В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория колец , свободная алгебра является некоммутативным аналогом кольца многочленов , поскольку ее элементы могут быть описаны как «многочлены» с некоммутирующими переменными. Аналогично, кольцо многочленов может рассматриваться как свободная коммутативная алгебра .
Для R коммутативного кольца свободная ( ассоциативная , унитальная ) алгебра на n неопределенных { X 1 ,..., X n } является свободным R -модулем с базисом, состоящим из всех слов в алфавите { X 1 ,..., X n } (включая пустое слово, которое является единицей свободной алгебры). Этот R -модуль становится R -алгеброй , если определить умножение следующим образом: произведение двух базисных элементов является конкатенацией соответствующих слов:
и произведение двух произвольных R -модульных элементов, таким образом, определяется однозначно (потому что умножение в R -алгебре должно быть R -билинейным). Эта R -алгебра обозначается R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩. Эту конструкцию можно легко обобщить на произвольное множество X неопределенностей.
Короче говоря, для произвольного множества свободная ( ассоциативная , унитальная ) R - алгебра на X есть
с R -билинейным умножением, которое является конкатенацией слов, где X * обозначает свободный моноид на X (т.е. слова на буквах X i ), обозначает внешнюю прямую сумму , а Rw обозначает свободный R -модуль на 1 элементе, слове w .
Например, в R ⟨ X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ⟩ для скаляров α, β, γ, δ ∈ R конкретным примером произведения двух элементов является
Кольцо некоммутативных многочленов можно отождествить с кольцом моноидов над R свободного моноида всех конечных слов в X i .
Поскольку слова в алфавите { X 1 , ..., X n } образуют базис R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩, ясно, что любой элемент R ⟨ X 1 , ..., X n ⟩ может быть записан единственным образом в виде:
где — элементы R , и все, кроме конечного числа, эти элементы равны нулю. Это объясняет, почему элементы R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩ часто обозначаются как «некоммутативные многочлены» от «переменных» (или «неопределенностей») X 1 ,..., X n ; элементы называются «коэффициентами» этих многочленов, а R -алгебра R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩ называется «некоммутативной многочленной алгеброй над R от n неопределенностей». Обратите внимание, что в отличие от реального кольца многочленов , переменные не коммутируют . Например, X 1 X 2 не равно X 2 X 1 .
В более общем случае можно построить свободную алгебру R ⟨ E ⟩ на любом множестве образующих E. Поскольку кольца можно рассматривать как Z -алгебры, свободное кольцо на E можно определить как свободную алгебру Z ⟨ E ⟩.
Над полем свободная алгебра на n неопределенных может быть построена как тензорная алгебра на n -мерном векторном пространстве . Для более общего кольца коэффициентов та же конструкция работает, если мы возьмем свободный модуль на n образующих .
Конструкция свободной алгебры на E имеет функториальный характер и удовлетворяет подходящему универсальному свойству . Функтор свободной алгебры является левым сопряженным к забывающему функтору из категории R -алгебр в категорию множеств .
Свободные алгебры над телами являются свободными кольцами идеалов .
