Коллекционно нормальное пространство

Свойство топологических пространств, более сильное, чем нормальность

В математике топологическое пространство называется коллективно нормальным , если для каждого дискретного семейства F _i ( i ∈ I ) замкнутых подмножеств существует попарно непересекающееся семейство открытых множеств U _i ( i ∈ I ), такое, что F _i ⊆ U _i . При этом семейство подмножеств называется дискретным , когда каждая точка имеет окрестность , пересекающуюся не более чем с одним из множеств из . Эквивалентное определение ^[1] коллективно нормального требует, чтобы указанные выше U _i ( i ∈ I ) сами образовывали дискретное семейство, которое сильнее, чем попарно непересекающееся. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Некоторые авторы предполагают, что это также пространство T1 как часть определения, но здесь такое предположение не делается. ${\displaystyle X}$

Свойство является промежуточным по силе между паракомпактностью и нормальностью и встречается в теоремах метризации .

Характеристики

• Коллекционно нормальное пространство является коллекционно хаусдорфовым .
• Коллекционно нормальное пространство является нормальным .
• Хаусдорфово паракомпактное пространство является коллективно нормальным. ^[2] В частности, каждое метризуемое пространство является коллективно нормальным. Примечание: Условие Хаусдорфа здесь необходимо, поскольку, например, бесконечное множество с кофинитной топологией является компактным , следовательно, паракомпактным и T ₁ , но даже не является нормальным.
  
• Каждое нормальное счетно-компактное пространство (следовательно, каждое нормальное компактное пространство) является коллективно-нормальным.
  Доказательство : используйте тот факт, что в счетно-компактном пространстве любое дискретное семейство непустых подмножеств конечно.
• F σ -множество в коллективно нормальном пространстве также коллективно нормально в топологии подпространства . В частности, это справедливо для замкнутых подмножеств.
• TheТеорема метризации Мура утверждает ,что коллективно нормальноепространство Мураметризуемо.

Наследственно коллекционное нормальное пространство

Топологическое пространство X называется наследственно коллективно нормальным , если каждое подпространство X с топологией этого подпространства является коллективно нормальным.

Точно так же, как наследственно нормальные пространства могут быть охарактеризованы в терминах разделенных множеств , существует эквивалентная характеристика для наследственно коллекционно нормальных пространств. Семейство подмножеств X называется разделенным семейством , если для каждого i , имеем , где cl обозначает оператор замыкания в X , другими словами, если семейство дискретно в своем объединении. Следующие условия эквивалентны: ^[3] ${\displaystyle F_{i}(i\in I)}$ ${\textstyle F_{i}\cap \operatorname {cl} (\bigcup _{j\neq i}F_{j})=\emptyset }$ ${\displaystyle F_{i}}$

1. X наследственно коллективно нормален.
2. Каждое открытое подпространство X является коллективно нормальным.
3. Для каждого разделенного семейства подмножеств X существует попарно непересекающееся семейство открытых множеств , такое что . ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}(i\in I)}$ ${\displaystyle F_{i}\subseteq U_{i}}$

Примеры наследственно коллекционно нормальных пространств

• Каждое линейно упорядоченное топологическое пространство (LOTS) ^[4]
• Каждое обобщенное упорядоченное пространство (GO-пространство)
• Каждое метризуемое пространство . Это следует из того факта, что метризуемые пространства являются коллективно нормальными и метризуемость является наследственным свойством.
• Каждое монотонно нормальное пространство ^[5]

Примечания

1. Энгелькинг, теорема 5.1.17, показывает эквивалентность двух определений (при предположении T ₁ , но доказательство не использует свойство T ₁ ).
2. Энгелькинг 1989, Теорема 5.1.18.
3. Энгелькинг 1989, Задача 5.5.1.
4. Стин, Линн А. (1970). «Прямое доказательство того, что линейно упорядоченное пространство наследственно коллективно нормально». Proc. Amer. Math. Soc. 24 : 727–728. doi : 10.1090/S0002-9939-1970-0257985-7 .
5. Хит, Р. В.; Лутцер, DJ; Зенор, ПЛ (апрель 1973 г.). «Монотонно нормальные пространства» (PDF) . Труды Американского математического общества . 178 : 481–493. doi : 10.2307/1996713 . JSTOR  1996713.

Ссылки

• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.