Колчан (математика)

Ориентированный граф, который также является мультиграфом

В математике , особенно в теории представлений , колчан — это другое название мультиорграфа ; то есть направленного графа , в котором разрешены  петли и множественные стрелки между двумя вершинами . Колчаны обычно используются в теории представлений: представление V колчана назначает векторное пространство  V ( x ) каждой вершине  x колчана и линейное отображение  V ( a ) каждой стрелке  a .

В теории категорий колчан можно понимать как базовую структуру категории , но без композиции или обозначения тождественных морфизмов. То есть, существует забывающий функтор из Cat (категория категорий) в Quiv (категория мультиорграфов). Его левый сопряженный — это свободный функтор , который из колчана делает соответствующую свободную категорию .

Определение

Колчан Γ состоит из:

• Множество V вершин графа Γ
• Множество E ребер Γ
• Две функции: ⁠ ⁠ ${\displaystyle s:E\to V}$ задающая начало или источник края, и еще одна функция, ⁠ ⁠ ${\displaystyle t:E\to V}$ задающая цель края.

Это определение идентично определению мультидиграфа .

Морфизм колчанов — это отображение вершин в вершины, которое переводит направленные ребра в направленные ребра. Формально, если и — два колчана, то морфизм колчанов состоит из двух функций и таких , что следующие диаграммы коммутируют : ${\displaystyle \Gamma =(V,E,s,t)}$ ${\displaystyle \Gamma '=(V',E',s',t')}$ ${\displaystyle m=(m_{v},m_{e})}$ ${\displaystyle m_{v}:V\to V'}$ ${\displaystyle m_{e}:E\to E'}$

То есть,

${\displaystyle m_{v}\circ s=s'\circ m_{e}}$

и

${\displaystyle m_{v}\circ t=t'\circ m_{e}}$

Категориально-теоретическое определение

Приведенное выше определение основано на теории множеств ; теоретико-категорное определение обобщает его в функтор из свободного колчана в категорию множеств .

Свободный колчан (также называемый гуляющим колчаном , колчаном Кронекера , 2-колчаном Кронекера или категорией Кронекера ) Q — это категория с двумя объектами и четырьмя морфизмами: Объектами являются V и E. Четыре морфизма — это ⁠ ⁠ ${\displaystyle s:E\to V,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle t:E\to V,}$ и тождественные морфизмы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {id} _{V}:V\to V}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {id} _{E}:E\to E.}$ То есть свободный колчан — это категория

${\displaystyle E\;{\begin{matrix}s\\[-6pt]\rightrightarrows \\[-4pt]t\end{matrix}}\;V}$

Тогда колчан является функтором ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Gamma :Q\to \mathbf {Set} }$ . (То есть, определяет два множества и , и две функции ; это полный объем того, что значит быть функтором из в .) ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (V)}$ ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \Gamma (s),\Gamma (t)\colon \Gamma (E)\longrightarrow \Gamma (V)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

В более общем смысле , колчан в категории C является функтором . ${\displaystyle \Gamma :Q\to C.}$ Категория Quiv ( C ) колчанов в C является категорией функторов , где:

• объекты являются функторами ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Gamma :Q\to C,}$
• Морфизмы — это естественные преобразования между функторами.

Обратите внимание, что Quiv — это категория предпучков в противоположной категории Q ^op .

Алгебра путей

Если Γ — колчан, то путь в Γ — это последовательность стрелок

${\displaystyle a_{n}a_{n-1}\dots a_{3}a_{2}a_{1}}$

так что голова a _{i +1} является хвостом a _i для i = 1, …, n −1 , используя соглашение о конкатенации путей справа налево. Обратите внимание, что путь в теории графов имеет более строгое определение, и что эта концепция вместо этого совпадает с тем, что в теории графов называется прогулкой .

Если K — поле , то алгебра колчанов или алгебра путей K  Γ определяется как векторное пространство, имеющее все пути (длиной ≥ 0) в колчане в качестве базиса (включая для каждой вершины i колчана Γ тривиальный путь e _i длины 0; эти пути не считаются равными для разных i ), и умножение, заданное конкатенацией путей. Если два пути не могут быть конкатенированы, потому что конечная вершина первого не равна начальной вершине второго, их произведение определяется как равное нулю. Это определяет ассоциативную алгебру над K . Эта алгебра имеет единичный элемент тогда и только тогда, когда колчан имеет только конечное число вершин. В этом случае модули над K Γ  естественным образом отождествляются с представлениями Γ . Если колчан имеет бесконечно много вершин, то K  Γ имеет приближенное тождество, заданное формулой , где F пробегает конечные подмножества множества вершин Γ . ${\textstyle e_{F}:=\sum _{v\in F}1_{v}}$

Если колчан имеет конечное число вершин и стрелок, а конечная вершина и начальная вершина любого пути всегда различны (т. е. Q не имеет ориентированных циклов), то K  Γ является конечномерной наследственной алгеброй над K. Обратно, если K алгебраически замкнуто, то любая конечномерная наследственная ассоциативная алгебра над K эквивалентна по Морите алгебре путей своего колчана Ext (т. е. они имеют эквивалентные модульные категории).

Изображения колчанов

Представление колчана Q — это ассоциация R -модуля с каждой вершиной Q и морфизма между каждым модулем для каждой стрелки.

Представление V колчана Q называется тривиальным , если для всех вершин x из  Q . ${\displaystyle V(x)=0}$

Морфизм , ⁠ ⁠ между представлениями колчана Q , — это набор линейных отображений , ⁠ ⁠ таких, что для каждой стрелки a в Q из x в y , т. е . квадраты, которые f образует со стрелками V и V', все коммутируют. Морфизм, f , является изоморфизмом , если f ( x ) обратим для всех вершин x в колчане. С этими определениями представления колчана образуют категорию . ${\displaystyle f:V\to V',}$ ${\displaystyle f(x):V(x)\to V'(x)}$ ${\displaystyle V'(a)f(x)=f(y)V(a),}$

Если V и W являются представлениями колчана Q , то прямая сумма этих представлений определяется соотношением для всех вершин x в Q и является прямой суммой линейных отображений V ( a ) и  W ( a ) . ${\displaystyle V\oplus W,}$ ${\displaystyle (V\oplus W)(x)=V(x)\oplus W(x)}$ ${\displaystyle (V\oplus W)(a)}$

Представление называется разложимым, если оно изоморфно прямой сумме ненулевых представлений.

Категориальное определение представления колчана также может быть дано. Сам колчан можно считать категорией, где вершины являются объектами, а пути — морфизмами. Тогда представление Q — это просто ковариантный функтор из этой категории в категорию конечномерных векторных пространств . Морфизмы представлений Q — это в точности естественные преобразования между соответствующими функторами.

Для конечного колчана Γ (колчана с конечным числом вершин и ребер) пусть K  Γ будет его алгеброй путей. Пусть e _i обозначает тривиальный путь в вершине  i . Тогда мы можем связать с вершиной  i проективный K  Γ -модуль K  Γ e _{i ,} состоящий из линейных комбинаций путей, которые имеют начальную вершину  i . Это соответствует представлению Γ , полученному путем помещения копии K в каждую вершину, которая лежит на пути, начинающемся в i и 0 в каждой другой вершине. Каждому ребру, соединяющему две копии K, мы связываем тождественное отображение.

Эту теорию связали с кластерными алгебрами Дерксен, Вейман и Зелевински. ^[1]

Трепетать от отношений

Для обеспечения коммутативности некоторых квадратов внутри колчана обобщением является понятие колчанов с отношениями (также называемых связанными колчанами). Отношение на колчане Q — это K линейная комбинация путей из Q. Колчан с отношением — это пара ( Q , I ) , где Q — колчан и идеал алгебры путей. Фактор K  Γ / I — это алгебра путей ( Q , I ) . ${\displaystyle I\subseteq K\Gamma }$

Разнообразие колчанов

Учитывая размерности векторных пространств, назначенных каждой вершине, можно сформировать многообразие, которое характеризует все представления этого колчана с указанными размерностями, и рассмотреть условия устойчивости. Они дают многообразия колчанов, как сконструировано Кингом (1994).

Теорема Габриэля

Колчан имеет конечный тип , если он имеет только конечное число классов изоморфизма неразложимых представлений . Габриэль (1972) классифицировал все колчаны конечного типа, а также их неразложимые представления. Точнее, теорема Габриэля утверждает, что:

1. _{(Связный) колчан имеет конечный тип тогда и только тогда , когда его} базовый граф (при игнорировании направлений стрелок) является одной из _{диаграмм} ADE Дынкина : An , Dn , E6 , E7 , E8 .
2. Неразложимые представления находятся во взаимно-однозначном соответствии с положительными корнями корневой системы диаграммы Дынкина.

Длаб и Рингель (1973) нашли обобщение теоремы Габриэля, в котором встречаются все диаграммы Дынкина конечномерных полупростых алгебр Ли. Это было обобщено на все колчаны и соответствующие им алгебры Каца–Муди Виктором Кацем.

Смотрите также

• классификация ADE
• Категория клея
• Теория сборки
• Графовая алгебра
• Групповое кольцо
• Алгебра инцидентности
• Диаграмма колчана
• Полуинвариант колчана
• Торическое разнообразие
• Производная некоммутативная алгебраическая геометрия - Колчаны помогают кодировать данные производных некоммутативных схем

Ссылки

1. Дерксен, Харм; Вейман, Ежи; Зелевинский, Андрей (2008-04-21), Колчаны с потенциалами и их представления I: Мутации , arXiv : 0704.0649. Опубликовано в J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), стр. 749-790.

Книги

Кириллов, Александр (2016), Представления колчанов и многообразия колчанов, Американское математическое общество, ISBN 978-1-4704-2307-0

Конспект лекций

• Кроули-Боуви, Уильям, Лекции о представлениях колчанов (PDF) , архивировано из оригинала 20.08.2017{{citation}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
• Представления колчана в торической геометрии

Исследовать

• Проективные торические многообразия как тонкие пространства модулей представлений колчана

Источники

• Дерксен, Харм; Вейман, Ежи (февраль 2005 г.), «Представления колчана» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 52 (2)
• Длаб, Властимил; Рингель, Клаус Майкл (1973), Об алгебрах конечного типа представления, Carleton Mathematical Lecture Notes, т. 2, Кафедра математики, Карлтонский университет, Оттава, Онтарио, MR  0347907
• Crawley-Boevey, William (1992), Notes on Quiver Representations (PDF) , Оксфордский университет , архивировано из оригинала (PDF) 2011-07-24 , извлечено 2007-02-17
• Габриэль, Питер (1972), «Unzerlegbare Darstellungen. I», Manuscripta Mathematica , 6 (1): 71–103, doi : 10.1007/BF01298413, ISSN  0025-2611, MR  0332887.
• Виктор Кац, "Системы корней, представления колчанов и теория инвариантов" . Теория инвариантов (Монтекатини, 1982) , стр. 74–108, Lecture Notes in Math. 996, Springer-Verlag, Берлин 1983. ISBN 3-540-12319-9 ^[1] 
• Кинг, Аластер (1994), «Модули представлений конечномерных алгебр», Quart. J. Math. , 45 (180): 515–530, doi : 10.1093/qmath/45.4.515
• Savage, Alistair (2006) [2005], «Конечномерные алгебры и колчаны», в Francoise, J.-P.; Naber, GL; Tsou, ST (ред.), Encyclopedia of Mathematical Physics , т. 2, Elsevier, стр. 313–320, arXiv : math/0505082 , Bibcode : 2005math......5082S
• Симсон, Дэниел; Сковронски, Анджей; Ассем, Ибрагим (2007), Элементы теории представлений ассоциативных алгебр , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88218-7
• Бернштейн, ИН; Гельфанд, ИМ; Пономарев, ВА, "Функторы Кокстера и теорема Габриэля", Успехи математических наук 28 (1973), № 2(170), 19–33. Перевод на сайте Бернштейна.
• Колчан в n- лаборатории

1. Герарделли, Франческо; Centro Internazionale Matematico Estivo, ред. (1983). Теория инвариантов: материалы 1-й сессии Международного математического центра (CIME) 1982 г., состоявшейся в Монтекатини, Италия, 10-18 июня 1982 г. Конспекты лекций по математике. Берлин Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-540-12319-4.