Клеточная гомология

В математике клеточная гомология в алгебраической топологии является теорией гомологии для категории CW-комплексов . Она согласуется с сингулярной гомологией и может обеспечить эффективные средства вычисления модулей гомологии.

Определение

Если это CW-комплекс с n -скелетом , то модули клеточной гомологии определяются как группы гомологии H _i комплекса клеточной цепи ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle \cdots \to {C_{n+1}}(X_{n+1},X_{n})\to {C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})\to \cdots ,}$

где принимается пустое множество. ${\displaystyle X_{-1}}$

Группа

${\displaystyle {C_{n}}(X_{n},X_{n-1})}$

является свободным абелевым , с генераторами, которые можно отождествить с -ячейками . Пусть будет -ячейкой , и пусть будет присоединяемым отображением. Затем рассмотрим композицию ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle e_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha }:\partial e_{n}^{\alpha }\cong \mathbb {S} ^{n-1}\to X_{n-1}}$

${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }:\mathbb {S} ^{n-1}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{n}^{\alpha }\,{\stackrel {\chi _{n}^{\alpha }}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}\,{\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\mathbb {S} ^{n-1},}$

где первая карта идентифицируется с посредством характеристической карты , объектом является -ячейка X , третья карта - это факторная карта, которая сжимается в точку (таким образом, сворачиваясь в сферу ), а последняя карта идентифицируется с посредством характеристической карты . ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \partial e_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle \Phi _{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }}$ ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ ${\displaystyle X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \Phi _{n-1}^{\beta }}$ ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$

Карта границ

${\displaystyle \partial _{n}:{C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})}$

тогда определяется по формуле

${\displaystyle {\partial _{n}}(e_{n}^{\alpha })=\sum _{\beta }\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)e_{n-1}^{\beta },}$

где — степень , а сумма берется по всем -ячейкам , рассматриваемым как генераторы . ${\displaystyle \deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)}$ ${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})}$

Примеры

Следующие примеры иллюстрируют, почему вычисления, выполненные с использованием клеточной гомологии, часто более эффективны, чем вычисления, выполненные с использованием только сингулярной гомологии.

Theн-сфера

n -мерная сфера S ⁿ допускает структуру CW с двумя ячейками, одной 0-ячейкой и одной n -ячейкой . Здесь n -ячейка присоединена постоянным отображением из в 0-ячейку. Поскольку генераторы групп клеточных цепей можно отождествить с k -ячейками S ⁿ , то мы имеем это для и в остальном тривиально. ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle {C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})}$ ${\displaystyle {C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k=0,n,}$

Следовательно , для результирующий цепной комплекс равен ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0,}$

но тогда, поскольку все граничные отображения являются либо в тривиальные группы, либо из них, они все должны быть равны нулю, что означает, что клеточные группы гомологии равны

${\displaystyle H_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Когда , можно проверить, что граничное отображение равно нулю, то есть приведенная выше формула верна для всех положительных . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \partial _{1}}$ ${\displaystyle n}$

Родгповерхность

Клеточная гомология также может быть использована для вычисления гомологии поверхности рода g . Фундаментальный многоугольник представляет собой -угольник , который дает CW-структуру с одной 2-ячейкой, 1-ячейкой и одной 0-ячейкой. 2-ячейка прикреплена вдоль границы -угольника , который содержит каждую 1-ячейку дважды, один раз вперед и один раз назад. Это означает, что карта прикрепления равна нулю, поскольку направления вперед и назад каждой 1-ячейки сокращаются. Аналогично, карта прикрепления для каждой 1-ячейки также равна нулю, поскольку она является постоянным отображением из в 0-ячейку. Следовательно, результирующий цепной комплекс равен ${\displaystyle \Sigma _{g}}$ ${\displaystyle \Sigma _{g}}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle \Sigma _{g}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle S^{0}}$

${\displaystyle \cdots \to 0\xrightarrow {\partial _{3}} \mathbb {Z} \xrightarrow {\partial _{2}} \mathbb {Z} ^{2g}\xrightarrow {\partial _{1}} \mathbb {Z} \to 0,}$

где все граничные карты равны нулю. Следовательно, это означает, что клеточная гомология поверхности рода g задается как

${\displaystyle H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} ^{2g}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Аналогично можно построить поверхность рода g с прикрепленной кросс-шапкой как комплекс CW с 1 0-клеткой, g 1-клеткой и 1 2-клеткой. Ее группы гомологии: $${\displaystyle H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} ^{g-1}\oplus \mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Тор

N-тор может быть построен как комплекс CW с 1 0-ячейкой, n 1-ячейками, ..., и 1 n-ячейкой. Цепной комплекс и все граничные отображения равны нулю. Это можно понять, явно построив случаи для , затем посмотреть шаблон. ${\displaystyle (S^{1})^{n}}$ $${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n-1}}\to \cdots \to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{1}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{0}}\to 0}$$ ${\displaystyle n=0,1,2,3}$

Таким образом, . ${\displaystyle H_{k}((S^{1})^{n})\simeq \mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}}$

Комплексное проективное пространство

Если не имеет смежных размерных ячеек (то есть если у него n-ячеек, то у него нет (n-1)-ячеек и (n+1)-ячеек), то является свободной абелевой группой, порожденной его n-ячейками, для каждого . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{n}^{CW}(X)}$ ${\displaystyle n}$

Комплексное проективное пространство получается путем склеивания 0-клетки, 2-клетки, ... и (2n)-клетки, таким образом , для , и нуля в противном случае. ${\displaystyle P^{n}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle H_{k}(P^{n}\mathbb {C} )=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k=0,2,...,2n}$

Реальное проективное пространство

Реальное проективное пространство допускает CW-структуру с одной -клеткой для всех . Присоединяющее отображение для этих -клеток задается 2-кратным накрывающим отображением . (Заметьте, что -скелет для всех .) Обратите внимание, что в этом случае для всех . ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varphi _{k}\colon S^{k-1}\to \mathbb {R} P^{k-1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} P_{k}^{n}\cong \mathbb {R} P^{k}}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle C_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$

Для расчета карты границ

${\displaystyle \partial _{k}\colon C_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\to C_{k-1}(\mathbb {R} P_{k-1}^{n},\mathbb {R} P_{k-2}^{n}),}$

мы должны найти степень карты

${\displaystyle \chi _{k}\colon S^{k-1}{\overset {\varphi _{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}{\overset {q_{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}/\mathbb {R} P^{k-2}\cong S^{k-1}.}$

Теперь заметим, что , и для каждой точки , мы имеем , состоящее из двух точек, по одной в каждой связной компоненте (открытой полусфере) . Таким образом, чтобы найти степень отображения , достаточно найти локальные степени на каждой из этих открытых полусфер. Для простоты записи обозначим и связные компоненты . Тогда и являются гомеоморфизмами, а , где — антиподальное отображение. Теперь степень антиподального отображения на равна . Следовательно, без потери общности, мы имеем, что локальная степень на равна , а локальная степень на равна . Складывая локальные степени, мы имеем, что ${\displaystyle \varphi _{k}^{-1}(\mathbb {R} P^{k-2})=S^{k-2}\subseteq S^{k-1}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} P^{k-1}\setminus \mathbb {R} P^{k-2}}$ ${\displaystyle \varphi ^{-1}(\{x\})}$ ${\displaystyle S^{k-1}\setminus S^{k-2}}$ ${\displaystyle \chi _{k}}$ ${\displaystyle \chi _{k}}$ ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{k}}$ ${\displaystyle S^{k-1}\setminus S^{k-2}}$ ${\displaystyle \chi _{k}|_{B_{k}}}$ ${\displaystyle \chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}}$ ${\displaystyle \chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}=\chi _{k}|_{B_{k}}\circ A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S^{k-1}}$ ${\displaystyle (-1)^{k}}$ ${\displaystyle \chi _{k}}$ ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \chi _{k}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{k}}$ ${\displaystyle (-1)^{k}}$

${\displaystyle \deg(\chi _{k})=1+(-1)^{k}={\begin{cases}2&{\text{if }}k{\text{ is even,}}\\0&{\text{if }}k{\text{ is odd.}}\end{cases}}}$

Карта границ тогда задается как . ${\displaystyle \partial _{k}}$ ${\displaystyle \deg(\chi _{k})}$

Таким образом, мы имеем, что CW-структура приводит к образованию следующего цепочечного комплекса: ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow 0,}$

где если четно, а если нечетно. Следовательно, группы клеточной гомологии для следующие: ${\displaystyle \partial _{n}=2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \partial _{n}=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$

${\displaystyle H_{k}(\mathbb {R} P^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if }}k=0{\text{ and }}k=n{\text{ odd}},\\\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &{\text{if }}0<k<n{\text{ odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Другие свойства

Из комплекса клеточной цепи видно, что -скелет определяет все низкоразмерные гомологичные модули: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {H_{k}}(X)\cong {H_{k}}(X_{n})}$

для . ${\displaystyle k<n}$

Важным следствием этой клеточной перспективы является то, что если CW-комплекс не имеет ячеек в последовательных измерениях, то все его гомологичные модули свободны. Например, комплексное проективное пространство имеет клеточную структуру с одной ячейкой в ​​каждом четном измерении; отсюда следует, что для , ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

${\displaystyle {H_{2k}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

и

${\displaystyle {H_{2k+1}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=0.}$

Обобщение

Спектральная последовательность Атьи –Хирцебруха представляет собой аналогичный метод вычисления (ко)гомологий CW-комплекса для произвольной необычной теории (ко)гомологии .

Эйлерова характеристика

Для клеточного комплекса пусть будет его -й скелет, а будет числом -клеток, т.е. рангом свободного модуля . Тогда эйлерова характеристика определяется как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle c_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {C_{j}}(X_{j},X_{j-1})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.}$

Характеристика Эйлера является гомотопическим инвариантом. Фактически, в терминах чисел Бетти , ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {Rank} ({H_{j}}(X)).}$

Это можно обосновать следующим образом. Рассмотрим длинную точную последовательность относительной гомологии для тройки : ${\displaystyle (X_{n},X_{n-1},\varnothing )}$

${\displaystyle \cdots \to {H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},X_{n-1})\to \cdots .}$

Погоня за точностью в последовательности дает

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},X_{n-1}))+\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )).}$

Тот же расчет применим к тройкам , , и т.д. По индукции, ${\displaystyle (X_{n-1},X_{n-2},\varnothing )}$ ${\displaystyle (X_{n-2},X_{n-3},\varnothing )}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\;\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{j}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{j},X_{j-1}))=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.}$

Ссылки

• Альбрехт Дольд : Лекции по алгебраической топологии , Springer ISBN  3-540-58660-1 .
• Аллен Хэтчер : Алгебраическая топология , Cambridge University Press ISBN 978-0-521-79540-1 . Бесплатная электронная версия доступна на домашней странице автора.