Теория колеса

Алгебра, в которой деление всегда определено

Диаграмма колеса в виде реальной проективной линии с нулевой точкой (обозначается ⊥).

Колесо — это тип алгебры (в смысле универсальной алгебры ) , в которой всегда определено деление. В частности, имеет смысл деление на ноль . Действительные числа можно расширить до колеса, как и любое коммутативное кольцо .

Термин «колесо» вдохновлен топологической картиной реальной проективной линии вместе с дополнительной точкой ⊥ ( нижним элементом ), например . ^[1] ${\displaystyle \odot }$ ${\displaystyle \bot =0/0}$

Колесо можно рассматривать как эквивалент коммутативного кольца (и полукольца ), где сложение и умножение являются не группой , а соответственно коммутативным моноидом и коммутативным моноидом с инволюцией . ^[1]

Определение

Колесо – это алгебраическая структура , в которой ${\displaystyle (W,0,1,+,\cdot ,/)}$

• ${\displaystyle W}$это набор,
• ${\displaystyle {}0}$и являются элементами этого множества, ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle +}$и являются двоичными операциями , ${\displaystyle \cdot }$
• ${\displaystyle /}$это унарная операция ,

и удовлетворяющий следующим свойствам:

• ${\displaystyle +}$и каждый из них коммутативен и ассоциативен и имеет и как свои соответствующие тождества . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \,0}$ ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle /}$это инволюция , например ${\displaystyle //x=x}$
• ${\displaystyle /}$мультипликативен , например ${\displaystyle /(xy)=/x/y}$
• ${\displaystyle (x+y)z+0z=xz+yz}$
• ${\displaystyle (x+yz)/y=x/y+z+0y}$
• ${\displaystyle 0\cdot 0=0}$
• ${\displaystyle (x+0y)z=xz+0y}$
• ${\displaystyle /(x+0y)=/x+0y}$
• ${\displaystyle 0/0+x=0/0}$

Алгебра колес

Колеса заменяют обычное деление как бинарную операцию умножением, при этом унарная операция применяется к одному аргументу, аналогичному (но не идентичному) мультипликативному обратному , такая, что становится сокращением для , но не является ни вообще, и изменяет правила алгебры , такие как что ${\displaystyle /x}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a\cdot /b=/b\cdot a}$ ${\displaystyle a\cdot b^{-1}}$ ${\displaystyle b^{-1}\cdot a}$

• ${\displaystyle 0x\neq 0}$в общем случае
• ${\displaystyle x/x\neq 1}$в общем случае это не то же самое, что мультипликативная инверсия . ${\displaystyle /x}$ ${\displaystyle x}$

Другие тождества, которые могут быть получены:

• ${\displaystyle 0x+0y=0xy}$
• ${\displaystyle x/x=1+0x/x}$
• ${\displaystyle x-x=0x^{2}}$

где отрицание определяется и существует ли такой элемент, что (то есть в общем случае ). ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle -x=ax}$ ${\displaystyle x-y=x+(-y)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1+a=0}$ ${\displaystyle x-x\neq 0}$

Однако для значений удовлетворяющих и получаем обычное ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0x=0}$ ${\displaystyle 0/x=0}$

• ${\displaystyle x/x=1}$
• ${\displaystyle x-x=0}$

Если отрицание можно определить, как показано ниже, то подмножество является коммутативным кольцом , и каждое коммутативное кольцо является таким подмножеством колеса. Если – обратимый элемент коммутативного кольца, то . Таким образом, когда это имеет смысл, оно равно , но последнее всегда определено, даже когда . ${\displaystyle \{x\mid 0x=0\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{-1}=/x}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle /x}$ ${\displaystyle x=0}$

Примеры

Колесо дробей

Пусть – коммутативное кольцо и пусть – мультипликативный подмоноид кольца . Определим отношение конгруэнтности на через ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sim _{S}}$ ${\displaystyle A\times A}$

${\displaystyle (x_{1},x_{2})\sim _{S}(y_{1},y_{2})}$означает, что существуют такие, что . ${\displaystyle s_{x},s_{y}\in S}$ ${\displaystyle (s_{x}x_{1},s_{x}x_{2})=(s_{y}y_{1},s_{y}y_{2})}$

Определим колесо дробей по как частное (и обозначим класс эквивалентности , содержащий as ) с операциями ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\times A~/{\sim _{S}}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$

${\displaystyle 0=[0_{A},1_{A}]}$           (аддитивная идентичность)

${\displaystyle 1=[1_{A},1_{A}]}$           (мультипликативная идентичность)

${\displaystyle /[x_{1},x_{2}]=[x_{2},x_{1}]}$           (взаимная операция)

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]}$           (операция сложения)

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}]}$           (операция умножения)

Проективная линия и сфера Римана

В частном случае вышеизложенного, начиная с поля , получается проективная линия , продленная до колеса путем присоединения нижнего элемента , отмеченного ⊥ , где . Проективная линия сама по себе является расширением исходного поля на элемент , где для любого элемента поля. Однако оно еще не определено на проективной прямой, но определено в своем продолжении на колесо. ${\displaystyle 0/0=\bot }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle z/0=\infty }$ ${\displaystyle z\neq 0}$ ${\displaystyle 0/0}$

Начиная с действительных чисел , соответствующая проективная «линия» геометрически представляет собой круг , а затем дополнительная точка придает форму, которая является источником термина «колесо». Или вместо этого, начиная с комплексных чисел , соответствующая проективная «линия» представляет собой сферу ( сфера Римана ), а затем дополнительная точка дает трехмерную версию колеса. ${\displaystyle 0/0}$

Смотрите также

• НЭН

Цитаты

1. Карлстрем 2004.

Рекомендации

• Сетцер, Антон (1997), Колеса (PDF)(черновик)
• Карлстрём, Йеспер (2004), «Колеса – при делении на ноль», Математические структуры в информатике , Cambridge University Press , 14 (1): 143–184, doi : 10.1017/S0960129503004110, S2CID  11706592(также доступно онлайн здесь).
• А, Бергстра; В., Такер Дж. (1 апреля 2007 г.). «Рациональные числа как абстрактный тип данных». Журнал АКМ . 54 (2): 7. дои : 10.1145/1219092.1219095. S2CID  207162259.
• Бергстра, Ян А.; Понсе, Альбан (2015). «Деление на ноль на Общих лугах». Программное обеспечение, услуги и системы: эссе, посвященные Мартину Вирсингу по случаю его ухода с кафедры программирования и разработки программного обеспечения . Конспекты лекций по информатике. Международное издательство Спрингер. 8950 : 46–61. arXiv : 1406.6878 . дои : 10.1007/978-3-319-15545-6_6. ISBN 978-3-319-15544-9. S2CID  34509835.