Основная омега-функция

Количество простых делителей натурального числа n

В теории чисел простые функции омеги подсчитывают количество простых множителей натурального числа. Таким образом (маленькая омега) подсчитывает каждый отдельный простой множитель, тогда как соответствующая функция (большая омега) подсчитывает общее количество простых множителей с учетом их кратности ( см. арифметическую функцию ). То есть, если у нас есть простая факторизация формы для различных простых чисел ( ), то соответствующие простые омега - функции задаются как и . Эти функции подсчета простых множителей имеют множество важных теоретико-числовых соотношений. ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ ${\displaystyle \omega (n)=k}$ ${\displaystyle \Omega (n)=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}}$

Свойства и отношения

Функция аддитивна и вполне аддитивна . ​ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$

${\displaystyle \omega (n)=\sum _{p\mid n}1}$

Если делит хотя бы один раз, мы считаем его только один раз, например . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega (12)=\omega (2^{2}3)=2}$

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\mid n}1=\sum _{p^{\alpha }\parallel n}\alpha }$

Если делит время, то мы считаем показатели степени, например . Как обычно, средства — это точная степень деления . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha \geq 1}$ ${\displaystyle \Omega (12)=\Omega (2^{2}3^{1})=3}$ ${\displaystyle p^{\alpha }\parallel n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Omega (n)\geq \omega (n)}$

If then бесквадратен и связан с функцией Мёбиуса соотношением ${\displaystyle \Omega (n)=\omega (n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}}$

If then — степень простого числа, а if then — простое число. ${\displaystyle \omega (n)=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega (n)=1}$ ${\displaystyle n}$

Известно, что средний порядок функции делителя удовлетворяет . ^[1] ${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}}$

Как и для многих арифметических функций, для или нет явной формулы , но есть приближения. ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)}$

Асимптотический ряд для среднего порядка имеет вид ^[2] ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}\omega (k)\sim \log \log n+B_{1}+\sum _{k\geq 1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}{\frac {\gamma _{j}}{j!}}-1\right){\frac {(k-1)!}{(\log n)^{k}}},}$

где – постоянная Мертенса , – константы Стилтьеса . ${\displaystyle B_{1}\approx 0.26149721}$ ${\displaystyle \gamma _{j}}$

Функция связана с суммами делителей по функции Мёбиуса и функцией делителей, включая следующие суммы. ^[3] ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1)^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}=d(n^{2})}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}d\left({\frac {n}{r}}\right)=d^{2}(n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}(-1)^{\omega (d)}=\prod \limits _{p^{\alpha }||n}(1-\alpha )}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},\ m_{1},m_{2}{\text{ odd}},m=\operatorname {lcm} (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)}$

Характеристическую функцию простых чисел можно выразить сверткой с функцией Мёбиуса : ^[4]

${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }(n)=(\mu \ast \omega )(n)=\sum _{d|n}\omega (d)\mu (n/d).}$

Точное тождество, связанное с разбиением, определяется формулой ^[5] ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \omega (n)=\log _{2}\left[\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{d\mid k}\sum _{i=1}^{d}p(d-ji)\right)s_{n,k}\cdot |\mu (j)|\right],}$

где – статистическая сумма , – функция Мёбиуса , а треугольная последовательность расширяется на ${\displaystyle p(n)}$ ${\displaystyle \mu (n)}$ ${\displaystyle s_{n,k}}$

${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}=s_{o}(n,k)-s_{e}(n,k),}$

в терминах бесконечного символа q-Похгаммера и ограниченных статистических сумм , которые соответственно обозначают количество единиц во всех разбиениях на нечетное ( четное ) число различных частей. ^[6] ${\displaystyle s_{o/e}(n,k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

Продолжение на сложной плоскости

Найдено продолжение функции , хотя оно не везде аналитично. ^[7] Обратите внимание, что используется нормализованная функция . ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} }$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$

${\displaystyle \omega (z)=\log _{2}\left(\sum _{n=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\operatorname {sinc} \left(\prod _{m=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}\left(n^{2}+n-mz\right)\right)\right)}$

Это тесно связано со следующим идентификатором раздела. Рассмотрим разбиения вида

${\displaystyle a={\frac {2}{c}}+{\frac {4}{c}}+\ldots +{\frac {2(b-1)}{c}}+{\frac {2b}{c}}}$

где , , и – целые положительные числа, и . Тогда количество разделов определяется выражением . ^[8] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a>b>c}$ ${\displaystyle 2^{\omega (a)}-2}$

Средний порядок и суммирующие функции

Средний заказ обоих и составляет . Когда простое число , нижняя граница значения функции равна . Аналогично, если является примитивным , то функция имеет размер среднего порядка. Когда степень 2 , то . ^[9] ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \log \log n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega (n)=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log \log n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log 2}}}$

Асимптотики суммирующих функций над , и вычисляются соответственно в Харди и Райте как ^{[10] [11]} ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq x}\omega (n)&=x\log \log x+B_{1}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\Omega (n)&=x\log \log x+B_{2}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{2}&=x(\log \log x)^{2}+O(x\log \log x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}&=x(\log \log x)^{k}+O(x(\log \log x)^{k-1}),k\in \mathbb {Z} ^{+},\end{aligned}}}$

где – постоянная Мертенса , а константа определяется выражением ${\displaystyle B_{1}\approx 0.2614972128}$ ${\displaystyle B_{2}}$

${\displaystyle B_{2}=B_{1}+\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p(p-1)}}\approx 1.0345061758.}$

Другие суммы, связывающие два варианта простых омега-функций, включают ^[12]

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\left\{\Omega (n)-\omega (n)\right\}=O(x),}$

и

${\displaystyle \#\left\{n\leq x:\Omega (n)-\omega (n)>{\sqrt {\log \log x}}\right\}=O\left({\frac {x}{(\log \log x)^{1/2}}}\right).}$

Пример I: Модифицированная суммирующая функция

В этом примере мы предлагаем вариант суммирующих функций, оцененных в приведенных выше результатах для достаточно больших . Затем мы доказываем асимптотическую формулу роста этой модифицированной суммирующей функции, полученную на основе асимптотической оценки, представленной в формулах в основном подразделе этой статьи выше. ^[13] ${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S_{\omega }(x)}$

Чтобы быть совсем точным, пусть суммирующая функция с нечетным индексом определяется как

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)[n{\text{ odd}}],}$

где обозначает скобку Айверсона . Тогда у нас есть это ${\displaystyle [\cdot ]}$

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x)={\frac {x}{2}}\log \log x+{\frac {(2B_{1}-1)x}{4}}+\left\{{\frac {x}{4}}\right\}-\left[x\equiv 2,3{\bmod {4}}\right]+O\left({\frac {x}{\log x}}\right).}$

Доказательство этого результата следует, сначала заметив, что

${\displaystyle \omega (2n)={\begin{cases}\omega (n)+1,&{\text{if }}n{\text{ is odd; }}\\\omega (n),&{\text{if }}n{\text{ is even,}}\end{cases}}}$

а затем применив асимптотический результат Харди и Райта для суммирующей функции по , обозначаемой , в следующей форме: ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\omega }(x)&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor }\omega (2n)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (4n)+\omega (4n+2)\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (2n)+\omega (2n+1)+1\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+S_{\omega }\left(\left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor \right)+\left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

Пример II: Суммирующие функции для так называемых факториальных моментов ω(n)

Вычисления, развернутые в главе 22.11 Харди и Райта, дают асимптотические оценки суммирующей функции

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\},}$

оценивая произведение этих двух компонентных омега-функций как

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\}=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{\stackrel {p\neq q}{p,q{\text{ prime}}}}}1=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{p,q{\text{ prime}}}}1-\sum _{\stackrel {p^{2}\mid n}{p{\text{ prime}}}}1.}$

Мы можем аналогичным образом вычислить асимптотические формулы в более общем смысле для соответствующих суммирующих функций по так называемым факториальным моментам функции . ${\displaystyle \omega (n)}$

Серия Дирихле

Известный ряд Дирихле, включающий и дзета-функцию Римана, имеет вид ^[14] ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}},\ \Re (s)>1.}$

Мы также можем это видеть

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {z}{p^{s}-1}}\right),|z|<2,\Re (s)>1,}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {z}{p^{s}}}\right)^{-1},|z|<2,\Re (s)>1,}$

Функция полностью аддитивна , где сильно аддитивна (аддитивна) . Теперь мы можем доказать короткую лемму в следующем виде, из которой вытекают точные формулы для разложений ряда Дирихле как по , так и по : ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$

Лемма. Предположим, что это сильно аддитивная арифметическая функция , определенная так, что ее значения в степенях простых чисел определяются как , т. е. для различных простых чисел и показателей степени . Серия Дирихле расширена за счет ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(p^{\alpha }):=f_{0}(p,\alpha )}$ ${\displaystyle f(p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}})=f_{0}(p_{1},\alpha _{1})+\cdots +f_{0}(p_{k},\alpha _{k})}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 1}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\Re (s)>\min(1,\sigma _{f}).}$

Доказательство. Мы видим, что

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {u^{f(n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right).}$

Это означает, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}&={\frac {d}{du}}\left[\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right)\right]{\Biggr |}_{u=1}=\prod _{p}\left(1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}\right)\times \sum _{p}{\frac {\sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns}}{1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}}}\\&=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\end{aligned}}}$

везде, где соответствующие ряды и произведения сходятся. В последнем уравнении мы использовали представление произведения Эйлера дзета-функции Римана . ${\displaystyle \boxdot }$

Из леммы следует, что для , ${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)P(s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}P(ns)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\phi (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega \lambda }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda (n)\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\log \zeta (s),\end{aligned}}}$

где – простая дзета-функция , – лямбда-функция Лиувилля . ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$

Распределение разности простых омега-функций

Распределение различных целочисленных значений разностей является регулярным по сравнению с полуслучайными свойствами составляющих функций. Для определите ${\displaystyle \Omega (n)-\omega (n)}$ ${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle N_{k}(x):=\#(\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:\Omega (n)-\omega (n)=k\}\cap [1,x]).}$

Эти мощности имеют соответствующую последовательность предельных плотностей такую, что при ${\displaystyle d_{k}}$ ${\displaystyle x\geq 2}$

${\displaystyle N_{k}(x)=d_{k}\cdot x+O\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{k}{\sqrt {x}}(\log x)^{\frac {4}{3}}\right).}$

Эти плотности создаются основными продуктами

${\displaystyle \sum _{k\geq 0}d_{k}\cdot z^{k}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1+{\frac {1}{p-z}}\right).}$

При абсолютной константе плотности удовлетворяют ${\displaystyle {\hat {c}}:={\frac {1}{4}}\times \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)^{-1}}$ ${\displaystyle d_{k}}$

${\displaystyle d_{k}={\hat {c}}\cdot 2^{-k}+O(5^{-k}).}$

Сравните с определением простых произведений, определенным в последнем разделе ^[15] в связи с теоремой Эрдеша–Каца .

Смотрите также

• Аддитивная функция
• Арифметическая функция
• Теорема Эрдеша – Каца
• Омега-функция (значения)
• простое число
• Целое число без квадратов

Примечания

1. Это неравенство приведено в разделе 22.13 Харди и Райта.
2. С.Р. Финч, Два асимптотических ряда, Математические константы II, Cambridge Univ. Пресс, стр. 21-32, [1]
3. Каждое из них, начиная со второго тождества в списке, цитируется индивидуально на страницах «Свертки арифметических функций Дирихле» , «Тождество Менона» и другие формулы для общей функции Эйлера . Первое тождество представляет собой комбинацию двух известных сумм делителей, упомянутых в разделе 27.6 Справочника NIST по математическим функциям.
4. Это предлагается в качестве упражнения в книге Апостола. А именно пишем где . Мы можем составить ряд Дирихле по формуле где – простая дзета-функция . Тогда становится очевидным, что это индикаторная функция простых чисел. ${\displaystyle f=\mu \ast \omega }$ ${\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\mu (n/d)\sum _{r|d}\left(\pi (r)-\pi (r-1)\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}(s):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=P(s),}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle f(n)=\pi (n)-\pi (n-1)=\chi _{\mathbb {P} }(n)}$
5. Это тождество доказано в статье Шмидта, цитируемой на этой странице ниже.
6. Эта треугольная последовательность также заметно проявляется в теоремах факторизации ряда Ламберта , доказанных Меркой и Шмидтом (2017–2018).
7. Хельшер, Закари; Палссон, Эйвиндур (5 декабря 2020 г.). «Подсчет ограниченных разбиений целых чисел на дроби: симметрия и режимы производящей функции и связь с ω (t)». Журнал исследований бакалавриата PUMP . 3 : 277–307. arXiv : 2011.14502 . ISSN  2576-3725.
8. Хельшер, Закари; Палссон, Эйвиндур (5 декабря 2020 г.). «Подсчет ограниченных разбиений целых чисел на дроби: симметрия и режимы производящей функции и связь с ω (t)». Журнал исследований бакалавриата PUMP . 3 : 277–307. arXiv : 2011.14502 . ISSN  2576-3725.
9. Ссылки на каждую из этих оценок среднего порядка см. В уравнениях (3) и (18) справочника MathWorld и в разделах 22.10–22.11 Харди и Райта.
10. См. разделы 22.10 и 22.11 для получения информации и явного вывода этих асимптотических оценок.
11. Фактически, доказательство последнего результата, приведенного в Харди и Райте, на самом деле предлагает более общую процедуру извлечения асимптотических оценок моментов для любого путем рассмотрения суммирующих функций факториальных моментов вида для более общих случаев . ${\displaystyle \sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {\left[\omega (n)\right]!}{\left[\omega (n)-m\right]!}}}$ ${\displaystyle m\geq 2}$
12. Харди и Райт Глава 22.11.
13. Обратите внимание, эта сумма предложена на основе работы, содержащейся в неопубликованной рукописи автора этой страницы и связанной с ростом функции Мертенса . Следовательно, это не просто пустая и/или тривиальная оценка, полученная для целей изложения здесь.
14. Это тождество можно найти в разделе 27.4 Справочника NIST по математическим функциям.
15. Реньи, А.; Туран, П. (1958). «Об одной теореме Эрдеша-Каца» (PDF) . Акта Арифметика . 4 (1): 71–84. дои : 10.4064/aa-4-1-71-84.

Рекомендации

• Г.Х. Харди и Э.М. Райт (2006). Введение в теорию чисел (6-е изд.). Издательство Оксфордского университета.
• Х. Л. Монтгомери и Р. К. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета.
• Шмидт, Макси (2017). «Теоремы факторизации для произведений Адамара и производных высших порядков производящих функций рядов Ламберта». arXiv : 1712.00608 [math.NT].
• Вайсштейн, Эрик. «Различные простые факторы». Математический мир . Проверено 22 апреля 2018 г.

Внешние ссылки

• OEIS Wiki для связанных порядковых номеров и таблиц.
• OEIS Wiki на Prime Factors