Кноидальная волна

Нелинейное и точное периодическое волновое решение уравнения Кортевега–де Фриза

Бомбардировщики армии США пролетают над почти периодической зыбью на мелководье, недалеко от побережья Панамы (1933). Острые гребни и очень плоские ложбины характерны для кноидальных волн.

В гидродинамике кноидальная волна — это нелинейное и точное периодическое волновое решение уравнения Кортевега–де Фриза . Эти решения выражаются через эллиптическую функцию Якоби cn , поэтому их называют кноидальными волнами. Они используются для описания поверхностных гравитационных волн с довольно большой длиной волны по сравнению с глубиной воды.

Решения кноидальной волны были получены Кортевегом и де Вризом в их статье 1895 года, в которой они также предложили свое дисперсионное длинноволновое уравнение, теперь известное как уравнение Кортевега–де Вриза. В пределе бесконечной длины волны кноидальная волна становится уединенной волной .

Уравнение Бенджамина–Бона–Махони имеет улучшенное поведение на коротких волнах по сравнению с уравнением Кортевега–де Фриза и является еще одним уравнением однонаправленной волны с решениями кноидальных волн. Кроме того, поскольку уравнение Кортевега–де Фриза является приближением к уравнениям Буссинеска для случая одностороннего распространения волн , кноидальные волны являются приближенными решениями уравнений Буссинеска.

Решения кноидальных волн могут появляться и в других приложениях, помимо поверхностных гравитационных волн, например, для описания ионно-акустических волн в физике плазмы . ^[1]

Кноидальная волна, характеризующаяся более острыми гребнями и более плоскими впадинами , чем у синусоиды . Для показанного случая эллиптический параметр равен m  = 0,9.

Пересекающиеся волны , состоящие из почти кноидальных волновых поездов. Фотография сделана с маяка Phares des Baleines (Китовый маяк) в западной точке острова Иль-де-Ре (остров Ре), Франция, в Атлантическом океане .

Фон

Уравнения Кортевега–де Фриза и Бенджамина–Боны–Махони.

Справедливость нескольких теорий для периодических волн на воде, согласно Le Méhauté (1976). ^[2] Голубая область показывает диапазон применимости теории кноидальных волн; светло-желтая — теории волн Эйри ; а пунктирные синие линии разграничивают требуемый порядок в волновой теории Стокса . Светло-серая штриховка показывает расширение диапазона с помощью численных приближений с использованием теории функции потока пятого порядка для высоких волн ( H  >  ⁠1/4⁠  H- _ломка ).

Уравнение Кортевега-де Фриза (уравнение КдФ) может быть использовано для описания однонаправленного распространения слабо нелинейных и длинных волн — где длинная волна означает: имеющая большую длину волны по сравнению со средней глубиной воды — поверхностных гравитационных волн на слое жидкости. Уравнение КдФ является дисперсионным волновым уравнением, включающим как эффекты частотной дисперсии, так и эффекты амплитудной дисперсии. В своем классическом использовании уравнение КдФ применимо для длин волн λ, превышающих примерно в пять раз среднюю глубину воды h , то есть для λ  > 5  h ; и для периода τ, большего, чем g , сила гравитационного ускорения . ^[3] Чтобы представить себе положение уравнения КдФ в рамках классических волновых приближений, оно отличается следующим образом: ${\displaystyle \scriptstyle 7{\sqrt {h/g}}}$

• Уравнение Кортевега–де Фриза — описывает прямое распространение слабонелинейных и дисперсионных волн для длинных волн с λ  > 7  ч .
• Уравнения мелкой воды — также нелинейны и имеют амплитудную дисперсию, но не частотную дисперсию; они справедливы для очень длинных волн, λ  > 20  ч .
• Уравнения Буссинеска — имеют тот же диапазон применимости, что и уравнение КдФ (в их классической форме), но допускают распространение волн в произвольных направлениях, то есть не только распространяющиеся вперед волны. Недостатком является то, что уравнения Буссинеска часто сложнее решить, чем уравнение КдФ; и во многих приложениях отражения волн малы и ими можно пренебречь.
• Теория волн Эйри — имеет полную частотную дисперсию, поэтому справедлива для произвольной глубины и длины волны, но является линейной теорией без амплитудной дисперсии, ограниченной волнами с низкой амплитудой.
• Теория волн Стокса — подход ряда возмущений к описанию слабо нелинейных и дисперсионных волн, особенно успешный в глубокой воде для относительно коротких длин волн по сравнению с глубиной воды. Однако для длинных волн подход Буссинеска, также применяемый в уравнении КдФ, часто оказывается более предпочтительным. Это связано с тем, что на мелководье ряд возмущений Стокса требует много членов перед схождением к решению из-за пиковых гребней и длинных плоских впадин нелинейных волн. В то время как модели КдФ или Буссинеска дают хорошие приближения для этих длинных нелинейных волн.

Уравнение КдФ можно вывести из уравнений Буссинеска, но для того, чтобы отделить распространение прямой волны, необходимы дополнительные предположения. Для практических приложений уравнение Бенджамина–Бона–Махони (уравнение BBM) предпочтительнее уравнения КдФ, распространяющейся вперед модели, похожей на КдФ, но с гораздо лучшим поведением частотной дисперсии на более коротких длинах волн. Дальнейшие улучшения в производительности коротких волн можно получить, начав выводить уравнение односторонней волны из современной улучшенной модели Буссинеска, действительной для еще более коротких длин волн. ^[4]

Кноидальные волны

Профили кноидальных волн для трех значений эллиптического параметра m .

Решения уравнения КдФ в виде кноидальных волн были представлены Кортевегом и де Фрисом в их статье 1895 года, которая основана на докторской диссертации де Фриса 1894 года. ^[5] Решения уединенных волн для нелинейных и дисперсионных длинных волн были найдены ранее Буссинеском в 1872 году и Рэлеем в 1876 году. Поиск этих решений был инициирован наблюдениями этой уединенной волны (или «волны трансляции») Расселом как в природе, так и в лабораторных экспериментах. ^[4] Решения уравнения КдФ в виде кноидальных волн устойчивы по отношению к малым возмущениям. ^[6]

Возвышение поверхности η ( x , t ) как функция горизонтального положения x и времени t для кноидальной волны определяется по формуле: ^[7]

${\displaystyle \eta (x,t)=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\,\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle 2\,K(m)\,{\frac {x-c\,t}{\lambda }}&m\end{array}}\right),}$

где H - высота волны , λ - длина волны , c - фазовая скорость , а η ₂ - высота подошвы . Далее cn - одна из эллиптических функций Якоби , а K ( m ) - полный эллиптический интеграл первого рода ; обе зависят от эллиптического параметра m . Последний, m , определяет форму кноидальной волны. При m, равном нулю, кноидальная волна становится косинусной функцией, в то время как для значений, близких к единице, кноидальная волна приобретает заостренные гребни и (очень) плоские подошвы. Для значений m, меньших 0,95, кноидальную функцию можно аппроксимировать тригонометрическими функциями. ^[8]

Важным безразмерным параметром для нелинейных длинных волн ( λ  ≫  h ) является параметр Урселла :

${\displaystyle U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}={\frac {H}{h}}\,\left({\frac {\lambda }{h}}\right)^{2}.}$

Для малых значений U , скажем, U  < 5, ^[9] можно использовать линейную теорию, а при более высоких значениях приходится использовать нелинейные теории, такие как теория кноидальных волн. Зона разграничения между теориями Стокса и кноидальными волнами третьего или пятого порядка находится в диапазоне 10–25 параметра Урселла. ^[10] Как видно из формулы для параметра Урселла, для заданной относительной высоты волны H / h параметр Урселла, а значит, и нелинейность, быстро растут с увеличением относительной длины волны λ / h .

На основе анализа полной нелинейной задачи поверхностных гравитационных волн в рамках теории потенциального потока , вышеуказанные кноидальные волны можно считать членом низшего порядка в ряду возмущений. Теории кноидальных волн более высокого порядка остаются справедливыми для более коротких и более нелинейных волн. Теория кноидальных волн пятого порядка была разработана Фентоном в 1979 году. ^[11] Подробное описание и сравнение теорий Стокса пятого порядка и кноидальных волн пятого порядка дано в обзорной статье Фентона. ^[12]

Описания кноидальных волн, посредством перенормировки, также хорошо подходят для волн на глубокой воде, даже на бесконечной глубине; как обнаружил Клэмонд. ^{[13] [14]} Описание взаимодействия кноидальных волн на мелководье, как это наблюдается в реальных морях, было предоставлено Осборном в 1994 году. ^[15]

Поверхностное натяжение

В случае, если эффекты поверхностного натяжения (также) важны, их можно включить в решения кноидальных волн для длинных волн. ^[16]

Решения для периодических волн

Уравнение Кортевега–де Фриза

Уравнение Кортевега-де Фриза (уравнение КдФ), используемое для волн на воде и в размерной форме, выглядит следующим образом: ^[17]

${\displaystyle \partial _{t}\eta +{\sqrt {gh}}\;\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\;\eta \,\partial _{x}\eta +{\tfrac {1}{6}}\,h^{2}\,{\sqrt {gh}}\;\partial _{x}^{3}\eta =0,}$

где

  Подробности вывода

Неразмерность

Все величины можно сделать безразмерными, используя ускорение свободного падения g и глубину воды h :

${\displaystyle {\tilde {\eta }}={\frac {\eta }{h}},}$   ${\displaystyle {\tilde {x}}={\frac {x}{h}}}$  и  ${\displaystyle {\tilde {t}}={\sqrt {\frac {g}{h}}}\,t.}$

Результирующая безразмерная форма уравнения КдФ имеет вид ^[17]

${\displaystyle \partial _{\tilde {t}}{\tilde {\eta }}+\partial _{\tilde {x}}{\tilde {\eta }}+{\tfrac {3}{2}}\,{\tilde {\eta }}\,\partial _{\tilde {x}}{\tilde {\eta }}+{\tfrac {1}{6}}\,\partial _{\tilde {x}}^{3}{\tilde {\eta }}=0,}$

В оставшейся части тильды будут опущены для удобства записи.

Отношение к стандартной форме

Форма

${\displaystyle \partial _{\hat {t}}\phi +6\,\phi \ \partial _{\hat {x}}\phi +\partial _{\hat {x}}^{3}\phi =0}$

получается путем преобразования

${\displaystyle {\hat {t}}={\tfrac {1}{6}}\,t,\,}$   ${\displaystyle {\hat {x}}=x-t\,}$  и  ${\displaystyle \phi ={\tfrac {3}{2}}\,\eta ,\,}$

но эта форма не будет использоваться далее в этом выводе.

Распространяющиеся волны фиксированной формы

Периодические волновые решения, распространяющиеся с фазовой скоростью c , ищутся. Эти постоянные волны должны быть следующими:

${\displaystyle \eta =\eta (\xi )\,}$  с фазой волны : ${\displaystyle \xi }$  ${\displaystyle \xi =x-c\,t.\,}$

Следовательно, частные производные по пространству и времени становятся:

${\displaystyle \partial _{x}\eta =\eta '\,}$  и  ${\displaystyle \partial _{t}\eta =-c\,\eta ',\,}$

где η ′ обозначает обычную производную η ( ξ ) по аргументу ξ .

Используя их в уравнении КдФ, получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка: ^[18]

${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\,\eta '''+\left(1-c\right)\,\eta '+{\tfrac {3}{2}}\,\eta \,\eta '=0.\,}$

Интеграция в обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

Это можно интегрировать один раз, чтобы получить: ^[18]

${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\eta ''+\left(1-c\right)\,\eta +{\tfrac {3}{4}}\,\eta ^{2}={\tfrac {1}{4}}r,\,}$

где r — константа интегрирования . После умножения на 4  η ′ и повторного интегрирования ^[18]

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\left(\eta '\right)^{2}+2\,\left(1-c\right)\,\eta ^{2}+\eta ^{3}=r\,\eta +s,\,}$

Кубический полином f(η), встречающийся в периодических волновых решениях уравнения Кортевега–де Фриза и уравнения Бенджамина–Бона–Махони .

с s другой константой интегрирования. Это записывается в виде

Кубический полином f ( η ) становится отрицательным для больших положительных значений η , и положительным для больших отрицательных значений η . Поскольку возвышение поверхности η имеет вещественное значение , константы интегрирования r и s также являются вещественными. Полином f может быть выражен через его корни η ₁ , η ₂ и η ₃ : ^[7]

Поскольку f ( η ) имеет вещественное значение, три корня η ₁ , η ₂ и η ₃ либо все три действительны, либо в противном случае один из них действительный, а оставшиеся два являются парой комплексно сопряженных . В последнем случае, с единственным вещественным корнем, существует только одна высота η , на которой f ( η ) равна нулю. И, следовательно, также только одна высота, на которой наклон поверхности η ′ равен нулю. Однако мы ищем волнообразные решения с двумя высотами — гребнем и впадиной волны (физика) — где наклон поверхности равен нулю. Вывод состоит в том, что все три корня f ( η ) должны иметь вещественные значения.

Без потери общности предполагается, что три действительных корня упорядочены следующим образом:

${\displaystyle \eta _{1}\geq \eta _{2}\geq \eta _{3}.\,}$

Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Теперь из уравнения ( A ) видно, что существуют только действительные значения для наклона, если f ( η ) положительно. Это соответствует η ₂  ≤  η ≤  η ₁ , что, следовательно, является диапазоном, между которым колеблется возвышение поверхности, см. также график f ( η ). Это условие выполняется при следующем представлении возвышения η ( ξ ): ^[7]

в соответствии с периодическим характером искомых волновых решений и с ψ ( ξ ) фазой тригонометрических функций sin и cos. Из этой формы можно получить следующие описания различных членов в уравнениях ( A ) и ( B ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta -\eta _{1}&=-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),\\\eta -\eta _{2}&=+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\cos ^{2}\,\psi (\xi ),\\\eta -\eta _{3}&=\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),&&{\text{and}}\\\eta '&=-2\,\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin \,\psi (\xi )\;\cos \,\psi (\xi )\;\;\psi '(\xi )&&{\text{with}}\quad \psi '(\xi )={\frac {{\text{d}}\psi (\xi )}{{\text{d}}\xi }}.\end{aligned}}}$

Используя их в уравнениях ( A ) и ( B ), после некоторых преобразований получается следующее обыкновенное дифференциальное уравнение, связывающее ψ и ξ : ^[7]

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\,\left({\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}\xi }}\right)^{2}=\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),}$

с правой стороной, все еще положительной, так как η ₁  −  η ₃  ≥  η ₁  −  η ₂ . Без потери общности можно предположить, что ψ ( ξ ) является монотонной функцией, так как f ( η ) не имеет нулей в интервале η ₂  <  η  <  η ₁ . Таким образом, приведенное выше обыкновенное дифференциальное уравнение также может быть решено в терминах ξ ( ψ ), являющихся функцией ψ : ^[7]

${\displaystyle {\frac {1}{\Delta }}\,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}=\pm \,{\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\,\psi }}},}$

с:

${\displaystyle \Delta ^{2}={\frac {4}{3}}\,{\frac {1}{\eta _{1}-\eta _{3}}}}$  и  ${\displaystyle m={\frac {\eta _{1}-\eta _{2}}{\eta _{1}-\eta _{3}}},}$

где m — так называемый эллиптический параметр, ^{[19] [20],} удовлетворяющий 0  ≤  m  ≤ 1 (потому что η ₃  ≤  η ₂  ≤  η ₁ ). Если ξ  = 0 выбрано на гребне волны η (0) =  η ₁ интегрирование дает ^[7]

где F ( ψ | m ) — неполный эллиптический интеграл первого рода . Эллиптические функции Якоби cn и sn являются обратными функциями F ( ψ | m ), заданными как

${\displaystyle \cos \,\psi =\operatorname {cn} \left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)}$  и  ${\displaystyle \sin \,\psi =\operatorname {sn} \left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).}$

С использованием уравнения ( C ) находится результирующее кноидально-волновое решение уравнения КдФ ^[7]

${\displaystyle \eta (\xi )=\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).}$

Осталось определить параметры: η ₁ , η ₂ , Δ и m .

Соотношения между параметрами кноидальной волны

Во-первых, поскольку η ₁ — это высота гребня, а η ₂ — высота подошвы, удобно ввести высоту волны , определяемую как H  =  η ₁  −  η _2. Следовательно, для m и для Δ находим :

${\displaystyle m={\frac {H}{\eta _{1}-\eta _{3}}}}$  и так  ${\displaystyle {\frac {\Delta ^{2}}{m}}={\frac {4}{3\,H}}}$    ${\displaystyle \Delta ={\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m}{H}}}}.}$

Решение кноидальной волны можно записать как:

${\displaystyle \eta (\xi )=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).}$

Во-вторых, впадина расположена при ψ  =  ⁠1/2⁠  π , поэтому расстояние между ξ  = 0 и ξ  =  ⁠1/2⁠  λ , где λ — длина волны , из уравнения ( D ):

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,\lambda =\Delta \,F\left({\begin{array}{c|c}{\tfrac {1}{2}}\,\pi &m\end{array}}\right)=\Delta \,K(m),}$  давая  ${\displaystyle \lambda =2\,\Delta \,K(m)={\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m}{H}}}}\;K(m),}$

где K ( m ) — полный эллиптический интеграл первого рода . В-третьих, поскольку волна колеблется вокруг средней глубины воды, среднее значение η ( ξ ) должно быть равно нулю. Поэтому ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{0}^{\lambda }\eta (\xi )\;{\text{d}}\xi =2\,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\lambda }\left[\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\operatorname {cn} ^{2}\,\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\right]\;{\text{d}}\xi \\&=2\,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\Bigl [}\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\cos ^{2}\,\psi {\Bigr ]}\,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta _{1}-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta _{1}-m\,\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }\left[{\frac {\eta _{3}}{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}+\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}\right]\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta _{3}\,K(m)+\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,E(m){\Bigr ]}=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta _{3}\,K(m)+{\frac {H}{m}}\,E(m){\Bigr ]},\end{aligned}}}$

где E ( m ) — полный эллиптический интеграл второго рода . Получаются следующие выражения для η ₁ , η ₂ и η ₃ как функции эллиптического параметра m и высоты волны H : ^[7]

${\displaystyle \eta _{3}=-\,{\frac {H}{m}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}},}$   ${\displaystyle \eta _{1}={\frac {H}{m}}\,\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)}$  и  ${\displaystyle \eta _{2}={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right).}$

В-четвертых, из уравнений ( A ) и ( B ) можно установить связь между фазовой скоростью c и корнями η ₁ , η ₂ и η ₃ : ^[7]

${\displaystyle c=1+{\tfrac {1}{2}}\,\left(\eta _{1}+\eta _{2}+\eta _{3}\right)=1+{\frac {H}{m}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right).}$

Относительные изменения фазовой скорости показаны на рисунке ниже. Как можно видеть, для m  > 0,96 (то есть для 1 −  m  < 0,04) фазовая скорость увеличивается с ростом высоты волны H . Это соответствует более длинным и нелинейным волнам. Нелинейное изменение фазовой скорости для фиксированного m пропорционально высоте волны H . Обратите внимание, что фазовая скорость c связана с длиной волны λ и периодом τ следующим образом:

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{\tau }}.}$

Резюме решения

Все величины здесь будут даны в их размерных формах, как это было справедливо для поверхностных гравитационных волн до перехода к безразмерным значениям .

Относительное увеличение фазовой скорости решений кноидальной волны для уравнения Кортевега–де Фриза как функция 1− m , где m — эллиптический параметр.
Горизонтальная ось находится в логарифмическом масштабе , от 10−6 ^до 10 ⁰ =1.
Рисунок относится к безразмерным величинам, то есть фазовая скорость c сделана безразмерной с фазовой скоростью мелкой воды , а высота волны H сделана безразмерной с средней глубиной воды h . ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {gh}}}$

Кноидально-волновое решение уравнения КдФ: ^[7]

${\displaystyle \eta (x,t)=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {x-c\,t}{\Delta }}&m\end{array}}\right),}$

где H — высота волны — разница между высотой гребня и подошвы , η _{2 —} высота подошвы, m — эллиптический параметр, c — фазовая скорость и cn — одна из эллиптических функций Якоби . Уровень подошвы η ₂ и параметр ширины Δ можно выразить через H , h и m : ^[7]

${\displaystyle \eta _{2}={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right),}$  и  ${\displaystyle \Delta ={\frac {\lambda }{2\,K(m)}}\,=h\,{\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}},}$

где K ( m ) — полный эллиптический интеграл первого рода , а E ( m ) — полный эллиптический интеграл второго рода . Обратите внимание, что K ( m ) и E ( m ) здесь обозначены как функции эллиптического параметра m , а не как функции эллиптического модуля k , при ^этом m  =  k2 .

Длина волны λ , фазовая скорость c и период волны τ связаны с H , h и m соотношением: ^[7]

${\displaystyle \lambda =h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}}\;K(m),}$   ${\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]}$  и  ${\displaystyle \tau ={\frac {\lambda }{c}},}$

где g — сила тяжести Земли .

Чаще всего известными параметрами волны являются высота волны H , средняя глубина воды h , ускорение свободного падения g и либо длина волны λ , либо период τ . Затем указанные выше соотношения для λ , c и τ используются для нахождения эллиптического параметра m . Это требует численного решения некоторым итеративным методом . ^[3]

Уравнение Бенджамина–Бона–Махони

Уравнение Бенджамина–Бона–Махони (уравнение BBM) или регуляризованное уравнение длинных волн (RLW) в размерной форме задается следующим образом: ^[21]

${\displaystyle \partial _{t}\eta +{\sqrt {g\,h}}\,\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\,\eta \,\partial _{x}\eta -{\tfrac {1}{6}}\,h^{2}\,\partial _{t}\,\partial _{x}^{2}\eta =0.}$

Все величины имеют то же значение, что и для уравнения КдФ. Уравнение ББМ часто предпочитают уравнению КдФ, поскольку оно имеет лучшее поведение на коротких волнах. ^[21]

  Подробности вывода

Вывод

Вывод аналогичен выводу для уравнения КдВ. ^[22] Безразмерное уравнение ББМ, безразмерное с использованием средней глубины воды h и ускорения свободного падения g : ^[21]

${\displaystyle \partial _{t}\eta +\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,\eta \,\partial _{x}\eta -{\tfrac {1}{6}}\,\partial _{t}\,\partial _{x}^{2}\eta =0.}$

Это можно привести к стандартной форме

${\displaystyle \partial _{\hat {t}}\varphi +\partial _{\hat {x}}\varphi +\varphi \,\partial _{\hat {x}}\varphi -\partial _{\hat {t}}\,\partial _{\hat {x}}^{2}\varphi =0\,}$

через преобразование:

${\displaystyle {\hat {t}}={\sqrt {6}}\,t,}$   ${\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {6}}\,x}$  и  ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {3}{2}}\,\eta ,}$

но эта стандартная форма здесь использоваться не будет.

Аналогично выводу решения кноидальной волны для уравнения КдФ рассматриваются периодические волновые решения η ( ξ ), при ξ  =  x − ct. Тогда уравнение BBM становится обыкновенным дифференциальным уравнением третьего порядка, которое можно проинтегрировать дважды, чтобы получить:

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\,c\,\left(\eta '\right)^{2}=f(\eta )\,}$  с  ${\displaystyle f(\eta )=-\eta ^{3}+2\,\left(c-1\right)\,\eta ^{2}+r\,\eta +s.\,}$

Которое отличается от уравнения для уравнения КдВ только множителем c перед ( η ′ ) ² в левой части. С помощью преобразования координат β  =  ξ  /  множитель c может быть удален, что приводит к одному и тому же обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка для обоих уравнений — КдВ и ББМ. Однако здесь используется форма, заданная в предыдущем уравнении. Это приводит к другой формулировке для Δ , которая найдена для уравнения КдВ: ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {c}}}$

${\displaystyle \Delta ={\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m\,c}{H}}}}.}$

Соотношение длины волны λ , как функции H и m , зависит от этого изменения ${\displaystyle \Delta :}$

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {m\,c}{H}}}}\;K(m).}$

В остальном вывод аналогичен выводу для уравнения КдФ и не будет здесь повторяться.

Резюме

Результаты представлены в размерной форме для волн на воде в слое жидкости глубиной h .

Решение кноидальной волны уравнения BBM вместе с соответствующими соотношениями для параметров имеет вид: ^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)&=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {x-c\,t}{\Delta }}&m\end{array}}\right),\\\eta _{2}&={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right),\\\Delta &=h\,{\sqrt {{\frac {4}{3}}\,{\frac {m\,h}{H}}\,{\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}}}&&={\frac {\lambda }{2\,K(m)}},\\\lambda &=h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {m\,h}{H}}\,{\frac {c}{\sqrt {gh}}}}}\;K(m),\\c&={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]&&{\text{and}}\\\tau &={\frac {\lambda }{c}}.\end{aligned}}}$

Единственное отличие от решения уравнения КдФ с помощью кноидальной волны заключается в уравнении для длины волны λ . ^[22] Для практических приложений обычно указываются глубина воды h , высота волны H , ускорение свободного падения g и либо длина волны λ , либо — чаще всего — период (физика) τ . Затем эллиптический параметр m должен быть определен из приведенных выше соотношений для λ , c и τ с помощью некоторого итерационного метода . ^[3]

Пример

Соотношения параметров для решений кноидальных волн уравнения Кортевега–де Фриза. Показано −log ₁₀  (1− m ), где m — эллиптический параметр полных эллиптических интегралов [ ^20] как функция безразмерного периода τ  √ g / h и относительной высоты волны H  /  h . Значения вдоль контурных линий равны −log ₁₀  (1− m ), поэтому значение 1 соответствует m  = 1 − 10 ⁻¹  = 0,9 , а значение 40 — m  = 1 − 10 ⁻⁴⁰ .

В данном примере рассматривается кноидальная волна согласно уравнению Кортевега–де Фриза (КдВ). Приведены следующие параметры волны:

• средняя глубина воды h = 5 м (16 футов),
• высота волны H = 3 м (9,8 фута),
• Период волны τ = 7 с , а
• ускорение свободного падения g = 9,81 м/с ² (32 фута/с ² ).

Вместо периода τ в других случаях может встречаться длина волны λ как заранее известная величина.

Сначала вычисляется безразмерный период:

${\displaystyle \tau \,{\sqrt {\frac {g}{h}}}=9.80,}$

что больше семи, поэтому достаточно долго для того, чтобы кноидальная теория была верна. Главным неизвестным является эллиптический параметр m . Он должен быть определен таким образом, чтобы период волны τ , вычисленный из кноидальной волновой теории для уравнения КдФ:

${\displaystyle \lambda =h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}}\;K(m),}$   ${\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]}$  и  ${\displaystyle \tau ={\frac {\lambda }{c}},}$

согласуется с заданным значением τ ; здесь λ - длина волны, а c - фазовая скорость волны. Далее, K ( m ) и E ( m ) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно. Поиск эллиптического параметра m можно выполнить методом проб и ошибок или с помощью численного алгоритма поиска корня . В этом случае, начиная с начального предположения m _init  = 0,99, методом проб и ошибок ответ

${\displaystyle m=0.9832\,}$

найдено. В ходе процесса вычисляются длина волны λ и фазовая скорость c :

• длина волны λ = 50,8 м (167 футов), и
• фазовая скорость c = 7,26 м/с (23,8 фут/с).

Фазовую скорость c можно сравнить с ее значением согласно уравнениям мелкой воды : ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {gh}}}$

${\displaystyle {\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}=1.0376,}$

показывая увеличение на 3,8% за счет эффекта нелинейной амплитудной дисперсии , которая в данном случае выигрывает от снижения фазовой скорости за счет частотной дисперсии.

Теперь, когда длина волны известна, можно вычислить и число Урселла :

${\displaystyle U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}=62,}$

что не мало, поэтому линейная волновая теория неприменима, но кноидальная волновая теория применима. Наконец, отношение длины волны к глубине равно λ  /  h  = 10,2 > 7, что снова указывает на то, что эта волна достаточно длинная, чтобы ее можно было считать кноидальной.

Предел одиночной волны

Для очень длинных нелинейных волн, при параметре m, близком к единице, m  → 1, эллиптическую функцию Якоби cn можно аппроксимировать выражением ^[23]

${\displaystyle \operatorname {cn} \left(z|m\right)\approx \operatorname {sech} (z)-{\tfrac {1}{4}}\,(1-m)\,{\Bigl [}\sinh(z)\;\cosh(z)-z{\Bigr ]}\,\tanh(z)\;\operatorname {sech} (z),}$  с  ${\displaystyle \operatorname {sech} (z)={\frac {1}{\cosh(z)}}.}$

Здесь sinh, cosh, tanh и sech — гиперболические функции . В пределе m  = 1:

${\displaystyle \operatorname {cn} \left(z|m\right)\to \operatorname {sech} (z),}$

с sech( z ) = 1 / cosh( z ).

Далее, для того же предела m  → 1 полный эллиптический интеграл первого рода K ( m ) стремится к бесконечности, тогда как полный эллиптический интеграл второго рода E ( m ) стремится к единице. ^[24] Это означает, что предельные значения фазовой скорости c и минимального выравнивания η ₂ становятся: ^[25]

${\displaystyle c={\sqrt {g\,h}}\,\left(1+{\frac {1}{2}}\,{\frac {H}{h}}\right)}$  и  ${\displaystyle \eta _{2}=0.\,}$

Следовательно, с точки зрения параметра ширины Δ , решение уединенной волны для уравнений КдВ и ББМ имеет вид: ^[25]

${\displaystyle \eta (x,t)=H\,\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x-c\,t}{\Delta }}\right).}$

Параметр ширины, найденный для кноидальных волн и теперь в пределе m  → 1, отличается для уравнений КдВ и ББМ: ^[25]

Но фазовая скорость уединенной волны в обоих уравнениях одинакова для определенной комбинации высоты H и глубины h .

Предел высоты бесконечно малой волны

Для бесконечно малой высоты волны результаты теории кноидальных волн, как ожидается, будут сходиться к результатам теории волн Эйри для предела длинных волн λ  ≫  h . Сначала будет рассмотрена высота поверхности, а затем фазовая скорость кноидальных волн для бесконечно малой высоты волны.

Высота поверхности

  Подробности вывода

Эллиптическая функция Якоби cn может быть разложена в ряд Фурье ^[26]

${\displaystyle \operatorname {cn} (z|m)={\frac {\pi }{{\sqrt {m}}\,K(m)}}\,\sum _{n=0}^{\infty }\,\operatorname {sech} \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)\;\cos \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,z}{2\,K(m)}}\right).}$

K ′ ( m ) известен как мнимая четверть периода, в то время как K ( m ) также называется действительной четвертью периода эллиптической функции Якоби. Они связаны через: K ′ ( m ) =  K (1− m ) ^[27]

Поскольку интерес здесь представляет малая высота волны, соответствующая малому параметру m  ≪ 1, удобно рассмотреть ряд Маклорена для соответствующих параметров, начав с полных эллиптических интегралов K и E : ^{[28] [29]}

${\displaystyle {\begin{aligned}K(m)&={\frac {\pi }{2}}\,\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\,m+\left({\frac {1\,\cdot \,3}{2\,\cdot \,4}}\right)^{2}\,m^{2}+\left({\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5}{2\,\cdot \,4\,\cdot \,6}}\right)^{2}\,m^{3}+\cdots \right],\\E(m)&={\frac {\pi }{2}}\,\left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\,{\frac {m}{1}}-\left({\frac {1\,\cdot \,3}{2\,\cdot \,4}}\right)^{2}\,{\frac {m^{2}}{3}}-\left({\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5}{2\,\cdot \,4\,\cdot \,6}}\right)^{2}\,{\frac {m^{3}}{5}}-\cdots \right].\end{aligned}}}$

Тогда гиперболические косинусные члены, появляющиеся в ряде Фурье, можно разложить для малых m  ≪ 1 следующим образом: ^[26]

${\displaystyle \operatorname {sech} \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)=2\,{\frac {q^{n+{\tfrac {1}{2}}}}{1+q^{2n+1}}}}$  с номом q, заданным как  ${\displaystyle q=\exp \left(-\pi \,{\frac {K'(m)}{K(m)}}\right).}$

Ном q имеет следующее поведение для малых m : ^[30]

${\displaystyle q={\frac {m}{16}}+8\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{2}+84\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{3}+992\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{4}+\cdots .}$

Следовательно, амплитуды первых членов ряда Фурье равны:

Итак, при m  ≪ 1 эллиптическая функция Якоби имеет первые члены ряда Фурье:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} \,(z|m)&={\Bigl (}1-{\tfrac {1}{16}}\,m-{\tfrac {9}{16}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,2\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{256}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,3\,\alpha \,z\;+\;\cdots ,\end{aligned}}}$  с  ${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {\pi }{2\,K(m)}}.}$

И его квадрат равен

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} ^{2}\,(z|m)&={\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{16}}\,m-{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,2\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,4\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,6\,\alpha \,z\;+\;\cdots .\end{aligned}}}$

Свободная поверхность η ( x , t ) кноидальной волны будет выражена в ее ряде Фурье для малых значений эллиптического параметра m . Во-первых, отметим, что аргумент функции cn равен ξ / Δ , и что длина волны λ  = 2  Δ  K ( m ), поэтому:

${\displaystyle \theta \equiv {\frac {\pi \,\xi }{K(m)}}\,{\frac {\xi }{\Delta }}=2\,\pi \,{\frac {\xi }{\lambda }}.}$  

Далее, среднее возвышение свободной поверхности равно нулю. Следовательно, возвышение поверхности волн малой амплитуды равно

${\displaystyle \eta (x,t)=\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,\theta \;+\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,2\theta \;+\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,3\theta \;+\;\cdots .}$

Также длину волны λ можно разложить в ряд Маклорена по эллиптическому параметру m , по-разному для уравнений КдВ и ББМ, но для данной цели это не обязательно.

Для бесконечно малой высоты волны, в пределе m  → 0, возвышение свободной поверхности становится равным:

${\displaystyle \eta (x,t)={\tfrac {1}{2}}\,H\,\cos \,\theta ,}$  с  ${\displaystyle \theta =2\,\pi \,{\frac {\xi }{\lambda }}=2\,\pi \ {\frac {x-c\,t}{\lambda }}.}$

Итак, амплитуда волны равна ⁠1/2⁠ H , половина высоты волны . Это та же форма, которая изучается в теории волн Эйри , но следует отметить, что теория кноидальных волн верна только для длинных волн, длина которых намного больше средней глубины воды.

Фазовая скорость

  Подробности вывода

Фазовая скорость кноидальной волны, как для уравнения КдВ, так и для уравнения ББМ, определяется по формуле: ^{[7] [22]}

${\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right].}$

В этой формулировке фазовая скорость является функцией высоты волны H и параметра m . Однако для определения распространения волн бесконечно малой высоты необходимо определить поведение фазовой скорости при постоянной длине волны λ в пределе, когда параметр m стремится к нулю. Это можно сделать, используя уравнение для длины волны, которое отличается для уравнений КдВ и ББМ: ^{[7] [22]}

Вводим относительное волновое число κh :

${\displaystyle \kappa \,h={\frac {2\,\pi }{\lambda }}\,h,}$

и используя приведенные выше уравнения для фазовой скорости и длины волны, коэффициент H  /  m в фазовой скорости можно заменить на κh и m . Результирующие фазовые скорости:

Предельное поведение для малых m можно проанализировать с помощью ряда Маклорена для K ( m ) и E ( m ), ^[28], что приводит к следующему выражению для общего множителя в обеих формулах для c :

${\displaystyle \gamma ={\frac {4}{3\,\pi ^{2}}}\,K^{2}(m)\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-\,{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)=-{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{64}}\,m^{2}+{\tfrac {1}{64}}\,m^{3}+\cdots ,}$

поэтому в пределе m  → 0, фактор γ  → − ⁠1/6⁠ . Непосредственно получается предельное значение фазовой скорости при m  ≪ 1.

Фазовые скорости для бесконечно малой высоты волны, согласно теориям кноидальных волн для уравнения КдВ и уравнения ББМ, равны ^[32]

с κ  = 2 π  /  λ волновым числом и κh относительным волновым числом. Эти фазовые скорости полностью согласуются с результатом, полученным путем прямого поиска синусоидальных решений линеаризованных уравнений КдФ и ББМ. Как видно из этих уравнений, линеаризованное уравнение ББМ имеет положительную фазовую скорость для всех κh . С другой стороны, фазовая скорость линеаризованного уравнения КдФ меняет знак для коротких волн при κh  >  . Это противоречит выводу уравнения КдФ как одностороннего волнового уравнения. ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {6}}}$

Прямой вывод из полных уравнений невязкого течения

Волнистый рог и детеныши около устья реки Арагуари на северо-востоке Бразилии. Вид наклонный к устью с самолета на высоте около 100 футов (30 м). ^[33]

Кноидальные волны могут быть получены непосредственно из уравнений невязкого , безвихревого и несжимаемого потока и выражены в терминах трех инвариантов потока, как показано Бенджамином и Лайтхиллом (1954) в их исследовании волновых отверстий . В системе отсчета, движущейся с фазовой скоростью , в которой поток становится стационарным , решения кноидальных волн могут быть напрямую связаны с потоком массы , потоком импульса и энергетическим напором потока. Следуя Бенджамину и Лайтхиллу (1954) — используя описание функции потока этого несжимаемого потока — горизонтальные и вертикальные компоненты скорости потока являются пространственными производными функции потока Ψ ( ξ , z ): + ∂ _z Ψ и − ∂ _ξ Ψ , в направлении ξ и z соответственно ( ξ  =  x − ct ). Вертикальная координата z положительна в направлении вверх, противоположном направлению гравитационного ускорения, а нулевой уровень z находится на непроницаемой нижней границе области жидкости. В то время как свободная поверхность находится при z  =  ζ ( ξ ); обратите внимание, что ζ — это локальная глубина воды, связанная с высотой поверхности η ( ξ ) как ζ  =  h  +  η, где h — средняя глубина воды.

В этом стационарном потоке расход Q через каждое вертикальное поперечное сечение является константой, независимой от ξ , и из-за горизонтального слоя также сохраняется горизонтальный поток импульса S , деленный на плотность ρ , через каждое вертикальное поперечное сечение. Кроме того, для этого невязкого и безвихревого потока может быть применен принцип Бернулли , и он имеет одинаковую постоянную Бернулли R во всей области потока. Они определяются как: ^[34]

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=\int _{0}^{\zeta (\xi )}\partial _{z}\Psi \;{\text{d}}z,\\R&={\frac {p}{\rho }}+{\tfrac {1}{2}}\,{\Bigl [}\left(\partial _{\xi }\Psi \right)^{2}+\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}{\Bigr ]}+g\,z\qquad {\text{and}}\\S&=\int _{0}^{\zeta (\xi )}\left[{\frac {p}{\rho }}+\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}\right]\;{\text{d}}z.\end{aligned}}}$

Для достаточно длинных волн, предполагая, что глубина воды ζ мала по сравнению с длиной волны λ , получается следующее соотношение между глубиной воды ζ ( ξ ) и тремя инвариантами Q , R и S : ^[34]

Это нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет решения в виде кноидальных волн.

Для очень длинных волн бесконечно малой амплитуды в жидкости глубиной h и с равномерной скоростью потока v константы потока определяются согласно уравнениям мелкой воды : ^[34]

${\displaystyle Q_{0}=v\,h,}$   ${\displaystyle R_{0}={\tfrac {1}{2}}\,v^{2}+g\,h}$  и  ${\displaystyle S_{0}=v^{2}\,h+{\tfrac {1}{2}}\,g\,h^{2}.}$

Уравнение ( E ) можно привести к безразмерной форме, используя разряд Q и ускорение свободного падения g , а также определив критическую глубину h _c :

${\displaystyle h_{c}={\sqrt[{3}]{\frac {Q^{2}}{g}}},}$

связанное с критическим разделением потока между докритическим потоком и сверхкритическим потоком (см. также число Фруда ). Следовательно, безразмерная форма уравнения имеет вид

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\,\left({\tilde {\zeta }}'\right)^{2}\approx -\zeta ^{3}+2\,{\tilde {R}}\,{\tilde {\zeta }}^{2}-2\,{\tilde {S}}\,{\tilde {\zeta }}+1,}$

с

${\displaystyle {\tilde {\zeta }}={\frac {\zeta }{h_{c}}},}$   ${\displaystyle {\tilde {\xi }}={\frac {\xi }{h_{c}}},}$   ${\displaystyle {\tilde {R}}={\frac {R}{g\,h_{c}}},}$  и  ${\displaystyle {\tilde {S}}={\frac {S}{g\,h_{c}^{2}}}.}$

Вывод

Сначала исключим давление p из потока импульса S, используя уравнение Бернулли:

${\displaystyle S=R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+\int _{0}^{\zeta }{\tfrac {1}{2}}\left[\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}-\left(\partial _{\xi }\Psi \right)^{2}\right]\;{\text{d}}z.}$

Функция потока Ψ разлагается в ряд Маклорена вокруг слоя при z  = 0, и с использованием того, что непроницаемый слой является линией тока, а также безвихревости потока: Ψ  = 0 и ∂ _z ² Ψ  = 0 при z  = 0: ^[34]

${\displaystyle \Psi =z\,u_{b}(\xi )-{\frac {z^{3}}{3!}}\,u_{b}''(\xi )+{\frac {z^{5}}{5!}}\,u_{b}^{\text{iv}}(\xi )+\cdots ,}$

где u _{b —} горизонтальная скорость на дне z  = 0. Поскольку волны длинные, h  ≫  λ , в приближениях к Q и ​​S сохраняются только члены до z ³ и ζ ^3. Поток импульса S тогда становится: ^[34]

${\displaystyle S=R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,\zeta \,u_{b}^{2}-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,u_{b}\,u_{b}''-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,\left(u_{b}'\right)^{2}+\cdots .}$

Расход Q становится равным, поскольку он является значением функции тока Ψ на свободной поверхности z  =  ζ :

${\displaystyle Q=\zeta \,u_{b}(\xi )-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,u_{b}''{\xi }+\cdots .}$

Как можно видеть, расход Q есть величина O( ζ ). Из этого видно, что скорость слоя равна ^[34]

${\displaystyle u_{b}={\frac {Q}{\zeta }}+{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{2}\,u_{b}''+\cdots .}$

Обратите внимание, что Q  /  ζ — величина порядка один. Это соотношение будет использовано для замены скорости слоя u _b на Q и ζ в потоке импульса S . Из него можно вывести следующие термины:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{b}^{2}&={\frac {Q^{2}}{\zeta ^{2}}}+{\tfrac {1}{3}}\,\zeta \,Q\,u_{b}''+\cdots ,\\u_{b}'&=-{\frac {Q}{\zeta }}\,\zeta '+{\tfrac {1}{3}}\,\zeta \,\zeta '\,u_{b}''+{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{2}\,u_{b}'''+\cdots \qquad {\text{and}}\\\left(u_{b}'\right)^{2}&={\frac {Q^{2}}{\zeta ^{4}}}\,\left(\zeta '\right)^{2}-{\tfrac {2}{3}}\,{\frac {Q}{\zeta }}\,\zeta '\,u_{b}''+\cdots .\end{aligned}}}$

Следовательно, поток импульса S становится, снова сохраняя только члены, пропорциональные ζ ³ : ^[34]

${\displaystyle S\approx R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {Q^{2}}{\zeta }}-{\tfrac {1}{6}}\,{\frac {Q^{2}}{\zeta }}\,\left(\zeta '\right)^{2}.}$

Которое можно напрямую переписать в виде уравнения ( E ).

Потенциальная энергия

Плотность потенциальной энергии

${\displaystyle E_{\text{pot}}={\frac {1}{\lambda }}\,\int _{0}^{\lambda }{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2}(x,t)\;{\text{d}}x}$

где ρ — плотность жидкости , является одним из бесконечного числа инвариантов уравнения КдВ. ^[35] Это можно увидеть, умножив уравнение КдВ на возвышение поверхности η ( x , t ); после многократного использования цепного правила результат будет следующим:

${\displaystyle \partial _{t}\left({\tfrac {1}{2}}\,\eta ^{2}\right)+\partial _{x}\left\{{\tfrac {1}{2}}\,{\sqrt {g\,h}}\,\eta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\,\eta ^{3}+{\tfrac {1}{12}}\,h^{2}{\sqrt {g\,h}}\,\left[\partial _{x}^{2}\left(\eta ^{2}\right)-3\left(\partial _{x}\eta \right)^{2}\right]\right\}=0,}$

которая находится в форме сохранения и является инвариантом после интегрирования по интервалу периодичности — длине волны кноидальной волны. Потенциальная энергия не является инвариантом уравнения BBM, но ⁠1/2⁠ ρg  [ η ²  +  ⁠1/6⁠  h ²  ( ∂ _x  η ) ² ] есть. ^[36]

Сначала вычисляется дисперсия высоты поверхности в кноидальной волне. Обратите внимание, что η ₂  = −(1/ λ )  ₀ ∫ ^λ  H  cn ² ( ξ / Δ |m) d x , cn ( ξ / Δ |m) = cos  ψ ( ξ ) и λ  = 2  Δ  K ( m ) , поэтому ^[37]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\lambda }}\,\int _{0}^{\lambda }\eta ^{2}\;{\text{d}}x&={\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\left\{\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\right\}^{2}\;{\text{d}}\xi ={\frac {H^{2}}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\operatorname {cn} ^{4}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\;{\text{d}}\xi -\eta _{2}^{2}\\&={\frac {\Delta \,H^{2}}{\lambda }}\int _{0}^{\pi }\cos ^{4}\,\psi \,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}\;{\text{d}}\psi -\eta _{2}^{2}={\frac {H^{2}}{2\,K(m)}}\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos ^{4}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi -\eta _{2}^{2}\\&={\frac {1}{3}}\,{\frac {H^{2}}{m^{2}}}\,\left[\left(2-5\,m+3\,m^{2}\right)+\left(4\,m-2\right)\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right]-{\frac {H^{2}}{m^{2}}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

Потенциальная энергия, как для уравнения КдВ, так и для уравнения ББМ, впоследствии оказывается равной ^[37]

${\displaystyle E_{\text{pot}}={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,g\,H^{2}\,\left[-{\frac {1}{3\,m}}+{\frac {2}{3\,m}}\,\left(1+{\frac {1}{m}}\right)\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)-{\frac {1}{m^{2}}}\,\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)^{2}\right].}$

Предел бесконечно малой высоты волны ( m  → 0) потенциальной энергии равен E _pot  =  ⁠1/16⁠  ρ  g  H ² , что согласуется с теорией волн Эйри . ^[37] Высота волны в два раза больше амплитуды, H  = 2 a , в пределе бесконечно малой волны.

Смотрите также

• Солитон
• Волны и мелководье

Примечания и ссылки

Примечания

1. Незлин, М.В. (1993), Физика интенсивных пучков в плазме , CRC Press, стр. 205, ISBN 978-0-7503-0186-2
2. Le Méhauté, B. (1976), Введение в гидродинамику и волны на воде , Springer, ISBN 978-0-387-07232-6
3. Dingemans (1997) стр. 718–721.
4. Дингеманс (1997), стр. 689–691.
5. de Jager, EM (2006). «О происхождении уравнения Кортевега–де Фриза». arXiv : math/0602661v1 .
6. Дразин, ПГ (1977), «Об устойчивости кноидальных волн», Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики , 30 (1): 91–105, doi :10.1093/qjmam/30.1.91
7. Dingemans (1997), стр. 708–715.
8. Юньфэн Сюй; Сяохэ Ся; Цзяньхуа Ван (2012), «Вычисление и аппроксимация кноидальной функции в теории кноидальных волн», Компьютеры и жидкости , 68 : 244–247, doi :10.1016/j.compfluid.2012.07.012
9. Благодаря способу нормализации параметр Урселла указывает на то, что линейная теория применима, когда U  ≪ 32  π ²  / 3 ≈ 100.
10. Соренсен, Р.М. (1993), Основы волновой механики: для инженеров по прибрежным и морским сооружениям , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-55165-2, стр. 61.
11. Фентон, Дж. Д. (1979), «Теория кноидальных волн высокого порядка», Журнал механики жидкости , 94 (1): 129–161, Bibcode : 1979JFM....94..129F, doi : 10.1017/S0022112079000975, S2CID  123177506
12. Фентон, Дж. Д. (1990), «Нелинейные волновые теории», в Le Méhauté, Б.; Хейнс, Д. М. (ред.), Ocean Engineering Science , The Sea, т. 9A, Wiley Interscience, стр. 3–25
13. Клэмонд, Д. (1999), «Устойчивые волны конечной амплитуды на горизонтальном дне моря произвольной глубины», Журнал механики жидкости , 398 (1): 45–60, Bibcode : 1999JFM...398...45C, doi : 10.1017/S0022112099006151, S2CID  58904651
14. Clamond, D. (2003), «Поверхностные волны кноидального типа в глубокой воде», Journal of Fluid Mechanics , 489 : 101–120, Bibcode : 2003JFM...489..101C, CiteSeerX 10.1.1.573.3434 , doi : 10.1017/S0022112003005111, S2CID  53631460 
15. Осборн, AR (1994), «Взаимодействие кноидальных волн на мелководье» (PDF) , Нелинейные процессы в геофизике , 1 (4): 241–251, Bibcode : 1994NPGeo...1..241O, doi : 10.5194/npg-1-241-1994
16. Ванден-Брёк, Ж.-М.; Шен, MC (1983), «Заметки об уединенных и кноидальных волнах с поверхностным натяжением», Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik , 34 (1): 112–117, Бибкод : 1983ZaMP...34..112V, doi : 10.1007 /BF00962619, S2CID  119997409
17. Дингеманс (1997), стр. 692–693.
18. Dingemans (1997) стр. 701.
19. Абрамовиц и Стиган (1965) стр. 590.
20. Эллиптический параметр m отличается от эллиптического модуля k : m  =  k ² . См. Abramowitz & Stegun (1965) стр. 590.
21. Dingemans (1997) стр. 694–696.
22. Dingemans (1997) с. 715.
23. Абрамовиц и Стиган (1965) Уравнение 16.15.2, стр. 574.
24. Абрамовиц и Стиган (1965) Рисунки 17.1 и 17.2, стр. 592.
25. Dingemans (1997) стр. 702–704.
26. Abramowitz & Stegun (1965) уравнение. 16.23.2, с. 575.
27. Абрамовиц и Стиган (1965) Уравнение 17.3.5, стр. 590.
28. Dingemans (1997) стр. 784.
29. Абрамовиц и Стегун (1965) Ур. 17.3.9 и 17.3.10, с. 591.
30. Абрамовиц и Стиган (1965) 17.3.21, стр. 591.
31. Абрамовиц и Стиган (1965) Уравнение 16.13.2, стр. 573.
32. Дингеманс (1997) стр. 695
33. Рисунок 5 в: Сьюзен Барч-Винклер; Дэвид К. Линч (1988), Каталог мировых случаев возникновения и характеристик приливных волн (Циркуляр 1022) , Геологическая служба США.
34. Бенджамин и Лайтхилл (1954)
35. Дингеманс (1997), стр. 730–733.
36. Бенджамин, Бона и Махони (1972)
37. Dingemans (1997) стр. 791–794.

Ссылки

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 16. Эллиптические функции Якоби и тета-функции". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия "Прикладная математика". Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 567, 587. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253. См. также главу 17. Эллиптические интегралы.
• Benjamin, TB ; Bona, JL ; Mahony, JJ (1972), "Model Equations for Long Waves in Nonlinear Dispersive Systems", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Серия A, Математические и физические науки , 272 (1220): 47–78, Bibcode :1972RSPTA.272...47B, doi :10.1098/rsta.1972.0032, JSTOR  74079, S2CID  120673596
• Дингеманс, М. В. (1997), Распространение волн над неровным дном, Расширенная серия по океанической инженерии 13 , World Scientific, Сингапур, ISBN 978-981-02-0427-3, заархивировано из оригинала 2012-02-08 , извлечено 2009-04-18 См. Часть 2, Главу 6 .
• Кортевег, DJ ; де Вриз, Г. (1895), «Об изменении формы длинных волн, распространяющихся в прямоугольном канале, и о новом типе длинных стоячих волн», Philosophical Magazine , 39 (240): 422–443, doi :10.1080/14786449508620739

Дальнейшее чтение

• Benjamin, TB ; Lighthill, MJ (1954), "О кноидальных волнах и бурах", Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки , 224 (1159): 448–460, Bibcode :1954RSPSA.224..448B, doi :10.1098/rspa.1954.0172, S2CID  119869484
• де Ягер, Э. М. (2006). «О происхождении уравнения Кортевега–де Фриза». arXiv : math/0602661v1 .
• Дразин, ПГ ; Джонсон, Р.С. (1996), Солитоны: введение , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33655-0
• Фентон, Дж. Д. (1979), «Теория кноидальных волн высокого порядка», Журнал механики жидкости , 94 (1): 129–161, Bibcode : 1979JFM....94..129F, doi : 10.1017/S0022112079000975, S2CID  123177506
• Keulegan, GH; Patterson, GW (1940), "Математическая теория безвихревых трансляционных волн", Журнал исследований Национального бюро стандартов , 24 (январь): 47–101, doi : 10.6028/jres.024.027
• Майлз, Дж. В. (1981), «Уравнение Кортевега–де Фриза: исторический очерк», Журнал механики жидкости , 106 : 131–147, Bibcode : 1981JFM...106..131M, doi : 10.1017/S0022112081001559, S2CID  122811526
• Wehausen, JV ; Laitone, EV (1960), "Поверхностные волны", в Flügge, S. ; Truesdell, C. (ред.), Encyclopedia of Physics, т. IX, Springer Verlag, стр. 446–778, архивировано из оригинала 2009-01-05 , извлечено 2009-04-18, см. стр. 702–714 для кноидальных волн
• Вигель, Р. Л. (1960), «Презентация теории кноидальных волн для практического применения», Журнал механики жидкости , 7 (2): 273–286, Bibcode : 1960JFM.....7..273W, doi : 10.1017/S0022112060001481, S2CID  30587200