ковариант Фробениуса

В теории матриц коварианты Фробениуса квадратной матрицы A являются ее специальными многочленами, а именно проекционными матрицами A _{i ,} связанными с собственными значениями и собственными векторами матрицы A . ^{[1] : с.403, 437–8} Они названы в честь математика Фердинанда Фробениуса .

Каждый ковариант является проекцией на собственное пространство, связанное с собственным значением λ _i . Коварианты Фробениуса являются коэффициентами формулы Сильвестра , которая выражает функцию матрицы f ( A ) как матричный полином, а именно линейную комбинацию значений этой функции на собственных значениях A .

Формальное определение

Пусть A — диагонализируемая матрица с собственными значениями λ ₁ , ..., λ _k .

Ковариант Фробениуса A _i , для i = 1,..., k , — это матрица

${\displaystyle A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}(A-\lambda _{j}I)~.}$

По сути, это многочлен Лагранжа с матричным аргументом. Если собственное значение λ _i простое, то как идемпотентная матрица проекции на одномерное подпространство, A _i имеет единичный след .

Вычисление ковариантов

Фердинанд Георг Фробениус (1849–1917), немецкий математик. Его основными интересами были дифференциальные уравнения эллиптических функций , а позднее теория групп .

Коварианты Фробениуса матрицы A могут быть получены из любого собственного разложения A = SDS ⁻¹ , где S невырожденная, а D диагональная с D _{i , i} = λ _i . Если A не имеет кратных собственных значений, то пусть c _i будет i- м правым собственным вектором A , то есть i -м столбцом S ; и пусть r _i будет i - м левым собственным вектором A , то есть i -й строкой S ⁻¹ . Тогда A _i = c _i r _i .

Если A имеет собственное значение λ _{i ,} встречающееся несколько раз, то A _i = Σ _j c _j r _j , где сумма берется по всем строкам и столбцам, связанным с собственным значением λ _i . ^{[1] : стр.521}

Пример

Рассмотрим матрицу два на два:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.}$

Эта матрица имеет два собственных значения: 5 и −2; следовательно, ( A − 5)( A + 2) = 0 .

Соответствующее собственное разложение имеет вид

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\\4&-3\end{bmatrix}}.}$

Следовательно, коварианты Фробениуса, явно являющиеся проекциями, являются

${\displaystyle {\begin{array}{rl}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3/7&3/7\\4/7&4/7\end{bmatrix}}=A_{1}^{2}\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}1/7\\-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4/7&-3/7\\-4/7&3/7\end{bmatrix}}=A_{2}^{2}~,\end{array}}}$

с

${\displaystyle A_{1}A_{2}=0,\qquad A_{1}+A_{2}=I~.}$

Обратите внимание, что tr  A ₁ = tr  A ₂ = 1 , как и требуется.

Ссылки

1. Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (1991), Темы анализа матриц . Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-46713-1