коллектор Хопфа

В комплексной геометрии многообразие Хопфа (Hopf 1948) получается как фактор комплексного векторного пространства (с удаленным нулем) по свободному действию группы целых чисел , с генератором , действующим посредством голоморфных сжатий . Здесь голоморфное сжатие — это отображение , такое что достаточно большая итерация отображает любое заданное компактное подмножество на произвольно малую окрестность 0. ${\displaystyle ({\mathbb {C} }^{n}\backslash 0)}$ ${\displaystyle \Gamma \cong {\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma :\;{\mathbb {C} }^{n}\to {\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle \;\gamma ^{N}}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}}$

Двумерные многообразия Хопфа называются поверхностями Хопфа .

Примеры

В типичной ситуации генерируется линейным сжатием, обычно диагональной матрицы , с комплексным числом , . Такое многообразие называется классическим многообразием Хопфа . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle q\cdot Id}$ ${\displaystyle q\in {\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle 0<|q|<1}$

Характеристики

Многообразие Хопфа диффеоморфно . Для оно не кэлерово . Фактически, оно даже не симплектическое, поскольку вторая группа когомологий равна нулю . ${\displaystyle H:=({\mathbb {C} }^{n}\backslash 0)/{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle S^{2n-1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Гиперкомплексная структура

Четномерные многообразия Хопфа допускают гиперкомплексную структуру . Поверхность Хопфа является единственным компактным гиперкомплексным многообразием кватернионной размерности 1, которое не является гиперкэлеровым .

Ссылки

• Хопф, Хайнц (1948), «Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten», Исследования и эссе, представленные Р. Куранту в день его 60-летия, 8 января 1948 г. , Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк, стр. 167–185, MR  0023054
• Орнеа, Ливиу (2001) [1994], "Многообразие Хопфа", Энциклопедия математики , EMS Press