Поле класса Гильберта

В алгебраической теории чисел поле классов Гильберта E числового поля K является максимальным абелевым неразветвленным расширением K. Его степень над K равна числу классов K , а группа Галуа поля E над K канонически изоморфна группе классов идеалов поля K с использованием элементов Фробениуса для простых идеалов в K.

В этом контексте поле классов Гильберта K не только неразветвлено в конечных точках (классическая идеальная теоретическая интерпретация), но и в бесконечных точках K. То есть каждое действительное вложение K продолжается до действительного вложения E (а не до комплексного вложения E ).

Примеры

• Если кольцо целых чисел K является уникальной областью факторизации , в частности, если , то K является своим собственным полем классов Гильберта. ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$
• Пусть дискриминант . Поле имеет дискриминант и , таким образом, является всюду неразветвленным расширением K , и оно абелево. Используя границу Минковского , можно показать, что K имеет классное число 2. Следовательно, его поле классов Гильберта равно . Неглавный идеал K равен (2,(1+ √ −15 )/2), и в L он становится главным идеалом ((1+ √ 5 )/2). ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-15}})}$ ${\displaystyle -15}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}},{\sqrt {5}})}$ ${\displaystyle 225=(-15)^{2}}$ ${\displaystyle L}$
• Поле имеет класс номер 3. Его поле классов Гильберта может быть образовано присоединением корня x ³ - x - 1, который имеет дискриминант -23. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$
• Чтобы увидеть, почему ветвление в архимедовых простых числах должно быть принято во внимание, рассмотрим действительное квадратичное поле K, полученное присоединением квадратного корня из 3 к Q. Это поле имеет класс 1 и дискриминант 12, но расширение K ( i )/ K дискриминанта 9=3 ² неразветвлено во всех простых идеалах в K , поэтому K допускает конечные абелевы расширения степени больше 1, в которых все конечные простые числа K неразветвлены. Это не противоречит тому, что поле классов Гильберта K является самим K : каждое собственное конечное абелево расширение K должно разветвляться в некотором месте, и в расширении K ( i )/ K есть разветвление в архимедовых местах: действительные вложения K продолжаются до комплексных (а не действительных) вложений K ( i ).
• Согласно теории комплексного умножения , поле классов Гильберта мнимого квадратичного поля порождается значением эллиптической модулярной функции в генераторе кольца целых чисел (как Z -модуль).

История

Существование (узкого) поля классов Гильберта для заданного числового поля K было высказано предположением Давида Гильберта  (1902) и доказано Филиппом Фуртвенглером . ^[1] Существование поля классов Гильберта является ценным инструментом при изучении структуры идеальной группы классов заданного поля.

Дополнительные свойства

Поле класса Гильберта E также удовлетворяет следующему:

• E — конечное расширение Галуа для K и [ E :  K ] = h _K , где h _K — номер класса K.
• Группа классов идеалов поля K изоморфна группе Галуа поля E над полем K.
• Каждый идеал кольца OK продолжается до главного идеала расширения кольца _O E ( теорема о главном идеале ₎ .
• Каждый простой идеал P из OK разлагается в произведение h _K / f простых идеалов из O _E , где f — порядок [ P ] _в группе классов идеалов _из OK .

Фактически, E — единственное поле, удовлетворяющее первому, второму и четвертому свойствам.

Явные конструкции

Если K — мнимая квадратичная кривая, а A — эллиптическая кривая с комплексным умножением на кольцо целых чисел K , то присоединение j-инварианта A к K дает поле классов Гильберта. ^[2]

Обобщения

В теории полей классов изучается поле классов лучей относительно заданного модуля , которое является формальным произведением простых идеалов (включая, возможно, архимедовы). Поле классов лучей — это максимальное абелево расширение, неразветвленное вне простых чисел, делящих модуль, и удовлетворяющее определенному условию ветвления в простых числах, делящих модуль. Поле классов Гильберта тогда является полем классов лучей относительно тривиального модуля 1 .

Узкое поле классов — это поле классов лучей относительно модуля, состоящего из всех бесконечных простых чисел. Например, приведенный выше аргумент показывает, что — узкое поле классов . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}},i)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$

Примечания

1. Фуртвенглер 1906
2. Теорема II.4.1 Сильвермана 1994 г.

Ссылки

• Чайлдресс, Нэнси (2009), Теория полей классов , Нью-Йорк: Springer , doi :10.1007/978-0-387-72490-4, ISBN 978-0-387-72489-8, г-н  2462595
• Фуртвенглер, Филипп (1906), «Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkörper eines beliebigen алгебраишен Zahlkörpers», Mathematische Annalen , 63 (1): 1–37, doi : 10.1007/BF01448421, JFM  37.0243.02, MR  1511392 , получено 21 августа 2009 г.
• Гильберт, Дэвид (1902) [1898], «Über die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper», Acta Mathematica , 26 (1): 99–131, doi : 10.1007/BF02415486
• JS Milne, Class Field Theory (Конспект курса доступен по адресу http://www.jmilne.org/math/). См. главу «Введение» в примечаниях, особенно стр. 4.
• Сильверман, Джозеф Х. (1994), Расширенные темы арифметики эллиптических кривых , Graduate Texts in Mathematics , т. 151, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94325-1
• Гра, Жорж (2005), Теория полей классов: от теории к практике , Нью-Йорк: Springer

В данной статье использованы материалы из книги «Существование поля класса Гильберта» на PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .