Когомологии Александра–Спениера

Теория когомологий для топологических пространств

В математике , в частности в алгебраической топологии , когомологии Александера–Спениера — это теория когомологий для топологических пространств .

История

Он был введен Джеймсом У. Александером  (1935) для частного случая компактных метрических пространств и Эдвином Х. Спаниером  (1948) для всех топологических пространств на основе предложения Александра Д. Уоллеса .

Определение

Если X — топологическое пространство, а G — R- модуль , где R — кольцо с единицей, то существует коцепной комплекс C , p -й член которого является множеством всех функций из в G с дифференциалом , заданным формулой ${\displaystyle C^{p}}$ ${\displaystyle X^{p+1}}$ ${\displaystyle d\colon C^{p-1}\to C^{p}}$

${\displaystyle df(x_{0},\ldots ,x_{p})=\sum _{i}(-1)^{i}f(x_{0},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{p}).}$

Определенный коцепной комплекс не зависит от топологии . Фактически, если — непустое пространство, где — градуированный модуль, единственный нетривиальный модуль которого имеет степень 0. ^[1] ${\displaystyle C^{*}(X;G)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\simeq H^{*}(C^{*}(X;G))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Говорят, что элемент локально нулевой, если существует покрытие открытыми множествами такое, что обращается в нуль на любом -кортеже из , который лежит в некотором элементе из (т.е. обращается в нуль на ). Подмножество из , состоящее из локально нулевых функций, является подмодулем, обозначим через . является коцепным подкомплексом , поэтому мы определяем фактор-коцепной комплекс . Группы когомологий Александера–Спаньера определяются как группы когомологий . ${\displaystyle \varphi \in C^{p}(X)}$ ${\displaystyle \{U\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (p+1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U\}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle \bigcup _{U\in \{U\}}U^{p+1}}$ ${\displaystyle C^{p}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}^{p}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}^{*}(X)=\{C_{0}^{p}(X),d\}}$ ${\displaystyle C^{*}(X)}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X)=C^{*}(X)/C_{0}^{*}(X)}$ ${\displaystyle {\bar {H}}^{p}(X,G)}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X)}$

Индуцированный гомоморфизм

Для данной функции , которая не обязательно является непрерывной, существует индуцированное коцепное отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f^{\sharp }:C^{*}(Y;G)\to C^{*}(X;G)}$

определяется ${\displaystyle (f^{\sharp }\varphi )(x_{0},...,x_{p})=(\varphi f)(x_{0},...,x_{p}),\ \varphi \in C^{p}(Y);\ x_{0},...,x_{p}\in X}$

Если непрерывно, то существует индуцированное коцепное отображение ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f^{\sharp }:{\bar {C}}^{*}(Y;G)\to {\bar {C}}^{*}(X;G)}$

Модуль относительной когомологии

Если — подпространство и — отображение включения, то существует индуцированный эпиморфизм . Ядро — это коцепной подкомплекс , который обозначается как . Если обозначить подкомплекс функций, которые локально равны нулю на , то . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:A\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle i^{\sharp }:{\bar {C}}^{*}(X;G)\to {\bar {C}}^{*}(A;G)}$ ${\displaystyle i^{\sharp }}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X;G)}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X,A;G)}$ ${\displaystyle C^{*}(X,A)}$ ${\displaystyle C^{*}(X)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X,A)=C^{*}(X,A)/C_{0}^{*}(X)}$

Относительный модуль определяется как модуль когомологии . ${\displaystyle {\bar {H}}^{*}(X,A;G)}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X,A;G)}$

${\displaystyle {\bar {H}}^{q}(X,A;G)}$называется когомологическим модулем Александера степени с коэффициентами ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle G}$ , и этот модуль удовлетворяет всем аксиомам когомологии. Полученная теория когомологии называется когомологической теорией Александера (или Александера-Спанье)

Аксиомы теории когомологий

• (Аксиома размерности) Если — одноточечное пространство, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\simeq {\bar {H}}^{*}(X;G)}$
• (Аксиома точности) Если — топологическая пара с отображениями включения и , то существует точная последовательность ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle i:A\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle j:X\hookrightarrow (X,A)}$ $${\displaystyle \cdots \to {\bar {H}}^{q}(X,A;G)\xrightarrow {j^{*}} {\bar {H}}^{q}(X;G)\xrightarrow {i^{*}} {\bar {H}}^{q}(A;G)\xrightarrow {\delta ^{*}} {\bar {H}}^{q+1}(X,A;G)\to \cdots }$$
• (Аксиома вырезания) Для топологической пары , если — открытое подмножество такое, что , то . ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\bar {U}}\subset \operatorname {int} A}$ ${\displaystyle {\bar {C}}^{*}(X,A)\simeq {\bar {C}}^{*}(X-U,A-U)}$
• (Аксиома гомотопии) Если гомотопны, то ${\displaystyle f_{0},f_{1}:(X,A)\to (Y,B)}$ ${\displaystyle f_{0}^{*}=f_{1}^{*}:H^{*}(Y,B;G)\to H^{*}(X,A;G)}$

Когомологии Александра с компактными носителями

Подмножество называется коограниченным , если оно ограничено, т.е. его замыкание компактно. ${\displaystyle B\subset X}$ ${\displaystyle X-B}$

Подобно определению модуля когомологии Александера, можно определить модуль когомологии Александера с компактными носителями пары , добавив свойство, которое локально равно нулю на некотором коограниченном подмножестве . ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle \varphi \in C^{q}(X,A;G)}$ ${\displaystyle X}$

Формально можно определить следующим образом: для заданной топологической пары подмодуль состоит из таких , что локально равен нулю на некотором коограниченном подмножестве . ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle C_{c}^{q}(X,A;G)}$ ${\displaystyle C^{q}(X,A;G)}$ ${\displaystyle \varphi \in C^{q}(X,A;G)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X}$

Подобно модулю когомологии Александера, можно получить коцепной комплекс и коцепной комплекс . ${\displaystyle C_{c}^{*}(X,A;G)=\{C_{c}^{q}(X,A;G),\delta \}}$ ${\displaystyle {\bar {C}}_{c}^{*}(X,A;G)=C_{c}^{*}(X,A;G)/C_{0}^{*}(X;G)}$

Модуль когомологии, индуцированный из комплекса коцепи , называется когомологиями Александера с компактными носителями и обозначается . Индуцированный гомоморфизм этих когомологий определяется как теория когомологий Александера. ${\displaystyle {\bar {C}}_{c}^{*}}$ ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle {\bar {H}}_{c}^{*}(X,A;G)}$

Согласно этому определению, мы можем изменить гомотопическую аксиому для когомологий на правильную гомотопическую аксиому , если мы определим кограничный гомоморфизм только тогда, когда является замкнутым подмножеством. Аналогично, аксиому вырезания можно изменить на правильную аксиому вырезания, т.е. отображение вырезания является правильным отображением. ^[2] ${\displaystyle \delta ^{*}:{\bar {H}}_{c}^{q}(A;G)\to {\bar {H}}_{c}^{q+1}(X,A;G)}$ ${\displaystyle A\subset X}$

Свойство

Одним из важнейших свойств этого модуля когомологии Александера с компактным носителем является следующая теорема:

• Если — локально компактное хаусдорфово пространство и — одноточечная компактификация , то имеет место изоморфизм ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\bar {H}}_{c}^{q}(X;G)\simeq {\tilde {\bar {H}}}^{q}(X^{+};G).}$$

Пример

${\displaystyle {\bar {H}}_{c}^{q}(\mathbb {R} ^{n};G)\simeq {\begin{cases}0&q\neq n\\G&q=n\end{cases}}}$

как . Следовательно, если , и не имеют одного и того же собственного гомотопического типа . ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{+}\cong S^{n}}$ ${\displaystyle n\neq m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Связь с натянутостью

• Из того факта, что замкнутое подпространство паракомпактного хаусдорфова пространства является натянутым подпространством относительно теории когомологий Александера ^[3] и первого основного свойства натянутости , если где — паракомпактное хаусдорфово пространство, а и — замкнутые подпространства , то — натянутая пара в относительно теории когомологий Александера. ${\displaystyle B\subset A\subset X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle X}$

Используя это свойство натяжения, можно показать следующие два факта: ^[4]

• ( Свойство сильного вырезания ) Пусть и будут парами с и паракомпактными Хаусдорфовыми и и замкнутыми. Пусть будет замкнутым непрерывным отображением таким, что индуцирует взаимно однозначное отображение на . Тогда для всех и всех , ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle (Y,B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:(X,A)\to (Y,B)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X-A}$ ${\displaystyle Y-B}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle f^{*}:{\bar {H}}^{q}(Y,B;G)\xrightarrow {\sim } {\bar {H}}^{q}(X,A;G)}$$
• ( Свойство слабой непрерывности ) Пусть — семейство компактных хаусдорфовых пар в некотором пространстве, направленное вниз включением, и пусть . Отображения включения индуцируют изоморфизм ${\displaystyle \{(X_{\alpha },A_{\alpha })\}_{\alpha }}$ ${\textstyle (X,A)=(\bigcap X_{\alpha },\bigcap A_{\alpha })}$ ${\displaystyle i_{\alpha }:(X,A)\to (X_{\alpha },A_{\alpha })}$

  ${\displaystyle \{i_{\alpha }^{*}\}:\varinjlim {\bar {H}}^{q}(X_{\alpha },A_{\alpha };M)\xrightarrow {\sim } {\bar {H}}^{q}(X,A;M)}$.

Отличие от теории сингулярных когомологий

Напомним, что сингулярный когомологический модуль пространства является прямым произведением сингулярных когомологических модулей его компонент путей.

Непустое пространство связно тогда и только тогда, когда . Следовательно, для любого связного пространства, которое не является линейно связным , сингулярные когомологии и когомологии Александера отличаются в степени 0. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\simeq {\bar {H}}^{0}(X;G)}$

Если — открытое покрытие попарно непересекающимися множествами, то существует естественный изоморфизм . ^[5] В частности, если — совокупность компонент локально связного пространства , то существует естественный изоморфизм . ${\displaystyle \{U_{j}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle {\bar {H}}^{q}(X;G)\simeq \prod _{j}{\bar {H}}^{q}(U_{j};G)}$ ${\displaystyle \{C_{j}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle {\bar {H}}^{q}(X;G)\simeq \prod _{j}{\bar {H}}^{q}(C_{j};G)}$

Варианты

Также возможно определить гомологии Александра–Спаньера ^[6] и когомологии Александра–Спаньера с компактными носителями. (Bredon 1997)

Связь с другими когомологиями

Группы когомологий Александера–Спаньера совпадают с группами когомологий Чеха для компактных хаусдорфовых пространств и совпадают с сингулярными группами когомологий для локально конечных комплексов.

Ссылки

1. Спаниер, Эдвин Х. (1966). Алгебраическая топология . Springer. стр. 307. ISBN 978-0387944265.
2. Спаниер, Эдвин Х. (1966). Алгебраическая топология . Springer. стр. 320, 322. ISBN 978-0387944265.
3. Део, Сатья (197). «О свойстве натяжения когомологий Александра-Спеньера». Американское математическое общество . 52 : 441–442.
4. Спаниер, Эдвин Х. (1966). Алгебраическая топология . Springer. стр. 318. ISBN 978-0387944265.
5. Спаниер, Эдвин Х. (1966). Алгебраическая топология . Springer. стр. 310. ISBN 978-0387944265.
6. Мэсси 1978а.

Библиография

• Alexander, James W. (1935), «О цепях комплекса и их двойниках», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 21 (8), Национальная академия наук: 509–511, Bibcode : 1935PNAS...21..509A, doi : 10.1073/pnas.21.8.509 , ISSN  0027-8424, JSTOR  86360, PMC  1076641 , PMID  16577676
• Бредон, Глен Э. (1997), Теория пучков , Graduate Texts in Mathematics, т. 170 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0647-7, ISBN 978-0-387-94905-5, г-н  1481706
• Мэсси, Уильям С. (1978), «Как дать изложение теории гомологии типа Чеха-Александра-Спаньера», The American Mathematical Monthly , 85 (2): 75–83, doi :10.2307/2321782, ISSN  0002-9890, JSTOR  2321782, MR  0488017
• Massey, William S. (1978), Теория гомологии и когомологии. Подход, основанный на коцепях Александера-Спаньера. , Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, т. 46, Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., ISBN 978-0-8247-6662-7, МР  0488016
• Спаниер, Эдвин Х. (1948), «Теория когомологий для общих пространств», Annals of Mathematics , вторая серия, 49 (2): 407–427, doi :10.2307/1969289, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969289, MR  0024621
• Спаниер, Эдвин Х. (1966), Алгебраическая топология , Springer, ISBN 978-0387944265