Гауссова функция

Математическая функция

В математике гауссова функция , часто просто называемая гауссовой , является функцией базовой формы и с параметрическим расширением для произвольных действительных констант a , b и ненулевого c . Она названа в честь математика Карла Фридриха Гаусса . График гауссианы представляет собой характерную симметричную форму « колоколообразной кривой ». Параметр a — это высота пика кривой, b — это положение центра пика, а c ( стандартное отклонение , иногда называемое гауссовой среднеквадратичной шириной) контролирует ширину «колокола». $${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{2})}$$ $${\displaystyle f(x)=a\exp \left(-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}\right)}$$

Гауссовские функции часто используются для представления функции плотности вероятности нормально распределенной случайной величины с ожидаемым значением μ = b и дисперсией σ ² = c ² . В этом случае гауссова функция имеет вид ^[1]

$${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right).}$$

Гауссовы функции широко используются в статистике для описания нормальных распределений , в обработке сигналов для определения гауссовых фильтров , в обработке изображений , где двумерные гауссовы функции используются для гауссового размытия , а в математике для решения уравнений теплопроводности и уравнений диффузии , а также для определения преобразования Вейерштрасса .

Характеристики

Гауссовские функции возникают путем составления показательной функции с вогнутой квадратичной функцией : где $${\displaystyle f(x)=\exp(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma ),}$$

• ${\displaystyle \alpha =-1/2c^{2},}$
• ${\displaystyle \beta =b/c^{2},}$
• ${\displaystyle \gamma =\ln a-(b^{2}/2c^{2}).}$

(Примечание: в , не путать с ) ${\displaystyle a=1/(\sigma {\sqrt {2\pi }})}$ ${\displaystyle \ln a}$ ${\displaystyle \alpha =-1/2c^{2}}$

Таким образом, гауссовские функции — это функции, логарифм которых является вогнутой квадратичной функцией.

Параметр c связан с полной шириной на половине высоты (FWHM) пика согласно

$${\displaystyle {\text{FWHM}}=2{\sqrt {2\ln 2}}\,c\approx 2.35482\,c.}$$

Затем функцию можно выразить через FWHM, представленную как w : $${\displaystyle f(x)=ae^{-4(\ln 2)(x-b)^{2}/w^{2}}.}$$

Альтернативно параметр c можно интерпретировать, сказав, что две точки перегиба функции возникают при x = b ± c .

Полная ширина на уровне десятой части максимума (FWTM) для гауссианы может представлять интерес и является $${\displaystyle {\text{FWTM}}=2{\sqrt {2\ln 10}}\,c\approx 4.29193\,c.}$$

Гауссовские функции являются аналитическими , и их предел при x → ∞ равен 0 (для приведенного выше случая b = 0 ).

Гауссовы функции относятся к тем функциям, которые являются элементарными , но не имеют элементарных первообразных ; интеграл гауссовой функции является функцией ошибок :

$${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} x+C.}$$

Тем не менее, их несобственные интегралы по всей действительной оси можно вычислить точно, используя гауссовский интеграл , и получить $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }},}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.}$$

Нормализованные гауссовы кривые с ожидаемым значением μ и дисперсией σ ² . Соответствующие параметры : b = μ и c = σ . ${\textstyle a={\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}$

Этот интеграл равен 1 тогда и только тогда, когда ( нормирующая константа ), и в этом случае гауссиана является функцией плотности вероятности нормально распределенной случайной величины с ожидаемым значением μ = b и дисперсией σ ² = c ² : ${\textstyle a={\tfrac {1}{c{\sqrt {2\pi }}}}}$ $${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left({\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).}$$

Эти гауссианы изображены на прилагаемом рисунке.

Гауссовские функции с центром в нуле минимизируют принцип неопределенности Фурье ^{[ требуются пояснения ]} .

Произведение двух гауссовых функций является гауссовой функцией, а свертка двух гауссовых функций также является гауссовой функцией, причем дисперсия является суммой исходных дисперсий: . Однако произведение двух гауссовых функций плотности вероятности (PDF) в общем случае не является гауссовой PDF. ${\displaystyle c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}$

Принимая преобразование Фурье (унитарное, углово-частотное соглашение) гауссовой функции с параметрами a = 1 , b = 0 и c, получаем другую гауссову функцию с параметрами , b = 0 и . ^[2] Так, в частности, гауссовы функции с b = 0 и сохраняются фиксированными с помощью преобразования Фурье (они являются собственными функциями преобразования Фурье с собственным значением 1). Физическая реализация — это дифракционная картина : например, фотографический слайд , пропускание которого имеет гауссово изменение, также является гауссовой функцией. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1/c}$ ${\displaystyle c=1}$

Тот факт, что функция Гаусса является собственной функцией непрерывного преобразования Фурье, позволяет нам вывести следующее интересное ^{[ требуется пояснение ]} тождество из формулы суммирования Пуассона : $${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot \left({\frac {k}{c}}\right)^{2}\right)=c\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot (kc)^{2}\right).}$$

Интеграл гауссовой функции

Интеграл произвольной гауссовой функции равен $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\,e^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx=\ a\,|c|\,{\sqrt {2\pi }}.}$$

Альтернативная форма — это когда f должна быть строго положительной для сходимости интеграла. $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }k\,e^{-fx^{2}+gx+h}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }k\,e^{-f{\big (}x-g/(2f){\big )}^{2}+g^{2}/(4f)+h}\,dx=k\,{\sqrt {\frac {\pi }{f}}}\,\exp \left({\frac {g^{2}}{4f}}+h\right),}$$

Связь со стандартным гауссовым интегралом

Интеграл для некоторых действительных констант a , b и c > 0 можно вычислить, представив его в виде гауссовского интеграла . Во-первых, константу a можно просто вынести за скобки интеграла. Затем переменная интегрирования меняется с x на y = x − b : и затем на : $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx}$$ $${\displaystyle a\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}/2c^{2}}\,dy,}$$ ${\displaystyle z=y/{\sqrt {2c^{2}}}}$ $${\displaystyle a{\sqrt {2c^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz.}$$

Затем, используя гауссово интегральное тождество $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz={\sqrt {\pi }},}$$

у нас есть $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx=a{\sqrt {2\pi c^{2}}}.}$$

Двумерная функция Гаусса

3D-график функции Гаусса с двумерной областью определения

Базовая форма: $${\displaystyle f(x,y)=\exp(-x^{2}-y^{2})}$$

В двух измерениях степень, в которую возводится e в гауссовой функции, представляет собой любую отрицательно определенную квадратичную форму. Следовательно, множества уровней гауссовой функции всегда будут эллипсами.

Конкретным примером двумерной функции Гаусса является $${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)\right).}$$

Здесь коэффициент A — амплитуда, x ₀ ,  y ₀ — центр, а σ _x ,  σ _y — разбросы пятна по осям x и y . Рисунок справа был создан с использованием A = 1, x ₀ = 0, y ₀ = 0, σ _x = σ _y = 1.

Объем под функцией Гаусса определяется выражением $${\displaystyle V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{X}\sigma _{Y}.}$$

В общем случае двумерная эллиптическая гауссова функция выражается как , где матрица положительно определена . $${\displaystyle f(x,y)=A\exp {\Big (}-{\big (}a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0})+c(y-y_{0})^{2}{\big )}{\Big )},}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}}$$

Используя эту формулу, можно создать фигуру справа, используя A = 1 , ( x ₀ , y ₀ ) = (0, 0) , a = c = 1/2 , b = 0 .

Значение параметров для общего уравнения

Для общей формы уравнения коэффициент A _{представляет} собой высоту пика, а ₍ x0 , y0 ) — центр капли.

Если мы устанавливаем , то мы поворачиваем каплю на положительный угол против часовой стрелки (для отрицательного поворота по часовой стрелке поменяйте знаки в коэффициенте b ). ^[3] $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\\b&=-{\frac {\sin \theta \cos \theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin \theta \cos \theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\\c&={\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \theta }$

Чтобы получить обратно коэффициенты , и из , и использовать ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sigma _{X}}$ ${\displaystyle \sigma _{Y}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2b}{a-c}}\right),\quad \theta \in [-45,45],\\\sigma _{X}^{2}&={\frac {1}{2(a\cdot \cos ^{2}\theta +2b\cdot \cos \theta \sin \theta +c\cdot \sin ^{2}\theta )}},\\\sigma _{Y}^{2}&={\frac {1}{2(a\cdot \sin ^{2}\theta -2b\cdot \cos \theta \sin \theta +c\cdot \cos ^{2}\theta )}}.\end{aligned}}}$

Примеры вращения гауссовых пятен можно увидеть в следующих примерах:

Используя следующий код Octave , можно легко увидеть эффект изменения параметров:

А  =  1 ; х0  =  0 ;  у0  =  0 ;сигма_X  =  1 ; сигма_Y  =  2 ;[ X ,  Y ]  =  сетка ( - 5 :. 1 : 5 ,  - 5 :. 1 : 5 );для  тета  =  0 : пи / 100 : пи  a  =  cos ( theta ) ^ 2  /  ( 2  *  sigma_X ^ 2 )  +  sin ( theta ) ^ 2  /  ( 2  *  sigma_Y ^ 2 );  b  =  sin ( 2  *  theta )  /  ( 4  *  sigma_X ^ 2 )  -  sin ( 2  *  theta )  /  ( 4  *  sigma_Y ^ 2 );  c  =  sin ( theta ) ^ 2  /  ( 2  *  sigma_X ^ 2 )  +  cos ( theta ) ^ 2  /  ( 2  *  sigma_Y ^ 2 ); Z  =  A  *  exp ( - ( a  *  ( X  -  x0 ) .^ 2  +  2  *  b  *  ( X  -  x0 )  .*  ( Y  -  y0 )  +  c  *  ( Y  -  y0 ) .^ 2 )); surf ( X ,  Y ,  Z )  ; shading  interp ;  view ( -36 , 36 ) waitforbuttonpress end  

Такие функции часто используются при обработке изображений и в вычислительных моделях функций зрительной системы — см. статьи о масштабном пространстве и аффинной адаптации формы .

См. также многомерное нормальное распределение .

Гауссова функция высшего порядка или супергауссова функция

Более общую формулировку гауссовой функции с плоской вершиной и гауссовым спадом можно получить, возведя содержание показателя степени в степень : ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle f(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right)^{P}\right).}$$

Эта функция известна как супергауссова функция и часто используется для формулировки гауссового пучка. ^[4] Эта функция также может быть выражена через полную ширину на половине максимума (FWHM), представленную как w : $${\displaystyle f(x)=A\exp \left(-\ln 2\left(4{\frac {(x-x_{0})^{2}}{w^{2}}}\right)^{P}\right).}$$

В двумерной формулировке гауссова функция вдоль и может быть объединена ^[5] с потенциально различными и для формирования прямоугольного гауссова распределения: или эллиптического гауссова распределения: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P_{X}}$ ${\displaystyle P_{Y}}$ $${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right)^{P_{X}}-\left({\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)^{P_{Y}}\right).}$$ $${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)^{P}\right)}$$

Многомерная функция Гаусса

В -мерном пространстве гауссова функция может быть определена как , где — столбец координат, — положительно определенная матрица, а обозначает транспонирование матрицы . ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx),}$$ ${\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$

Интеграл этой гауссовой функции по всему -мерному пространству определяется как ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det C}}}.}$$

Его можно легко вычислить, диагонализовав матрицу и заменив переменные интегрирования на собственные векторы . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

В более общем смысле смещенная гауссова функция определяется как , где — вектор сдвига, а матрица может считаться симметричной, и положительно определенной. Следующие интегралы с этой функцией можно вычислить с помощью той же техники: где $${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x),}$$ ${\displaystyle s={\begin{bmatrix}s_{1}&\cdots &s_{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\mathsf {T}}=C}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det {C}}}}\exp \left({\frac {1}{4}}v^{\mathsf {T}}C^{-1}v\right)\equiv {\mathcal {M}}.}$$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(a^{\mathsf {T}}x)\,dx=(a^{T}u)\cdot {\mathcal {M}},{\text{ where }}u={\frac {1}{2}}C^{-1}v.}$$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(x^{\mathsf {T}}Dx)\,dx=\left(u^{\mathsf {T}}Du+{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (DC^{-1})\right)\cdot {\mathcal {M}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}C'x+s'^{\mathsf {T}}x}\left(-{\frac {\partial }{\partial x}}\Lambda {\frac {\partial }{\partial x}}\right)e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x}\,dx\\&\qquad =\left(2\operatorname {tr} (C'\Lambda CB^{-1})+4u^{\mathsf {T}}C'\Lambda Cu-2u^{\mathsf {T}}(C'\Lambda s+C\Lambda s')+s'^{\mathsf {T}}\Lambda s\right)\cdot {\mathcal {M}},\end{aligned}}}$$ ${\textstyle u={\frac {1}{2}}B^{-1}v,\ v=s+s',\ B=C+C'.}$

Оценка параметров

Ряд областей, таких как звездная фотометрия , характеристика гауссовского пучка и спектроскопия линий эмиссии/поглощения, работают с выборочными гауссовыми функциями и нуждаются в точной оценке параметров высоты, положения и ширины функции. Для одномерной гауссовой функции существует три неизвестных параметра ( a , b , c ), а для двумерной гауссовой функции — пять . ${\displaystyle (A;x_{0},y_{0};\sigma _{X},\sigma _{Y})}$

Наиболее распространенный метод оценки гауссовых параметров — логарифмирование данных и подгонка параболы к полученному набору данных. ^{[6] [7]} Хотя это обеспечивает простую процедуру подгонки кривой , полученный алгоритм может быть смещен из-за чрезмерного взвешивания малых значений данных, что может привести к большим ошибкам в оценке профиля. Можно частично компенсировать эту проблему с помощью оценки взвешенных наименьших квадратов , уменьшая вес малых значений данных, но это также может быть смещено, позволяя хвосту гауссовой функции доминировать при подгонке. Чтобы устранить смещение, можно вместо этого использовать итеративно перевзвешенную процедуру наименьших квадратов , в которой веса обновляются на каждой итерации. ^[7] Также возможно выполнить нелинейную регрессию непосредственно на данных, без использования логарифмического преобразования данных ; для получения дополнительных опций см. подгонка распределения вероятностей .

Точность параметров

Как только у вас есть алгоритм для оценки параметров функции Гаусса, также важно знать, насколько точны эти оценки. Любой алгоритм оценки наименьших квадратов может предоставить числовые оценки дисперсии каждого параметра (т. е. дисперсии оцененной высоты, положения и ширины функции). Можно также использовать теорию границ Крамера–Рао , чтобы получить аналитическое выражение для нижней границы дисперсий параметров, учитывая определенные предположения о данных. ^{[8] [9]}

1. Шум в измеренном профиле либо распределен по Гауссу, либо распределен по Пуассону .
2. Расстояние между каждой выборкой (т.е. расстояние между пикселями, измеряющими данные) является равномерным.
3. Пик «хорошо оцифрован», так что менее 10% площади или объема под пиком (площади для одномерной гауссианы, объема для двумерной гауссианы) находится за пределами области измерения.
4. Ширина пика намного больше расстояния между точками расположения образцов (т.е. пиксели детектора должны быть как минимум в 5 раз меньше гауссовой полуширины).

Когда эти предположения удовлетворены, следующая ковариационная матрица K применяется для параметров 1D-профиля , и при iid гауссовском шуме и при пуассоновском шуме: ^[8] где — ширина пикселей, используемых для выборки функции, — квантовая эффективность детектора, а указывает стандартное отклонение шума измерения. Таким образом, индивидуальные дисперсии для параметров в случае гауссова шума равны ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \mathbf {K} _{\text{Gauss}}={\frac {\sigma ^{2}}{{\sqrt {\pi }}\delta _{X}Q^{2}}}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{2c}}&0&{\frac {-1}{a}}\\0&{\frac {2c}{a^{2}}}&0\\{\frac {-1}{a}}&0&{\frac {2c}{a^{2}}}\end{pmatrix}}\ ,\qquad \mathbf {K} _{\text{Poiss}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\begin{pmatrix}{\frac {3a}{2c}}&0&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {c}{a}}&0\\-{\frac {1}{2}}&0&{\frac {c}{2a}}\end{pmatrix}}\ ,}$$ ${\displaystyle \delta _{X}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (a)&={\frac {3\sigma ^{2}}{2{\sqrt {\pi }}\,\delta _{X}Q^{2}c}}\\\operatorname {var} (b)&={\frac {2\sigma ^{2}c}{\delta _{X}{\sqrt {\pi }}\,Q^{2}a^{2}}}\\\operatorname {var} (c)&={\frac {2\sigma ^{2}c}{\delta _{X}{\sqrt {\pi }}\,Q^{2}a^{2}}}\end{aligned}}}$$

и в случае шума Пуассона, $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (a)&={\frac {3a}{2{\sqrt {2\pi }}\,c}}\\\operatorname {var} (b)&={\frac {c}{{\sqrt {2\pi }}\,a}}\\\operatorname {var} (c)&={\frac {c}{2{\sqrt {2\pi }}\,a}}.\end{aligned}}}$$

Для параметров двумерного профиля, задающих амплитуду , положение и ширину профиля, применяются следующие ковариационные матрицы: ^[9] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle (\sigma _{X},\sigma _{Y})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{\text{Gauss}}={\frac {\sigma ^{2}}{\pi \delta _{X}\delta _{Y}Q^{2}}}&{\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}&0&0&{\frac {-1}{A\sigma _{Y}}}&{\frac {-1}{A\sigma _{X}}}\\0&{\frac {2\sigma _{X}}{A^{2}\sigma _{Y}}}&0&0&0\\0&0&{\frac {2\sigma _{Y}}{A^{2}\sigma _{X}}}&0&0\\{\frac {-1}{A\sigma _{y}}}&0&0&{\frac {2\sigma _{X}}{A^{2}\sigma _{y}}}&0\\{\frac {-1}{A\sigma _{X}}}&0&0&0&{\frac {2\sigma _{Y}}{A^{2}\sigma _{X}}}\end{pmatrix}}\\[6pt]\mathbf {K} _{\operatorname {Poisson} }={\frac {1}{2\pi }}&{\begin{pmatrix}{\frac {3A}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}&0&0&{\frac {-1}{\sigma _{Y}}}&{\frac {-1}{\sigma _{X}}}\\0&{\frac {\sigma _{X}}{A\sigma _{Y}}}&0&0&0\\0&0&{\frac {\sigma _{Y}}{A\sigma _{X}}}&0&0\\{\frac {-1}{\sigma _{Y}}}&0&0&{\frac {2\sigma _{X}}{3A\sigma _{Y}}}&{\frac {1}{3A}}\\{\frac {-1}{\sigma _{X}}}&0&0&{\frac {1}{3A}}&{\frac {2\sigma _{Y}}{3A\sigma _{X}}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$где индивидуальные дисперсии параметров задаются диагональными элементами ковариационной матрицы.

Дискретный Гауссов

Дискретное гауссовское ядро ​​(сплошная линия) в сравнении с выборочным гауссовым ядром (пунктирная линия) для масштабов ${\displaystyle t=0.5,1,2,4.}$

Можно попросить дискретный аналог гауссианы; это необходимо в дискретных приложениях, в частности, в цифровой обработке сигналов . Простым ответом является выборка непрерывной гауссианы, дающая выборочное гауссово ядро . Однако эта дискретная функция не имеет дискретных аналогов свойств непрерывной функции и может привести к нежелательным эффектам, как описано в статье реализация масштабного пространства .

Альтернативный подход заключается в использовании дискретного гауссовского ядра : ^[10] где обозначает модифицированные функции Бесселя целого порядка. $${\displaystyle T(n,t)=e^{-t}I_{n}(t)}$$ ${\displaystyle I_{n}(t)}$

Это дискретный аналог непрерывного гауссиана, поскольку он является решением дискретного уравнения диффузии (дискретное пространство, непрерывное время), точно так же, как непрерывный гауссиан является решением непрерывного уравнения диффузии. ^{[10] [11]}

Приложения

Гауссовские функции появляются во многих контекстах в естественных науках , социальных науках , математике и инженерии . Вот некоторые примеры:

• В статистике и теории вероятностей гауссовские функции появляются как функция плотности нормального распределения , которое является предельным распределением вероятностей сложных сумм, согласно центральной предельной теореме .
• Гауссовы функции являются функцией Грина для (однородного и изотропного) уравнения диффузии (и для уравнения теплопроводности , что одно и то же), частного дифференциального уравнения , которое описывает временную эволюцию плотности массы при диффузии . В частности, если плотность массы в момент времени t = 0 задана дельтой Дирака , что по сути означает, что масса изначально сосредоточена в одной точке, то распределение массы в момент времени t будет задано гауссовой функцией, причем параметр a линейно связан с 1/ √ t, а c линейно связан с √ t ; эта изменяющаяся во времени гауссова функция описывается тепловым ядром . В более общем смысле, если начальная плотность массы равна φ( x ), то плотность массы в более поздние моменты времени получается путем взятия свертки φ с гауссовой функцией. Свертка функции с гауссовой также известна как преобразование Вейерштрасса .
• Гауссова функция — это волновая функция основного состояния квантового гармонического осциллятора .
• Молекулярные орбитали, используемые в вычислительной химии, могут быть линейными комбинациями гауссовых функций, называемых гауссовыми орбиталями (см. также базисный набор (химия) ).
• Математически производные функции Гаусса могут быть представлены с помощью функций Эрмита . Для единичной дисперсии n -я производная функции Гаусса представляет собой саму функцию Гаусса, умноженную на n -й полином Эрмита , с точностью до масштаба.
• Следовательно, гауссовы функции также связаны с состоянием вакуума в квантовой теории поля .
• Гауссовы пучки используются в оптических системах, микроволновых системах и лазерах.
• В масштабном представлении пространства гауссовы функции используются в качестве сглаживающих ядер для генерации многомасштабных представлений в компьютерном зрении и обработке изображений . В частности, производные гауссианов ( функции Эрмита ) используются в качестве основы для определения большого количества типов визуальных операций.
• Гауссовские функции используются для определения некоторых типов искусственных нейронных сетей .
• В флуоресцентной микроскопии для аппроксимации диска Эйри используется двумерная гауссова функция , описывающая распределение интенсивности, создаваемое точечным источником .
• В обработке сигналов они служат для определения гауссовых фильтров , например, в обработке изображений , где 2D-гауссовы фильтры используются для гауссовых размытий . В цифровой обработке сигналов используется дискретное гауссовское ядро , которое может быть аппроксимировано биномиальным коэффициентом ^[12] или выборкой гауссова фильтра.
• В геостатистике они использовались для понимания изменчивости между шаблонами сложного обучающего изображения. Они используются с ядерными методами для кластеризации шаблонов в пространстве признаков. ^[13]

Смотрите также

• Нормальное распределение
• Распределение Коши
• Ядро радиальной базисной функции

Ссылки

1. Сквайрс, Г. Л. (2001-08-30). Практическая физика (4-е изд.). Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9781139164498. ISBN 978-0-521-77940-1.
2. Weisstein, Eric W. "Fourier Transform – Gaussian". MathWorld . Получено 19 декабря 2013 г.
3. Nawri, Nicholas. "Berechnung von Kovarianzellipsen" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2019-08-14 . Получено 14 августа 2019 .
4. Parent, A., M. Morin и P. Lavigne. «Распространение супергауссовых распределений поля». Optical and Quantum Electronics 24.9 (1992): S1071–S1079.
5. "Руководство по командам оптического программного обеспечения GLAD, запись о команде GAUSSIAN" (PDF) . Исследования в области прикладной оптики . 2016-12-15.
6. Каруана, Ричард А.; Сирл, Роджер Б.; Хеллер, Томас.; Шупак, Сол И. (1986). «Быстрый алгоритм разрешения спектров». Аналитическая химия . 58 (6). Американское химическое общество (ACS): 1162–1167. doi :10.1021/ac00297a041. ISSN  0003-2700.
7. Hongwei Guo, "Простой алгоритм подгонки гауссовой функции", IEEE Sign. Proc. Mag. 28(9): 134-137 (2011).
8. N. Hagen, M. Kupinski и EL Dereniak, "Оценка гауссовского профиля в одном измерении", Appl. Opt. 46:5374–5383 (2007)
9. N. Hagen и EL Dereniak, "Оценка гауссовского профиля в двух измерениях", Appl. Opt. 47:6842–6851 (2008)
10. Линдеберг, Т., «Масштабное пространство для дискретных сигналов», PAMI(12), № 3, март 1990 г., стр. 234–254.
11. Кэмпбелл, Дж., 2007, Модель SMM как краевая задача с использованием дискретного уравнения диффузии , Theor Popul Biol. 2007 Декабрь;72(4):539–46.
12. Хаддад, РА и Акансу, АН, 1991, Класс быстрых гауссовых биномиальных фильтров для обработки речи и изображений , IEEE Trans. on Signal Processing, 39-3: 723–727
13. Honarkhah, M и Caers, J, 2010, Стохастическое моделирование закономерностей с использованием моделирования закономерностей на основе расстояний , Mathematical Geosciences, 42: 487–517

Внешние ссылки

• Mathworld, включает доказательство соотношений между c и FWHM
• «Интегрирование кривой нормального распределения». MathPages.com .
• Реализация гауссовского распределения на Haskell, Erlang и Perl
• Бенсимхун Майкл, N-мерная кумулятивная функция и другие полезные факты о гауссианах и нормальных плотностях (2009)
• Код для подгонки гауссианов в ImageJ и Fiji.