Сумма клина

Сумма клина двух кругов

В топологии сумма клина — это «одноточечное объединение» семейства топологических пространств . В частности, если X и Y — точечные пространства (т.е. топологические пространства с выделенными базисными точками и ), сумма клина X и Y — это факторпространство несвязного объединения X и Y по отождествлению ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}\sim y_{0}:}$ $${\displaystyle X\vee Y=(X\amalg Y)\;/{\sim },}$$

где — эквивалентное замыкание отношения В более общем смысле, предположим, что — индексированное семейство точечных пространств с базовыми точками Сумма клина семейства определяется как: где — эквивалентное замыкание отношения Другими словами, сумма клина — это соединение нескольких пространств в одной точке. Это определение чувствительно к выбору базовых точек, если только пространства не являются однородными . ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \left\{\left(x_{0},y_{0}\right)\right\}.}$ ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I}.}$ $${\displaystyle \bigvee _{i\in I}X_{i}=\coprod _{i\in I}X_{i}\;/{\sim },}$$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \left\{\left(p_{i},p_{j}\right):i,j\in I\right\}.}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$

Сумма клина снова является точечным пространством, а бинарная операция ассоциативна и коммутативна (с точностью до гомеоморфизма).

Иногда сумму клина называют произведением клина , но это не то же самое понятие, что и внешнее произведение , которое также часто называют произведением клина.

Примеры

Сумма клина двух окружностей гомеоморфна пространству в форме восьмерки . Сумма клина окружностей часто называется букетом окружностей , в то время как произведение клина произвольных сфер часто называется букетом сфер . ${\displaystyle n}$

Распространенной конструкцией в гомотопии является определение всех точек вдоль экватора -сферы . В результате получаются две копии сферы, соединенные в точке, которая была экватором: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ $${\displaystyle S^{n}/{\sim }=S^{n}\vee S^{n}.}$$

Пусть будет картой , то есть идентификацией экватора вплоть до одной точки. Тогда сложение двух элементов -мерной гомотопической группы пространства в выделенной точке можно понимать как композицию и с : ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi :S^{n}\to S^{n}\vee S^{n},}$ ${\displaystyle f,g\in \pi _{n}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Psi }$ $${\displaystyle f+g=(f\vee g)\circ \Psi .}$$

Здесь представлены отображения, которые переводят выделенную точку в точку Обратите внимание, что вышеприведенное выражение использует клиновидную сумму двух функций, что возможно именно потому, что они совпадают в точке, общей для клиновидной суммы основных пространств. ${\displaystyle f,g:S^{n}\to X}$ ${\displaystyle s_{0}\in S^{n}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X.}$ ${\displaystyle s_{0},}$

Категориальное описание

Сумма клина может быть понята как копроизведение в категории точечных пространств . В качестве альтернативы, сумма клина может быть рассмотрена как выталкивание диаграммы в категории топологических пространств (где есть любое одноточечное пространство). ${\displaystyle X\leftarrow \{\bullet \}\to Y}$ ${\displaystyle \{\bullet \}}$

Характеристики

Теорема Ван Кампена дает определенные условия (которые обычно выполняются для хорошо ведущих себя пространств, таких как комплексы CW ), при которых фундаментальная группа клиновой суммы двух пространств и является свободным произведением фундаментальных групп и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Смотрите также

• Разбить продукт
• Гавайская серьга , топологическое пространство, напоминающее, но не совпадающее с клиновидной суммой счетного числа окружностей

Ссылки

• Ротман, Джозеф. Введение в алгебраическую топологию , Springer, 2004, стр. 153. ISBN  0-387-96678-1