтонианов с вращательной симметрией, таких как атом водорода . Многие другие интересные алгебры Ли (и их представления) возникают в других разделах квантовой физики. Действительно, история теории представлений характеризуется богатым взаимодействием между математикой и физикой. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Основные понятия

Инвариантные подпространства и неприводимость

Для представления алгебры Ли мы говорим, что подпространство инвариантно , если для всех и . Ненулевое представление называется неприводимым, если единственными инвариантными подпространствами являются оно само и нулевое пространство . Термин простой модуль также используется для неприводимого представления. ${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho (X)w\in W}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{0\}}$

Гомоморфизмы

Пусть будет алгеброй Ли . Пусть V , W будут -модулями. Тогда линейное отображение является гомоморфизмом -модулей , если оно -эквивариантно; т.е. для любого . Если f биективно, называются эквивалентными . Такие отображения также называются сплетающими отображениями или морфизмами . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f(X\cdot v)=X\cdot f(v)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}},\,v\in V}$ ${\displaystyle V,W}$

Аналогично, многие другие конструкции из теории модулей в абстрактной алгебре переносятся в эту ситуацию: подмодуль, частное, подчастное, прямая сумма, ряд Жордана-Гёльдера и т. д.

Лемма Шура

Простым, но полезным инструментом в изучении неприводимых представлений является лемма Шура. Она состоит из двух частей: ^[3]

• Если V , W — неприводимые -модули и — гомоморфизм, то — либо ноль, либо изоморфизм. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle f}$
• Если V — неприводимый -модуль над алгебраически замкнутым полем и является гомоморфизмом, то — скалярное кратное единицы. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f:V\to V}$ ${\displaystyle f}$

Полная сводимость

Пусть V — представление алгебры Ли . Тогда V называется полностью приводимым (или полупростым), если оно изоморфно прямой сумме неприводимых представлений (ср. полупростой модуль ). Если V конечномерно, то V является полностью приводимым тогда и только тогда, когда каждое инвариантное подпространство V имеет инвариантное дополнение. (То есть, если W — инвариантное подпространство, то существует другое инвариантное подпространство P такое, что V — прямая сумма W и P .) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Если — конечномерная полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики и V конечномерно, то V полупросто; это теорема Вейля о полной приводимости . ^[4] Таким образом, для полупростых алгебр Ли классификация неприводимых (т.е. простых) представлений немедленно приводит к классификации всех представлений. Для других алгебр Ли, не обладающих этим особым свойством, классификация неприводимых представлений может не сильно помочь в классификации общих представлений. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Алгебра Ли называется редуктивной, если присоединенное представление полупросто. Конечно, каждая (конечномерная) полупростая алгебра Ли является редуктивной, поскольку каждое представление полностью приводимо, как мы только что отметили. В другом направлении определение редуктивной алгебры Ли означает, что она разлагается в прямую сумму идеалов (т. е. инвариантных подпространств для присоединенного представления), которые не имеют нетривиальных подидеалов. Некоторые из этих идеалов будут одномерными, а остальные будут простыми алгебрами Ли. Таким образом, редуктивная алгебра Ли является прямой суммой коммутативной алгебры и полупростой алгебры. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Инварианты

Элемент v из V называется -инвариантным, если для всех . Множество всех инвариантных элементов обозначается как . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x\cdot v=0}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{\mathfrak {g}}}$

Базовые конструкции

Тензорные произведения представлений

Если у нас есть два представления алгебры Ли с V ₁ и V ₂ в качестве их базовых векторных пространств, то тензорное произведение представлений будет иметь V ₁ ⊗ V ₂ в качестве базового векторного пространства, причем действие будет однозначно определяться предположением, что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X\cdot (v_{1}\otimes v_{2})=(X\cdot v_{1})\otimes v_{2}+v_{1}\otimes (X\cdot v_{2}).}$

для всех и . ${\displaystyle v_{1}\in V_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$

На языке гомоморфизмов это означает, что мы определяем по формуле ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V_{1}\otimes V_{2})}$

${\displaystyle (\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)\otimes \mathrm {I} +\mathrm {I} \otimes \rho _{2}(X)}$^[5] Это называется суммой Кронекера и , определенной в Матричном сложении#Сумма_Кронекера и произведении Кронекера#Свойства , а более конкретно в Тензорном произведении представлений . ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$

В физической литературе тензорное произведение с оператором тождества часто опускается в обозначениях, а формула записывается как

${\displaystyle (\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)+\rho _{2}(X)}$,

где подразумевается, что действует на первый множитель в тензорном произведении и действует на второй множитель в тензорном произведении. В контексте представлений алгебры Ли su(2) тензорное произведение представлений называется «сложением углового момента». В этом контексте может, например, быть орбитальным угловым моментом, а — спиновым угловым моментом. ${\displaystyle \rho _{1}(x)}$ ${\displaystyle \rho _{2}(x)}$ ${\displaystyle \rho _{1}(X)}$ ${\displaystyle \rho _{2}(X)}$

Двойственные представления

Пусть будет алгеброй Ли и будет представлением . Пусть будет сопряженным пространством, то есть пространством линейных функционалов на . Тогда мы можем определить представление по формуле ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho ^{*}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V^{*})}$

${\displaystyle \rho ^{*}(X)=-(\rho (X))^{\operatorname {tr} },}$

где для любого оператора оператор транспонирования определяется как оператор «композиция с»: ${\displaystyle A:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle (A^{\operatorname {tr} }\phi )(v)=\phi (Av)}$

Знак минус в определении необходим для того, чтобы гарантировать, что это действительно представление , в свете тождества ${\displaystyle \rho ^{*}}$ ${\displaystyle \rho ^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname {tr} }.}$

Если работать в базисе, то транспонирование в приведенном выше определении можно интерпретировать как обычное транспонирование матрицы.

Представление на линейных картах

Пусть будет -модулями, алгеброй Ли. Тогда становится -модулем, установив . В частности, ; то есть гомоморфизмы -модулей из в являются просто элементами , которые инвариантны относительно только что определенного действия на . Если мы возьмем в качестве базового поля, мы восстановим действие на , заданное в предыдущем подразделе. ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (X\cdot f)(v)=Xf(v)-f(Xv)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(V,W)=\operatorname {Hom} (V,W)^{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{*}}$

Теория представлений полупростых алгебр Ли

См. Теория представлений полупростых алгебр Ли .

Обертывающие алгебры

Каждой алгебре Ли над полем k можно сопоставить определенное кольцо , называемое универсальной обертывающей алгеброй и обозначаемое . Универсальное свойство универсальной обертывающей алгебры гарантирует, что каждое представление порождает представление . Наоборот, теорема ПБВ говорит нам, что находится внутри , так что каждое представление может быть ограничено . Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между представлениями и представлениями . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Универсальная обертывающая алгебра играет важную роль в теории представлений полупростых алгебр Ли, описанной выше. В частности, конечномерные неприводимые представления строятся как факторы модулей Верма , а модули Верма строятся как факторы универсальной обертывающей алгебры. ^[6]

Конструкция следующая. ^[7] Пусть T — тензорная алгебра векторного пространства . Таким образом, по определению, и умножение на ней задается как . Пусть — фактор-кольцо T по идеалу , порожденному элементами вида ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T=\oplus _{n=0}^{\infty }\otimes _{1}^{n}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle [X,Y]-(X\otimes Y-Y\otimes X)}$.

Существует естественное линейное отображение из в полученное ограничением фактор-отображения до степени один. Теорема PBW подразумевает, что каноническое отображение на самом деле инъективно. Таким образом, каждая алгебра Ли может быть вложена в ассоциативную алгебру таким образом, что скобка на задается как в . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle T\to U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A=U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle A}$

Если абелева , то — симметричная алгебра векторного пространства . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Так как является модулем над собой посредством присоединенного представления, то обертывающая алгебра становится -модулем путем расширения присоединенного представления. Но можно также использовать левое и правое регулярное представление , чтобы сделать обертывающую алгебру -модулем; а именно, с обозначением отображение определяет представление на . Правое регулярное представление определяется аналогично. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle l_{X}(Y)=XY,X\in {\mathfrak {g}},Y\in U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle X\mapsto l_{X}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Индуцированное представление

Пусть — конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики и подалгеброй. действует на справа и, таким образом, для любого -модуля W можно образовать левый -модуль . Это -модуль , обозначаемый и называемый -модулем , индуцированным W . Он удовлетворяет (и фактически характеризуется) универсальному свойству: для любого -модуля E ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {h}})}W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W,E)\simeq \operatorname {Hom} _{\mathfrak {h}}(W,\operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}E)}$.

Более того, является точным функтором из категории -модулей в категорию -модулей . Они используют тот факт, что является свободным правым модулем над . В частности, если является простым (соответственно, абсолютно простым), то W является простым (соответственно, абсолютно простым). Здесь -модуль V является абсолютно простым, если является простым для любого расширения поля . ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V\otimes _{k}F}$ ${\displaystyle F/k}$

Индукция транзитивна: для любой подалгебры Ли и любой подалгебры Ли . Индукция коммутирует с ограничением: пусть будет подалгеброй и идеалом , который содержится в . Положим и . Тогда . ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\simeq \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h'}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {h'}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h'}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {h}}'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}={\mathfrak {h}}/{\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}\simeq \operatorname {Res} _{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h_{1}}}^{\mathfrak {g_{1}}}}$

Бесконечномерные представления и «категория О»

Пусть — конечномерная полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики. (В разрешимом или нильпотентном случае изучаются примитивные идеалы обертывающей алгебры; см. Диксмье для окончательного изложения.) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Категория модулей (возможно, бесконечномерных) над оказывается слишком большой, особенно для методов гомологической алгебры, чтобы быть полезной: было обнаружено, что меньшая подкатегория категория O является лучшим местом для теории представлений в полупростом случае в нулевой характеристике. Например, категория O оказалась подходящего размера для формулировки знаменитой взаимности BGG. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

(г,К)-модуль

Одно из важнейших приложений представлений алгебры Ли — это теория представлений вещественных редуктивных групп Ли. Приложение основано на идее, что если — представление в гильбертовом пространстве, скажем, связной вещественной полупростой линейной группы Ли G , то оно имеет два естественных действия: комплексификацию и связную максимальную компактную подгруппу K. Структура -модуля позволяет применять алгебраические, особенно гомологические, методы, а структура -модуля позволяет проводить гармонический анализ аналогично тому, как это делается на связных компактных полупростых группах Ли. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle K}$

Представление в алгебре

Если у нас есть супералгебра Ли L , то представление L на алгебре — это (не обязательно ассоциативная ) Z ₂ градуированная алгебра A , которая является представлением L в виде Z ₂ градуированного векторного пространства , и, кроме того, элементы L действуют как деривации / антидеривации на A.

Более конкретно, если H является чистым элементом L , а x и y являются чистыми элементами A ,

Н [ ху ] = ( Н [ х ]) у + (−1) ^хН х ( Н [ у ])

Кроме того, если A унитальна , то

Н [1] = 0

Теперь, для случая представления алгебры Ли , мы просто отбрасываем все градуировки и (−1) к некоторым степенным множителям.

(Супер)алгебра Ли — это алгебра, и она имеет присоединенное представление самой себя. Это представление на алгебре: свойство (анти)вывода — это супертождество Якоби .

Если векторное пространство является одновременно ассоциативной алгеброй и алгеброй Ли , а присоединенное представление алгебры Ли на себе является представлением на алгебре (т.е. действует дифференцированиями на структуре ассоциативной алгебры), то оно является алгеброй Пуассона . Аналогичное наблюдение для супералгебр Ли дает понятие супералгебры Пуассона .

Смотрите также

• Представление группы Ли
• Вес (теория представлений)
• Теорема Вейля о полной приводимости
• Корневая система
• Формула характера Вейля
• Теория представлений связной компактной группы Ли
• Лемма Уайтхеда (Алгебры Ли)
• Гипотезы Каждана–Люстига
• Лемма Квиллена — аналог леммы Шура

Примечания

1. Холл 2015 Теорема 5.6
2. Холл 2013 Раздел 17.3
3. Холл 2015 Теорема 4.29
4. Диксмье 1977, Теорема 1.6.3
5. Холл 2015 Раздел 4.3
6. Холл 2015 Раздел 9.5
7. Якобсон 1962

Ссылки

• Бернштейн И.Н., Гельфанд И.М., Гельфанд СИ., "Структура представлений, порождаемых векторами старшего веса", Функциональный анализ. Приложение 5 (1971)
• Диксмье, Дж. (1977), Обертывающие алгебры , Амстердам, Нью-Йорк, Оксфорд: Северная Голландия, ISBN 0-444-11077-1.
• А. Бейлинсон и Дж. Бернштейн, «Локализация g-модулей», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, vol. 292, вып. 1, стр. 15–18, 1981.
• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA (1990). A. van Groesen; EM de Jager (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Том 1. Северная Голландия. ISBN 0-444-88776-8.
• Бауэрле, GGA; де Керф, Э.А.; тен Кроуд, APE (1997). А. ван Грозен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Том. 7. Северная Голландия. ISBN 978-0-444-82836-1– через ScienceDirect .
• Фултон, У .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8. МР  1153249.
• Д. Гейтсгори, Геометрическая теория представлений, Математика 267y, осень 2005 г.
• Холл, Брайан С. (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли. Введение через линейные группы , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• Рёси Хотта, Киёси Такеучи, Тосиюки Танисаки, D-модули, перверсивные пучки и теория представлений ; перевод Киёси Такеуча
• Хамфрис, Джеймс (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений, Graduate Texts in Mathematics, т. 9, Springer, ISBN 9781461263982
• Якобсон, Натан (1979) [1962]. Алгебры Ли . Дувр. ISBN 978-0-486-63832-4.
• Гаррет Биркгоф ; Филип М. Уитмен (1949). «Представление йордановых и лиевых алгебр» (PDF) . Trans. Amer. Math. Soc. 65 : 116–136. doi : 10.1090/s0002-9947-1949-0029366-6 .
• Кириллов, А. (2008). Введение в группы Ли и алгебры Ли. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Том 113. Cambridge University Press. ISBN 978-0521889698.
• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп. Обзор на основе примеров., Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0(элементарная обработка для SL(2, C ))
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами и введение (второе изд.), Биркхаузер

Дальнейшее чтение

• Бен-Цви, Дэвид; Надлер, Дэвид (2012). «Локализация Бейлинсона-Бернштейна над центром Хариш-Чандры». arXiv : 1209.0188v1 [math.RT].