В математике кодомен или набор назначения функции — это набор , в который обязательно попадают все выходные данные функции. Это множество Y в обозначении f : X → Y. Термин «диапазон» иногда неоднозначно используется для обозначения кодомена или образа функции.
Кодомен является частью функции f, если f определен как тройка ( X , Y , G ) , где X называется областью определения f , Y - его кодоменом , а G - его графиком . [1] Набор всех элементов формы f ( x ) , где x пробегает элементы области X , называется образом f . Образ функции является подмножеством ее кодомена, поэтому он может с ним не совпадать. А именно, функция, которая не является сюръективной , имеет элементы y в своей кодомене, для которых уравнение f ( x ) = y не имеет решения.
Кодомен не является частью функции f , если f определена как просто граф. [2] [3] Например, в теории множеств желательно, чтобы область определения функции была собственным классом X , и в этом случае формально не существует такой вещи, как тройка ( X , Y , G ) . При таком определении функции не имеют кодомена, хотя некоторые авторы все еще используют его неформально после введения функции в виде f : X → Y . [4]
Для функции
определяется
кодомен f равен , но f не отображается ни в какое отрицательное число. Таким образом, образ f есть множество ; т. е. интервал [0, ∞) .
Альтернативная функция g определяется следующим образом:
Хотя f и g отображают данный x в одно и то же число, с этой точки зрения они не являются одной и той же функцией, поскольку имеют разные кодомены. Третью функцию h можно определить, чтобы продемонстрировать, почему:
Область определения h не может быть , но может быть определена как :
Композиции обозначаются _
При проверке h ∘ f бесполезно. Это правда, если не указано иное, что образ f неизвестен; известно только, что это подмножество . По этой причине возможно, что h при составлении с f может получить аргумент, для которого не определен выходной сигнал — отрицательные числа не являются элементами области определения h , которая является функцией извлечения квадратного корня .
Таким образом, композиция функции является полезным понятием только тогда, когда кодомен функции в правой части композиции (а не ее изображение , которое является следствием функции и может быть неизвестен на уровне композиции) является подмножеством области определения. функции в левой части.
Кодомен влияет на то, является ли функция сюръекцией , поскольку функция сюръективна тогда и только тогда, когда ее кодомен равен ее изображению. В примере g является сюръекцией, а f — нет. Кодомен не влияет на то, является ли функция инъекцией .
Второй пример разницы между кодоменом и изображением демонстрируется линейными преобразованиями между двумя векторными пространствами – в частности, всеми линейными преобразованиями из самого себя, которые могут быть представлены матрицами 2 ×2 с действительными коэффициентами. Каждая матрица представляет собой карту с доменом и кодоменом . Однако имидж неопределенный. Некоторые преобразования могут иметь изображение, равное всей кодомену (в данном случае матрицы с рангом 2 ), но многие этого не делают, вместо этого отображая в какое-то меньшее подпространство (матрицы с рангом 1 или 0 ). Возьмем, к примеру, матрицу T , заданную формулой
которое представляет собой линейное преобразование, которое отображает точку ( x , y ) в ( x , x ) . Точка (2, 3) не находится в образе T , но все еще находится в кодомене, поскольку линейные преобразования из в имеют явное значение. Как и все матрицы 2×2 , T представляет собой член этого набора. Изучение различий между изображением и кодоменом часто может быть полезно для обнаружения свойств рассматриваемой функции. Например, можно сделать вывод, что T не имеет полного ранга, поскольку его изображение меньше, чем весь кодомен.
