Напряжение цилиндра

Вращательно-симметричное распределение напряжений

В механике напряжение в цилиндре — это распределение напряжений с вращательной симметрией; то есть, который остается неизменным, если напряженный объект вращается вокруг некоторой фиксированной оси.

Модели напряжения в цилиндрах включают в себя:

• окружное напряжение , или кольцевое напряжение , нормальное напряжение в тангенциальном ( азимутальном ) направлении.
• осевое напряжение — нормальное напряжение, параллельное оси цилиндрической симметрии.
• радиальное напряжение — нормальное напряжение в направлениях, копланарных, но перпендикулярных оси симметрии.

Эти три главных напряжения — кольцевое, продольное и радиальное — можно рассчитать аналитически с использованием взаимно перпендикулярной трехосной системы напряжений. ^[1]

Классическим примером (и тезкой) обручного напряжения является натяжение железных лент или обручей деревянной бочки . В прямой закрытой трубе любая сила, приложенная к стенке цилиндрической трубы из-за перепада давления , в конечном итоге приведет к возникновению кольцевых напряжений. Аналогично, если эта труба имеет плоские торцевые заглушки, любая сила, приложенная к ним статическим давлением, вызовет перпендикулярное осевое напряжение на той же стенке трубы. Тонкие сечения часто имеют пренебрежимо малое радиальное напряжение , но точные модели цилиндрических оболочек с толстыми стенками требуют учета таких напряжений.

В толстостенных сосудах под давлением могут быть использованы методы строительства, позволяющие создать благоприятную структуру начальных напряжений. Эти сжимающие напряжения на внутренней поверхности уменьшают общее окружное напряжение в цилиндрах, находящихся под давлением. Цилиндрические сосуды такого типа обычно конструируются из концентрических цилиндров, сжатых (или расширяющихся) друг в друге, т. е. сборных термоусадочных цилиндров, но также могут быть изготовлены из отдельных цилиндров путем автофреттинга толстых цилиндров. ^[2]

Определения

Растягивающая нагрузка центробежного происхождения

Компоненты окружного напряжения

Окружное напряжение — это сила, действующая по окружности (перпендикулярно оси и радиусу объекта) в обоих направлениях на каждую частицу в стенке цилиндра. Его можно описать как:

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {F}{tl}}\ }$

где:

• F — сила , действующая по окружности на участок стенки цилиндра, сторона которого имеет следующие две длины:
• t - радиальная толщина цилиндра
• l — осевая длина цилиндра.

Альтернативой окружному напряжению при описании окружного напряжения является напряжение стенки или натяжение стенки ( T ), которое обычно определяется как общая окружная сила, действующая по всей радиальной толщине: ^[3]

${\displaystyle T={\dfrac {F}{l}}\ }$

Цилиндрические координаты

Наряду с осевым напряжением и радиальным напряжением окружное напряжение является компонентой тензора напряжений в цилиндрических координатах .

Обычно полезно разложить любую силу, приложенную к объекту с вращательной симметрией, на компоненты, параллельные цилиндрическим координатам r , z и θ . Эти компоненты силы вызывают соответствующие напряжения: радиальное напряжение, осевое напряжение и кольцевое напряжение соответственно.

Связь с внутренним давлением

Тонкостенное предположение

Чтобы предположение о тонкостенности было действительным, толщина стенки сосуда должна составлять не более одной десятой (часто называемой диаметром / t> 20) его радиуса. ^[4] Это позволяет рассматривать стенку как поверхность и впоследствии использовать уравнение Юнга – Лапласа для оценки окружного напряжения, создаваемого внутренним давлением на тонкостенном цилиндрическом сосуде под давлением:

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{t}}\ }$ (для цилиндра)

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{2t}}\ }$ (для сферы)

где

• P — внутреннее давление
• t - толщина стенки
• r - средний радиус цилиндра
• ${\displaystyle \sigma _{\theta }\!}$это напряжение обруча.

Уравнение кольцевого напряжения для тонких оболочек приближенно справедливо и для сосудов сферической формы, включая клетки растений и бактерий, в которых внутреннее тургорное давление может достигать нескольких атмосфер. В практических инженерных приложениях для цилиндров (труб и трубок) кольцевое напряжение часто преобразуется в давление и называется формулой Барлоу .

Единицы измерения P в системе дюйм-фунт-секунда (IPS) — это фунт-сила на квадратный дюйм (psi). Единицами t и d являются дюймы (дюймы). Единицами СИ для P являются паскали (Па), а t и d =2 r — метры (м).

Когда сосуд имеет закрытые концы, на них действует внутреннее давление, развивающее силу вдоль оси цилиндра. Оно известно как осевое напряжение и обычно меньше окружного напряжения.

${\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {F}{A}}={\dfrac {Pd^{2}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}}\ }$

Хотя это можно приблизить к

${\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}}\ }$

Существует также радиальное напряжение , которое развивается перпендикулярно поверхности и может быть оценено в тонкостенных цилиндрах как: ${\displaystyle \sigma _{r}\ }$

${\displaystyle \sigma _{r}={-P}\ }$

В предположении о тонкостенности это соотношение велико, поэтому в большинстве случаев эту составляющую считают незначительной по сравнению с окружным и осевым напряжениями. ^[5] ${\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }$

Толстостенные сосуды

Когда изучаемый цилиндр имеет коэффициент меньше 10 (часто обозначаемый как ), уравнения тонкостенного цилиндра больше не выполняются, поскольку напряжения значительно различаются между внутренней и внешней поверхностями, и напряжением сдвига в поперечном сечении больше нельзя пренебрегать. ${\displaystyle {\text{radius}}/{\text{thickness}}}$ ${\displaystyle {\text{diameter}}/{\text{thickness}}<20}$

Эти напряжения и деформации можно рассчитать с помощью уравнений Ламе , ^[6] набора уравнений, разработанного французским математиком Габриэлем Ламе .

${\displaystyle \sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}\ }$

${\displaystyle \sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}}\ }$

где:

${\displaystyle A}$и являются константами интегрирования, которые можно найти из граничных условий: ${\displaystyle B}$

${\displaystyle r}$— радиус интересующей точки (например, внутренней или внешней стены).

Для цилиндра с граничными условиями:

${\displaystyle p(r=a)=P_{a}}$(т.е. внутреннее давление на внутренней поверхности), ${\displaystyle P_{a}}$

${\displaystyle p(r=b)=P_{b}}$(т.е. внешнее давление на внешней поверхности), ${\displaystyle P_{b}}$

получаются следующие константы:

${\displaystyle A={\dfrac {P_{a}a^{2}-P_{b}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}\ }$,

${\displaystyle B={\dfrac {a^{2}b^{2}(P_{a}-P_{b})}{b^{2}-a^{2}}}\ }$.

Используя эти константы, получаем следующее уравнение для окружного напряжения:

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {P_{a}a^{2}-P_{b}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}+{\dfrac {a^{2}b^{2}(P_{a}-P_{b})}{(b^{2}-a^{2})r^{2}}}\ }$

Для твердого цилиндра: тогда и твердый цилиндр не может иметь внутреннего давления так . ${\displaystyle R_{i}=0}$ ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle A=P_{o}}$

Поскольку для толстостенных цилиндров это соотношение меньше 10, радиальное напряжение, пропорционально другим напряжениям, становится значительным (т.е. P уже не намного, намного меньше, чем Pr/t и Pr/2t), и поэтому толщина стены становится основным фактором при проектировании (Harvey, 1974, стр. 57). ${\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }$

В теории сосудов под давлением любой элемент стенки оценивается в трехосной системе напряжений, причем тремя главными напряжениями являются окружное, продольное и радиальное. Следовательно, по определению не существует касательных напряжений в поперечной, тангенциальной или радиальной плоскостях. ^[1]

В толстостенных цилиндрах максимальное касательное напряжение в любой точке определяется половиной алгебраической разности между максимальным и минимальным напряжениями, которая, следовательно, равна половине разности между кольцевым и радиальным напряжениями. Напряжение сдвига достигает максимума на внутренней поверхности, что важно, поскольку оно служит критерием разрушения, поскольку оно хорошо коррелирует с реальными испытаниями на разрыв толстых цилиндров (Harvey, 1974, стр. 57).

Практические эффекты

Инженерное дело

Разрушение определяется окружным напряжением в отсутствие других внешних нагрузок, поскольку оно является самым большим главным напряжением. Обратите внимание, что наибольшую нагрузку обруч испытывает внутри (снаружи и внутри наблюдается одинаковая общая нагрузка, которая распределяется по разным окружностям); следовательно, трещины в трубах теоретически должны начинаться изнутри трубы. Вот почему проверки труб после землетрясений обычно включают в себя помещение камеры внутрь трубы для проверки на наличие трещин. Податливость определяется эквивалентным напряжением, которое включает окружное напряжение и продольное или радиальное напряжение, если оно отсутствует.

Лекарство

При патологии стенок сосудов или желудочно-кишечного тракта напряжение стенки представляет собой мышечное напряжение стенки сосуда. В результате закона Лапласа , если в стенке кровеносного сосуда образуется аневризма , радиус сосуда увеличивается. Это означает, что внутренняя сила, действующая на сосуд, уменьшается, и, следовательно, аневризма будет продолжать расширяться, пока не разорвется. Похожая логика применима и к образованию дивертикулов в кишечнике . ^[7]

Разработка теории

Чугунная опора железнодорожного моста Чепстоу , 1852 год. Обручи из кованого железа с шарнирными соединениями (более прочные на растяжение, чем чугун) сопротивляются окружным напряжениям. ^[8]

Первый теоретический анализ напряжения в цилиндрах был разработан инженером середины 19 века Уильямом Фэйрберном при содействии его математического аналитика Итона Ходжкинсона . Их первый интерес заключался в изучении конструкции и неисправностей паровых котлов . ^[9] Фэйрберн понял, что окружное напряжение в два раза превышает продольное напряжение, что является важным фактором при сборке корпусов котлов из катаных листов, соединенных клепкой . Позже работы были применены к строительству мостов и изобретению коробчатой ​​балки . В Чепстоуском железнодорожном мосту чугунные опоры укреплены внешними полосами из кованого железа . Вертикальная, продольная сила – это сжимающая сила, которой чугун хорошо способен противостоять. Окружное напряжение является растягивающим, поэтому добавляется кованое железо, материал с большей прочностью на разрыв, чем чугун.

Смотрите также

• Может быть вызвано перегрузкой цилиндра:
  • Бостонская патоковая катастрофа
  • Взрыв котла
  • Кипящая жидкость, расширяющаяся, взрыв пара
• Сопутствующие инженерные темы:
  • Концентрация стресса
  • Гидростатический тест
  • коробление
  • Артериальное давление#Relation_to_wall_tension
  • Трубопровод#Stress_anaанализ
• Проекты, на которые сильно влияет этот стресс:
  • Сосуд под давлением
    • Ракетный двигатель
  • Маховик
  • Купол Флорентийского собора

Рекомендации

1. «Расширенный структурный анализ» (PDF) . Университет Суонси. 2020. с. 8. Архивировано из оригинала (PDF) 19 августа 2019 года.
2. Харви, Джон Ф. (1974). «Теория и проектирование современных сосудов под давлением». Ван Ностранд Рейнхольд. стр. 60–61.
3. Напряжение в стенках артерий, автор R Nave. Кафедра физики и астрономии Университета штата Джорджия. Проверено в июне 2011 г.
4. «Сосуд под давлением, тонкостенный обруч, уравнение и калькулятор продольных напряжений - преимущество инженеров» .
5. «Сосуды под давлением» (PDF) . web.mit.edu . Проверено 12 июня 2020 г.
6. «Механика материалов - Часть 35 (Толстый цилиндр - уравнение Ламе)» . youtube.com . Проверено 23 октября 2022 г.
7. Э. Гольян, Патология, 2-е изд. Mosby Elsevier, серия Rapid Review.
8. Джонс, Стивен К. (2009). Брюнель в Южном Уэльсе . Том. II: Связь и уголь. Страуд: Историческая пресса. п. 247. ИСБН 9780752449128.
9. Фэйрберн, Уильям (1851). «Строительство котельных». Две лекции: «Устройство котлов» и «О взрывах котлов и средствах их предотвращения». п. 6.

• Тонкостенные сосуды под давлением. 19 июня 2008 г. {{cite book}}: |work=игнорируется ( помощь )