В теории множеств и ее приложениях в математике класс — это совокупность множеств (или иногда других математических объектов), которая может быть однозначно определена свойством , общим для всех его членов. Классы действуют как способ иметь коллекции, подобные множествам, но при этом отличаться от наборов, чтобы избежать парадоксов, особенно парадокса Рассела (см. § Парадоксы ). Точное определение «класса» зависит от основного контекста. В работах по теории множеств Цермело-Френкеля понятие класса является неформальным, тогда как другие теории множеств, такие как теория множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя , аксиоматизируют понятие «собственного класса», например, как сущности, которые не являются членами другая сущность.
Класс, который не является множеством (неформально в Цермело-Френкеле), называется собственным классом , а класс, который является множеством, иногда называется малым классом . Например, класс всех порядковых чисел и класс всех множеств являются собственными классами во многих формальных системах.
В теоретико-множественных трудах Куайна фраза «конечный класс» часто используется вместо фразы «собственный класс», подчеркивая, что в системах, которые он рассматривает, определенные классы не могут быть членами и, таким образом, являются последним термином в любой цепочке членства . которому они принадлежат.
За пределами теории множеств слово «класс» иногда используется как синоним слова «множество». Это использование восходит к историческому периоду, когда классы и множества не различались, как в современной теоретико-множественной терминологии. [1] Многие дискуссии о «классах» в 19 веке и ранее на самом деле относились к множествам или, скорее, возможно, происходили без учета того, что некоторые классы могут не быть множествами.
Совокупность всех алгебраических структур данного типа обычно представляет собой собственный класс. Примеры включают класс всех групп , класс всех векторных пространств и многие другие. В теории категорий категория , совокупность объектов которой образует собственный класс (или совокупность морфизмов которой образует правильный класс), называется большой категорией .
Сюрреалистические числа представляют собой собственный класс объектов, обладающих свойствами поля .
В рамках теории множеств многие коллекции множеств оказываются собственными классами. Примеры включают класс всех множеств (универсальный класс), класс всех порядковых чисел и класс всех кардинальных чисел .
Один из способов доказать правильность класса — поставить его в соответствие с классом всех порядковых чисел. Этот метод используется, например, при доказательстве отсутствия свободной полной решетки на трех и более образующих .
Парадоксы наивной теории множеств можно объяснить с точки зрения противоречивого молчаливого предположения , что «все классы являются множествами». Имея строгое обоснование, эти парадоксы вместо этого предлагают доказательства того, что определенные классы являются собственными (т. е. что они не являются множествами). Например, парадокс Рассела предполагает доказательство того, что класс всех множеств, которые не содержат самих себя, является правильным, а парадокс Бурали-Форти предполагает, что класс всех порядковых чисел является правильным. Парадоксы не возникают с классами, поскольку не существует понятия классов, содержащих классы. В противном случае можно было бы, например, определить класс всех классов, которые не содержат самих себя, что привело бы к парадоксу Рассела для классов. С другой стороны, конгломерат может иметь в качестве членов соответствующие классы, хотя теория конгломератов еще не устоялась. [ нужна цитата ]
Теория множеств ZF не формализует понятие классов, поэтому каждую формулу с классами необходимо синтаксически свести к формуле без классов. [2] Например, можно сократить формулу до . Семантически в метаязыке классы могут быть описаны как классы эквивалентности логических формул : если это структура , интерпретирующая ZF, то объектный язык «выражение построителя классов» интерпретируется как совокупность всех элементов из области on. что держится; таким образом, класс можно описать как набор всех предикатов, эквивалентных (включая самого себя). В частности, можно отождествить «класс всех множеств» с множеством всех предикатов, эквивалентных .
Поскольку классы не имеют формального статуса в теории ZF, аксиомы ZF не применимы к классам непосредственно. Однако если предполагается недоступный кардинал , то множества меньшего ранга образуют модель ZF ( вселенная Гротендика ), а ее подмножества можно рассматривать как «классы».
В ZF понятие функции также можно обобщить на классы. Функция класса не является функцией в обычном смысле, поскольку она не является множеством; это скорее формула со свойством, что для любого набора существует не более одного набора, такая пара которого удовлетворяет . Например, функция класса, отображающая каждый набор на его преемника, может быть выражена в виде формулы. Тот факт, что упорядоченная пара удовлетворяет требованиям , может быть выражен с помощью сокращенной записи .
Другой подход основан на аксиомах фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG); классы являются основными объектами в этой теории, и тогда множество определяется как класс, который является элементом некоторого другого класса. Однако аксиомы существования классов в NBG ограничены тем, что они количественно оценивают только множества, а не все классы. Это делает NBG консервативным продолжением ZF.
Теория множеств Морса – Келли допускает собственные классы в качестве основных объектов, таких как NBG, но также допускает количественную оценку всех правильных классов в своих аксиомах существования классов. Это приводит к тому, что MK строго сильнее, чем NBG и ZF.
В других теориях множеств, таких как «Новые основы» или теория полумножеств , концепция «собственного класса» все еще имеет смысл (не все классы являются множествами), но критерий множественности не замкнут относительно подмножеств. Например, любая теория множеств с универсальным множеством имеет собственные классы, которые являются подклассами множеств.
