В математике логарифм является функцией , обратной возведению в степень . Это означает, что логарифм числа x по основанию b является показателем степени , до которой необходимо возвести b , чтобы получить x . Например, поскольку 1000 = 10 3 , логарифм по основанию 10 от 1000 равен 3 или log 10 (1000) = 3 . Логарифм от x по основанию b обозначается как log b ( x ) или без круглых скобок, log b x , или даже без явного основания, log x , когда путаница невозможна или когда основание не имеет значения, например, в большое обозначение О.
Логарифм по основанию 10 называется десятичным или десятичным логарифмом и обычно используется в науке и технике. В основе натурального логарифма лежит число e ≈ 2,718 ; его использование широко распространено в математике и физике из-за его очень простой производной . Двоичный логарифм использует базу 2 и часто используется в информатике .
Логарифмы были введены Джоном Непером в 1614 году как средство упрощения вычислений. [1] Они были быстро приняты мореплавателями, учеными, инженерами, геодезистами и другими людьми для облегчения выполнения высокоточных вычислений. Используя таблицы логарифмов , утомительные шаги многозначного умножения можно заменить поиском в таблице и более простым сложением. Это возможно, поскольку логарифм произведения представляет собой сумму логарифмов множителей:
Логарифмические шкалы сводят большие величины к меньшим. Например, децибел (дБ) — это единица измерения отношения в виде логарифмов , в основном для мощности и амплитуды сигнала ( частым примером которых является звуковое давление ). В химии pH — это логарифмическая мера кислотности водного раствора . Логарифмы являются обычным явлением в научных формулах , а также при измерении сложности алгоритмов и геометрических объектов, называемых фракталами . Они помогают описывать соотношения частот музыкальных интервалов , появляются в формулах для подсчета простых чисел или аппроксимации факториалов , служат основой для некоторых моделей в психофизике и могут помочь в судебно-медицинской экспертизе .
Концепция логарифма как обратной возведения в степень распространяется и на другие математические структуры. Однако в общих условиях логарифм имеет тенденцию быть многозначной функцией. Например, комплексный логарифм является многозначной обратной комплексной показательной функции. Точно так же дискретный логарифм является многозначной обратной экспоненциальной функцией в конечных группах; он находит применение в криптографии с открытым ключом .
Сложение , умножение и возведение в степень — три наиболее фундаментальные арифметические операции. Обратное действие сложения — вычитание, а обратное умножению — деление . Аналогично, логарифм — это операция, обратная возведению в степень . Возведение в степень - это когда число b , основание , возводится в определенную степень y , показатель степени , чтобы дать значение x ; это обозначается
Логарифм по основанию b — это обратная операция, которая обеспечивает выход y из входа x . То есть это эквивалентно тому , что b является положительным действительным числом . (Если b не является положительным действительным числом, можно определить и возведение в степень, и логарифм, но они могут принимать несколько значений, что значительно усложняет определения.)
Одной из главных исторических мотиваций введения логарифмов является формула
Учитывая положительное действительное число b такое, что b ≠ 1 , логарифм положительного действительного числа x по основанию b [nb 1] является показателем степени, на которую b необходимо возвести, чтобы получить x . Другими словами, логарифм x по основанию b — это уникальное действительное число y такое, что . [3]
Логарифм обозначается « log b x » (произносится как «логарифм от x по основанию b », « логарифм по основанию b от x » или чаще всего «логарифм по основанию b от x »).
Эквивалентное и более краткое определение состоит в том, что функция log b является функцией, обратной функции .
Несколько важных формул, иногда называемых логарифмическими тождествами или логарифмическими законами , связывают логарифмы друг с другом. [4]
Логарифм произведения — это сумма логарифмов умножаемых чисел; логарифм отношения двух чисел — это разность логарифмов. Логарифм p -й степени числа в p раз больше логарифма самого числа; логарифм корня p -й степени равен логарифму числа, разделенного на p . В следующей таблице перечислены эти личности с примерами. Каждое из тождеств можно получить после подстановки определений логарифмов или в левых частях.
Логарифм log b x можно вычислить из логарифмов x и b по произвольному основанию k , используя следующую формулу: [nb 2]
Типичные научные калькуляторы вычисляют логарифмы по основаниям 10 и e . [5] Логарифмы по любому основанию b можно определить, используя любой из этих двух логарифмов по предыдущей формуле:
Учитывая число x и его логарифм y = log b x до неизвестного основания b , основание определяется следующим образом:
в чем можно убедиться, возведя определяющее уравнение в степень
Среди всех вариантов основы особенно распространены три. Это b = 10 , b = e ( иррациональная математическая константа e ≈ 2,71828183 ) и b = 2 ( двоичный логарифм ). В математическом анализе логарифм по основанию e широко распространен из-за аналитических свойств, объясненных ниже. С другой стороны, логарифмы по основанию 10 ( десятичный логарифм ) легко использовать для ручных вычислений в десятичной системе счисления: [6]
Таким образом, log 10 ( x ) связан с количеством десятичных цифр положительного целого числа x : количество цифр — это наименьшее целое число , строго большее, чем log 10 ( x ) . [7] Например, log 10 (5986) равен примерно 3,78. Следующее целое число над ним — 4, что соответствует количеству цифр 5986. В теории информации используются как натуральный логарифм, так и двоичный логарифм , что соответствует использованию натуральных чисел или битов в качестве фундаментальных единиц информации соответственно. [8] Двоичные логарифмы также используются в информатике , где двоичная система распространена повсеместно; в теории музыки , где отношение высоты звука, равное двум ( октава ), является повсеместным, а число центов между любыми двумя высотами звука представляет собой масштабированную версию двоичного логарифма или log 2, умноженного на 1200, отношения высоты звука (то есть 100 центов). на полутон в обычной равной темперации ), или, что эквивалентно, логарифм 2 1/1200 ; а в фотографии логарифмы с измененным масштабом по основанию 2 используются для измерения значений экспозиции , уровней освещенности , времени экспозиции , апертуры объектива и светочувствительности пленки в «стопах». [9]
Многие дисциплины записывают log x как сокращение от log b x , когда предполагаемую базу можно определить на основе контекста или дисциплины (или когда база неопределенна или несущественна). В информатике log обычно относится к log 2 , а в математике log обычно относится к log e . [10] В других контекстах log часто означает log 10 . [11] В следующей таблице перечислены общие обозначения логарифмов по этим основаниям и поля, в которых они используются. В столбце «Обозначение ISO» перечислены обозначения, предложенные Международной организацией по стандартизации . [12]
В истории логарифмов в Европе XVII века была открыта новая функция , которая расширила сферу анализа за пределы алгебраических методов. Метод логарифмов был публично предложен Джоном Нэпьером в 1614 году в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( «Описание чудесного канона логарифмов »). [19] [20] До изобретения Нэпьера существовали и другие методы аналогичного масштаба, такие как простафаэрез или использование таблиц прогрессий, широко разработанные Йостом Бюрги около 1600 года. [21] [22] Нэпьер придумал этот термин. для логарифма на среднелатинском языке «логарифм» происходит от греческого слова, буквально означающего «число-отношение», от logos «пропорция, соотношение, слово» + arithmos «число».
Десятый логарифм числа — это показатель той степени десяти, которая равна числу. [23] Утверждение о том, что число требует такого количества цифр, является грубым намеком на десятичный логарифм, который Архимед называл «порядком числа». [24] Первые действительные логарифмы представляли собой эвристические методы, позволяющие превратить умножение в сложение, что способствовало быстрым вычислениям. В некоторых из этих методов использовались таблицы, полученные на основе тригонометрических тождеств. [25] Такие методы называются простафаэрезом .
Изобретение функции, ныне известной как натуральный логарифм, началось как попытка выполнить квадратуру прямоугольной гиперболы Грегуаром де Сен-Винсентом , бельгийским иезуитом, проживающим в Праге. Архимед написал «Квадратуру параболы» в третьем веке до нашей эры, но квадратура гиперболы ускользала от всех попыток, пока Сен-Винсент не опубликовал свои результаты в 1647 году. Связь, которую логарифм обеспечивает между геометрической прогрессией в ее аргументе и арифметической прогрессией. значений, побудило А. А. де Сараса установить связь квадратуры Сен-Венсана и традиции логарифмов в простаферезе , что привело к появлению термина «гиперболический логарифм», синонима натурального логарифма. Вскоре новую функцию оценили Христиан Гюйгенс и Джеймс Грегори . Обозначение Log y было принято Лейбницем в 1675 г. [26] и в следующем году он связал его с интегралом
До того, как Эйлер разработал свою современную концепцию комплексных натуральных логарифмов, Роджер Коутс получил почти эквивалентный результат, когда в 1714 году показал, что [27]
Упрощая сложные вычисления до того, как стали доступны калькуляторы и компьютеры, логарифмы способствовали развитию науки, особенно астрономии . Они сыграли решающую роль в развитии геодезии , небесной навигации и других областях. Пьер-Симон Лаплас называл логарифмы.
Поскольку функция f ( x ) = bx является обратной функцией log bx , ее называют антилогарифмом . [29] В настоящее время эту функцию чаще называют показательной функцией .
Ключевым инструментом, позволившим практическое использование логарифмов, была таблица логарифмов . [30] Первая такая таблица была составлена Генри Бриггсом в 1617 году, сразу после изобретения Нэпьера, но с нововведением, заключавшимся в использовании 10 в качестве основы. Первая таблица Бриггса содержала десятичные логарифмы всех целых чисел в диапазоне от 1 до 1000 с точностью до 14 цифр. В дальнейшем были написаны таблицы с увеличивающейся областью применения. В этих таблицах перечислены значения log 10 x для любого числа x в определенном диапазоне и с определенной точностью. Логарифмы с основанием 10 повсеместно использовались для вычислений, отсюда и название «десятигранный логарифм», поскольку числа, которые отличаются в 10 раз, имеют логарифмы, которые отличаются целыми числами. Десятый логарифм x можно разделить на целую и дробную часть , известную как характеристика и мантисса . В таблицы логарифмов необходимо включать только мантиссу, так как характеристику можно легко определить, посчитав цифры от десятичной точки. [31] Характеристика 10 · x равна единице плюс характеристика x , и их мантиссы одинаковы. Таким образом, используя трехзначную таблицу журналов, логарифм 3542 аппроксимируется выражением
Большую точность можно получить интерполяцией :
Значение 10 x можно определить путем обратного поиска в той же таблице, поскольку логарифм является монотонной функцией .
Произведение и частное двух положительных чисел c и d обычно рассчитывалось как сумма и разность их логарифмов. Произведение cd или частное c / d получено в результате поиска антилогарифма суммы или разности с помощью той же таблицы:
Для ручных вычислений, требующих сколько-нибудь заметной точности, поиск двух логарифмов, вычисление их суммы или разности и поиск антилогарифма происходит намного быстрее, чем выполнение умножения более ранними методами, такими как простафаферез , который основан на тригонометрических тождествах .
Вычисления степеней и корней сводятся к умножению или делению и поиску по
и
Тригонометрические расчеты облегчались таблицами, содержащими десятичные логарифмы тригонометрических функций .
Еще одним важным применением была логарифмическая линейка — пара логарифмически разделенных шкал, используемых для вычислений. Нескользящая логарифмическая шкала, правило Гюнтера , была изобретена вскоре после изобретения Нейпира. Уильям Отред усовершенствовал его, создав логарифмическую линейку — пару логарифмических шкал, подвижных относительно друг друга. Числа располагаются на скользящих шкалах на расстояниях, пропорциональных разностям их логарифмов. Соответствующее перемещение верхней шкалы эквивалентно механическому добавлению логарифмов, как показано здесь:
Например, прибавление расстояния от 1 до 2 на нижней шкале к расстоянию от 1 до 3 на верхней шкале дает произведение 6, которое считывается в нижней части. Логарифмическая линейка была важным расчетным инструментом для инженеров и ученых до 1970-х годов, поскольку она позволяла, за счет точности, выполнять гораздо более быстрые вычисления, чем методы, основанные на таблицах. [32]
Более глубокое изучение логарифмов требует понятия функции . Функция — это правило, которое по одному числу дает другое число. [33] Примером может служить функция, производящая x -ю степень числа b из любого действительного числа x , где основание b является фиксированным числом. Эта функция записывается как f ( x ) = b x . Когда b положительно и не равно 1, ниже мы покажем, что f обратимо, если рассматривать его как функцию от действительных чисел к положительным действительным числам.
Пусть b — положительное действительное число, не равное 1, и пусть f ( x ) = b x .
Стандартный результат реального анализа состоит в том, что любая непрерывная строго монотонная функция является биективной между своей областью определения и областью значений. Этот факт следует из теоремы о промежуточном значении . [34] Теперь f строго возрастает ( для b > 1 ) или строго убывает (для 0 < b < 1 ), [35] является непрерывным, имеет область определения и диапазон . Следовательно, f является биекцией из в . Другими словами, для каждого положительного действительного числа y существует ровно одно действительное число x такое, что .
Обозначим через f обратную величину f . То есть log by — это уникальное действительное число x такое, что . Эта функция называется функцией логарифма по основанию b или логарифмической функцией (или просто логарифмом ).
Функцию log b x можно также существенно охарактеризовать формулой произведения
Как обсуждалось выше, функция log b является обратной экспоненциальной функции . Следовательно, их графики соответствуют друг другу при замене координат x и y (или при отражении от диагональной линии x = y ), как показано справа: точка ( t , u = b t ) на графике f дает точку ( u , t = log b u ) на графике логарифма и наоборот. Как следствие, log b ( x ) расходится до бесконечности (становится больше любого заданного числа), если x растет до бесконечности, при условии, что b больше единицы. В этом случае log b ( x ) — возрастающая функция . Для b < 1 log b ( x ) вместо этого стремится к минус бесконечности. Когда x приближается к нулю, log b x стремится к минус бесконечности для b > 1 (плюс бесконечности для b < 1 соответственно).
Аналитические свойства функций переходят к обратным к ним. [34] Таким образом, поскольку f ( x ) = b x является непрерывной и дифференцируемой функцией , то же самое можно сказать и о log b y . Грубо говоря, непрерывная функция является дифференцируемой, если ее график не имеет острых «углов». Более того, поскольку производная f ( x ) оценивается как ln( b ) b x по свойствам экспоненциальной функции , цепное правило подразумевает , что производная log b x определяется выражением [35] [38]
Производная ln( x ) равна 1/ x ; это означает, что ln( x ) является единственной первообразной 1 / x , которая имеет значение 0 для x = 1 . Именно эта очень простая формула побудила квалифицировать натуральный логарифм как «натуральный»; это также одна из основных причин важности константы e .
Производная с обобщенным функциональным аргументом f ( x ) равна
Натуральный логарифм t можно определить как определенный интеграл :
Равенство (1) разбивает интеграл на две части, а равенство (2) представляет собой замену переменной ( w = x / t ). На иллюстрации ниже разделение соответствует разделению области на желтую и синюю части. Изменение масштаба левой синей области по вертикали на коэффициент t и уменьшение ее на тот же коэффициент по горизонтали не меняет ее размера. Переместив его соответствующим образом, область снова соответствует графику функции f ( x ) = 1/ x . Следовательно, левая синяя область, которая является интегралом от f ( x ) от t до tu , такая же, как интеграл от 1 до u . Это подтверждает равенство (2) более геометрическим доказательством.
Формула мощности ln( t r ) = r ln( t ) может быть получена аналогичным образом:
Сумма по обратным натуральным числам,
Действительные числа , не являющиеся алгебраическими , называются трансцендентными ; В [44] например, π и e являются такими числами, но это не так. Почти все действительные числа трансцендентны. Логарифм является примером трансцендентной функции . Теорема Гельфонда – Шнайдера утверждает, что логарифмы обычно принимают трансцендентные, то есть «трудные» значения. [45]
В некоторых случаях логарифмы легко вычислить, например, log 10 (1000) = 3 . В общем, логарифмы можно вычислять с использованием степенного ряда или среднего арифметико-геометрического значения или получать их из предварительно рассчитанной таблицы логарифмов , обеспечивающей фиксированную точность. [46] [47] Метод Ньютона , итерационный метод приближенного решения уравнений, также может использоваться для вычисления логарифма, поскольку его обратная функция, показательная функция, может быть вычислена эффективно. [48] Используя справочные таблицы, CORDIC -подобные методы можно использовать для вычисления логарифмов, используя только операции сложения и битового сдвига . [49] [50] Более того, алгоритм двоичного логарифма вычисляет lb( x ) рекурсивно на основе повторяющихся возведений x в квадрат , используя соотношение
Для любого действительного числа z , удовлетворяющего условию 0 < z ≤ 2 , справедлива следующая формула: [nb 5] [51]
Приравнивание функции ln( z ) к этой бесконечной сумме ( ряду ) — это сокращение, говорящее о том, что функция может быть приближена к более и более точному значению с помощью следующих выражений (известных как частичные суммы ):
Например, при z = 1,5 третье приближение дает 0,4167 , что примерно на 0,011 больше, чем ln(1,5) = 0,405465 , а девятое приближение дает 0,40553 , что всего лишь примерно на 0,0001 больше. n - я частичная сумма может аппроксимировать ln( z ) с произвольной точностью, при условии, что количество слагаемых n достаточно велико.
В элементарном исчислении говорят, что ряд сходится к функции ln( z ) , а эта функция является пределом ряда. Это ряд Тейлора натурального логарифма в точке z = 1 . Ряд Тейлора для ln( z ) обеспечивает особенно полезное приближение к ln(1 + z ), когда z мало, | г | < 1 , с тех пор
Например, при z = 0,1 аппроксимация первого порядка дает ln(1,1) ≈ 0,1 , что менее чем на 5% отличается от правильного значения 0,0953 .
Другой ряд основан на обратной функции гиперболического тангенса :
Близко связанный метод можно использовать для вычисления логарифма целых чисел. Из приведенной выше серии следует, что:
Среднее арифметико -геометрическое дает высокоточные аппроксимации натурального логарифма . Сасаки и Канада показали в 1982 году, что он особенно быстр для точности от 400 до 1000 десятичных знаков, в то время как методы рядов Тейлора обычно работают быстрее, когда требуется меньшая точность. В их работе ln( x ) аппроксимируется с точностью 2 − p (или p точных битов) по следующей формуле (принадлежащей Карлу Фридриху Гауссу ): [52] [53]
Здесь M( x , y ) обозначает среднее арифметико- геометрическое x и y . Оно получается путем многократного вычисления среднего значения ( x + y )/2 ( среднее арифметическое ) и ( среднее геометрическое ) x и y , после чего эти два числа становятся следующими x и y . Эти два числа быстро сходятся к общему пределу, который является значением M( x , y ) . m выбирается таким, что
для обеспечения необходимой точности. Увеличение m приводит к тому, что вычисление M( x , y ) занимает больше шагов (исходные x и y находятся дальше друг от друга, поэтому для сходимости требуется больше шагов), но дает большую точность. Константы π и ln(2) можно вычислить с помощью быстро сходящихся рядов.
Работая в Национальной лаборатории Лос-Аламоса над Манхэттенским проектом , Ричард Фейнман разработал алгоритм побитовой обработки для вычисления логарифма, который похож на деление в столбики и позже использовался в Соединительной машине . Алгоритм основан на том факте, что каждое действительное число x, где 1 < x < 2, может быть представлено как произведение различных множителей вида 1 + 2 − k . Алгоритм последовательно строит этот продукт P , начиная с P = 1 и k = 1 : если P · (1 + 2 − k ) < x , то он заменяет P на P · (1 + 2 − k ) . Затем оно увеличивается на единицу независимо от этого. Алгоритм останавливается, когда k становится достаточно большим, чтобы обеспечить желаемую точность. Поскольку log( x ) представляет собой сумму членов формы log(1 + 2 − k ) , соответствующих тем k , для которых фактор 1 + 2 − k был включен в произведение P , log( x ) можно вычислить по формуле простое сложение с использованием таблицы log(1 + 2 − k ) для всех k . Для таблицы логарифмов можно использовать любое основание. [54]
Логарифмы имеют множество приложений внутри и за пределами математики. Некоторые из этих явлений связаны с понятием масштабной инвариантности . Например, каждая камера раковины наутилуса является приблизительной копией следующей, увеличенной в постоянный коэффициент. Это приводит к возникновению логарифмической спирали . [55] Закон Бенфорда о распределении старших цифр также можно объяснить масштабной инвариантностью. [56] Логарифмы также связаны с самоподобием . Например, логарифмы появляются при анализе алгоритмов, которые решают проблему путем разделения ее на две похожие меньшие проблемы и исправления их решений. [57] Размеры самоподобных геометрических фигур, то есть фигур, части которых напоминают общую картину, также основаны на логарифмах. Логарифмические шкалы полезны для количественной оценки относительного изменения значения, а не его абсолютной разницы. Более того, поскольку логарифмическая функция log( x ) растет очень медленно при больших x , логарифмические масштабы используются для сжатия крупномасштабных научных данных. Логарифмы также встречаются во многих научных формулах, таких как уравнение ракеты Циолковского , уравнение Фенске или уравнение Нернста .
Научные величины часто выражаются в виде логарифмов других величин в логарифмической шкале . Например, децибел — это единица измерения , связанная с величинами логарифмического масштаба . Он основан на десятичном десятичном логарифме коэффициента мощности или в 20 раз большем десятичном логарифме коэффициента трансформации . Он используется для количественной оценки потерь уровней напряжения при передаче электрических сигналов, [58] для описания уровней мощности звуков в акустике , [59] и поглощения света в областях спектрометрии и оптики . Отношение сигнал /шум , характеризующее количество нежелательного шума по отношению к (значимому) сигналу , также измеряется в децибелах. [60] Аналогично, пиковое отношение сигнал/шум обычно используется для оценки качества звука и методов сжатия изображения с использованием логарифма. [61]
Силу землетрясения измеряют путем десятеричного логарифма энергии, излучаемой при землетрясении. Это используется в моментной шкале магнитуд или шкале магнитуд Рихтера . Например, землетрясение магнитудой 5,0 высвобождает в 32 раза больше (10 1,5 ) , а землетрясение магнитудой 6,0 — в 1000 раз (10 3 ) больше энергии, чем землетрясение магнитудой 4,0. [62] Видимая звездная величина измеряет яркость звезд логарифмически. [63] В химии отрицательный знак десятичного логарифма, десятичныйкологарифм , обозначается буквой р. [64]Например,pH— это десятичный колорарифм активностиионовгидроксония(формаионовводорода H +
набрать воды). [65] Активность ионов гидроксония в нейтральной воде составляет 10 -7 моль·л -1 , следовательно, pH равен 7. Уксус обычно имеет pH около 3. Разница в 4 соответствует соотношению активности 10 4 , то есть активность ионов гидроксония в уксусе составляет около 10 -3 моль·л -1 .
Полулогарифмические (логарифмически-линейные) графики используют для визуализации концепцию логарифмического масштаба: одна ось, обычно вертикальная, масштабируется логарифмически. Например, на диаграмме справа резкий рост с 1 миллиона до 1 триллиона сжимается до того же места (по вертикальной оси), что и рост с 1 до 1 миллиона. На таких графиках показательные функции вида f ( x ) = a · b x выглядят как прямые линии с наклоном , равным логарифму b . Логарифмические графики масштабируют обе оси логарифмически, что приводит к тому, что функции вида f ( x ) = a · x k изображаются в виде прямых линий с наклоном, равным показателю степени k . Это применяется при визуализации и анализе степенных законов . [66]
Логарифмы встречаются в нескольких законах, описывающих человеческое восприятие : [67] [68] Закон Хика предлагает логарифмическое соотношение между временем, которое люди тратят на выбор альтернативы, и количеством вариантов выбора, которые у них есть. [69] Закон Фиттса предсказывает, что время, необходимое для быстрого перемещения к целевой области, является логарифмической функцией расстояния до цели и ее размера. [70] В психофизике закон Вебера -Фехнера предполагает логарифмическую связь между стимулом и ощущением , например, фактический и воспринимаемый вес предмета, который несет человек. [71] (Однако этот «закон» менее реалистичен, чем более поздние модели, такие как степенной закон Стивенса . [72] )
Психологические исследования показали, что люди с небольшим математическим образованием склонны оценивать величины логарифмически, то есть располагать число на неотмеченной линии в соответствии с его логарифмом, так что 10 располагается так же близко к 100, как 100 к 1000. Повышение уровня образования меняет это положение. к линейной оценке (расположение 1000 в 10 раз дальше) в некоторых случаях, тогда как логарифмы используются, когда числа, которые нужно нанести на график, трудно построить линейно. [73] [74]
Логарифмы возникают в теории вероятностей : закон больших чисел диктует, что для честной монеты , когда количество подбрасываний монеты увеличивается до бесконечности, наблюдаемая доля орлов приближается к половине . Колебания этой доли примерно на половину описываются законом повторного логарифма . [75]
Логарифмы также встречаются в логнормальных распределениях . Когда логарифм случайной величины имеет нормальное распределение , говорят, что переменная имеет логнормальное распределение. [76] Логнормальные распределения встречаются во многих областях, где переменная формируется как произведение многих независимых положительных случайных величин, например, при изучении турбулентности. [77]
Логарифмы используются для оценки максимального правдоподобия параметрических статистических моделей . Для такой модели функция правдоподобия зависит как минимум от одного параметра , который необходимо оценить. Максимум функции правдоподобия возникает при том же значении параметра, что и максимум логарифма правдоподобия («логарифм правдоподобия »), поскольку логарифм является возрастающей функцией. Логарифмическое правдоподобие легче максимизировать, особенно для умноженных правдоподобий для независимых случайных величин. [78]
Закон Бенфорда описывает появление цифр во многих наборах данных , например, в высотах зданий. Согласно закону Бенфорда, вероятность того, что первая десятичная цифра элемента в выборке данных равна d (от 1 до 9), равна log 10 ( d + 1) − log 10 ( d ) независимо от единицы измерения. [79] Таким образом, можно ожидать, что около 30% данных будут иметь 1 в качестве первой цифры, 18% начинаются с 2 и т. д. Аудиторы проверяют отклонения от закона Бенфорда для выявления мошенничества в бухгалтерском учете. [80]
Преобразование логарифма — это тип преобразования данных , используемый для приближения эмпирического распределения к предполагаемому.
Анализ алгоритмов — это раздел информатики , изучающий производительность алгоритмов (компьютерных программ , решающих определенную задачу). [81] Логарифмы полезны для описания алгоритмов, которые делят проблему на более мелкие и объединяют решения подзадач. [82]
Например, чтобы найти число в отсортированном списке, алгоритм двоичного поиска проверяет среднюю запись и переходит к половине до или после средней записи, если число все еще не найдено. Этот алгоритм требует в среднем log 2 ( N ) сравнений, где N — длина списка. [83] Аналогично, алгоритм сортировки слиянием сортирует несортированный список, разделяя его на половины и сортируя их перед объединением результатов. Алгоритмы сортировки слиянием обычно требуют времени , примерно пропорционального N · log( N ) . [84] Здесь не указано основание логарифма, поскольку результат изменяется только на постоянный коэффициент при использовании другого основания. Постоянный коэффициент обычно не учитывается при анализе алгоритмов в рамках стандартной модели единой стоимости . [85]
Говорят, что функция f ( x ) растет логарифмически, если f ( x ) (точно или приблизительно) пропорциональна логарифму x . (Однако в биологических описаниях роста организма этот термин используется для обозначения экспоненциальной функции. [86] ) Например, любое натуральное число N может быть представлено в двоичной форме не более чем в log 2 N + 1 бит . Другими словами, объем памяти , необходимый для хранения N , растет логарифмически с ростом N.
Энтропия в широком смысле является мерой беспорядка некоторой системы. В статистической термодинамике энтропия S некоторой физической системы определяется как
Показатели Ляпунова используют логарифмы для измерения степени хаотичности динамической системы . Например, для частицы, движущейся по овальному бильярдному столу, даже небольшие изменения начальных условий приводят к совершенно разным траекториям частицы. Такие системы детерминированно хаотичны , поскольку небольшие ошибки измерения начального состояния предсказуемо приводят к существенно отличающимся конечным состояниям . [88] По крайней мере один показатель Ляпунова детерминированно хаотической системы положителен.
Логарифмы встречаются в определениях размерности фракталов . [89] Фракталы — это геометрические объекты, которые самоподобны в том смысле, что небольшие части воспроизводят, хотя бы грубо, всю глобальную структуру. Треугольник Серпинского (на фото) может быть покрыт тремя копиями самого себя, каждая из которых имеет стороны, равные половине исходной длины. Это делает хаусдорфову размерность этой структуры ln(3)/ln(2) ≈ 1,58 . Другое понятие размерности, основанное на логарифме, получается путем подсчета количества ячеек, необходимых для покрытия рассматриваемого фрактала.
Логарифмы связаны с музыкальными тонами и интервалами . При равной темперации соотношение частот зависит только от интервала между двумя тонами, а не от конкретной частоты или высоты отдельных тонов. Например, нота ля имеет частоту 440 Гц , а си-бемоль — 466 Гц. Интервал между ля и си-бемоль составляет полутон , как и интервал между си-бемоль и си (частота 493 Гц). Соответственно, соотношения частот совпадают:
Натуральные логарифмы тесно связаны с подсчетом простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, ...), что является важной темой теории чисел . Для любого целого числа x количество простых чисел , меньших или равных x , обозначается π ( x ) . Теорема о простых числах утверждает, что π ( x ) приблизительно определяется выражением
Логарифм факториала n , n ! = 1 · 2 · ... · n , определяется выражением
Все комплексные числа a , которые решают уравнение
называются комплексными логарифмами z , когда z (считается) комплексным числом. Комплексное число обычно представляется как z = x + iy , где x и y — действительные числа, а i — мнимая единица , квадрат которой равен −1. Такое число можно визуализировать с помощью точки на комплексной плоскости , как показано справа. Полярная форма кодирует ненулевое комплексное число z его абсолютным значением , то есть (положительным, действительным) расстоянием r до начала координат и углом между вещественной осью ( x ) Re и линией, проходящей через оба начала координат. и з . Этот угол называется аргументом z .
Абсолютное значение r z определяется выражением
Используя геометрическую интерпретацию синуса и косинуса и их периодичность в 2 π , любое комплексное число z можно обозначить как
для любого целого числа k . Очевидно, аргумент z не определен однозначно: и φ , и φ' = φ + 2 k π являются допустимыми аргументами z для всех целых чисел k , поскольку добавление 2 k π радиан или k ⋅ 360° [nb 7] к φ соответствует «обмотка» вокруг начала координат против часовой стрелки на k витков . Результирующее комплексное число всегда равно z , как показано справа для k = 1 . Можно выбрать ровно один из возможных аргументов z в качестве так называемого главного аргумента , обозначаемого Arg( z ) с заглавной буквы A , потребовав, чтобы φ принадлежал одному, удобно выбранному повороту, например - π < φ ≤ π [ 94] или 0 ≤ φ < 2 π . [95] Эти области, где аргумент z определяется однозначно, называются ветвями функции аргумента.
Формула Эйлера связывает тригонометрические функции синус и косинус с комплексной экспонентой :
Используя эту формулу и снова периодичность, справедливы следующие тождества: [96]
где ln( r ) — уникальный действительный натуральный логарифм, a k обозначает комплексный логарифм z , а k — произвольное целое число. Следовательно, комплексные логарифмы z , которые представляют собой все те комплексные значения a k , для которых a k - я степень e равна z , представляют собой бесконечное множество значений.
Если взять k так, что φ + 2 k π находится в пределах определенного интервала для главных аргументов, тогда a k называется главным значением логарифма, обозначаемым Log( z ) , опять же с заглавной буквы L . Главный аргумент любого положительного действительного числа x равен 0; следовательно, Log( x ) является действительным числом и равен действительному (натуральному) логарифму. Однако приведенные выше формулы для логарифмов произведений и степеней не обобщаются на главное значение комплексного логарифма. [97]
На иллюстрации справа изображен Log( z ) , ограничивающий аргументы z интервалом (−π, π] . Таким образом, соответствующая ветвь комплексного логарифма имеет разрывы по всей отрицательной действительной оси x , что можно увидеть на рисунке. скачок оттенка там. Этот разрыв возникает из-за перехода на другую границу в той же ветви при пересечении границы, т. е. без перехода на соответствующее значение k непрерывно соседней ветви. Такой локус называется разрезом ветки . Отказ от ограничений диапазона аргумента делает отношения «аргумент z » и, следовательно, «логарифм z » многозначными функциями .
Возведение в степень происходит во многих областях математики, и его обратную функцию часто называют логарифмом. Например, логарифм матрицы — это (многозначная) обратная функция матричной экспоненты . [98] Другим примером является p -адический логарифм , обратная функция p -адической экспоненты . Оба определяются через ряд Тейлора, аналогичный реальному случаю. [99] В контексте дифференциальной геометрии экспоненциальное отображение отображает касательное пространство в точке многообразия в окрестность этой точки. Ее обратную карту также называют логарифмической (или логарифмической) картой. [100]
В контексте конечных групп возведение в степень задается путем многократного умножения одного элемента группы b на самого себя. Дискретный логарифм — это целое число n , решающее уравнение
Другие обратные функции, подобные логарифму, включают двойной логарифм ln(ln( x )) , супер- или гипер-4-логарифм (небольшая вариация которого в информатике называется повторным логарифмом ), функцию Ламберта W и логит. . Они являются обратными функциями двойной экспоненциальной функции , тетрации , f ( w ) = we w , [103] и логистической функции соответственно. [104]
С точки зрения теории групп , тождество log( cd ) = log( c ) + log( d ) выражает групповой изоморфизм между положительными вещественными числами при умножении и вещественными числами при сложении. Логарифмические функции — единственные непрерывные изоморфизмы между этими группами. [105] Благодаря этому изоморфизму мера Хаара ( мера Лебега ) dx на вещественных числах соответствует мере Хаара dx / x на положительных вещественных числах. [106] Неотрицательные действительные числа не только имеют умножение, но также имеют сложение и образуют полукольцо , называемое вероятностным полукольцом ; на самом деле это полуполе . Затем логарифм преобразует умножение в сложение (логарифмическое умножение) и сложение в логарифмическое сложение ( LogSumExp ), давая изоморфизм полуколец между вероятностным полукольцом и логарифмическим полукольцом .
Логарифмические одноформы df / f появляются в комплексном анализе и алгебраической геометрии как дифференциальные формы с логарифмическими полюсами . [107]
Полилогарифм — это функция, определяемая формулой
Одним из интересных и порой даже удивительных аспектов анализа структур данных и алгоритмов является повсеместное наличие логарифмов... По традиции в компьютерной литературе мы опускаем запись основания
b
логарифма при
b
= 2.
.
Являясь частью I пропедевтики высшего математического анализа.
{{citation}}
: CS1 maint: unfit URL (link)