Моноидное кольцо

В абстрактной алгебре моноидное кольцо — это кольцо, построенное из кольца и моноида , точно так же, как групповое кольцо состоит из кольца и группы .

Определение

Пусть R — кольцо и G — моноид. Моноидное кольцо или моноидная алгебра группы G над R , обозначаемая R [ G ] или RG , представляет собой набор формальных сумм , где для каждого и r _g = 0 для всех, кроме конечного числа g , снабженных коэффициентным сложением, и умножение, при котором элементы R коммутируют с элементами G . Более формально, R [ G ] — это свободный R -модуль на множестве G , наделенный R -линейным умножением, определенным на базовых элементах на g·h := gh , где левая часть понимается как умножение в R [ G ] и правая часть понимается в G . ${\ displaystyle \ sum _ {g \ in G} r_ {g} g}$ $r_{g}\in R$ $г\in G$

Альтернативно, можно отождествить элемент с функцией e _g , которая отображает g в 1, а любой другой элемент G в 0. Таким образом, R [ G ] отождествляется с набором функций φ: G → R таких, что { g : φ( g ) ≠ 0 } конечно. оснащен сложением функций и умножением, определяемым $г\in R[G]$

(\phi \psi)(g)=\sum _{k\ell =g}\phi (k)\psi (\ell)

Если G — группа , то R [ G ] также называется групповым кольцом группы G над R.

Универсальная собственность

Для данных R и G существует кольцевой гомоморфизм α: R → R [ G ] , переводящий каждый r в r 1 (где 1 — единичный элемент G ), и моноидный гомоморфизм β: G → R [ G ] (где последний рассматривается как моноид при умножении), переводя каждый g в 1 g (где 1 — мультипликативное тождество R ). Мы имеем , что α( r ) коммутирует с β( g ) для всех r в R и g в G.

Универсальное свойство кольца моноида гласит, что дано кольцо S , гомоморфизм колец α': R → S и гомоморфизм моноида β': G → S в мультипликативный моноид кольца S такой, что α'( r ) коммутирует с β'( g ) для всех r в R и g в G существует единственный гомоморфизм колец γ: R [ G ] → S такой, что составление α и β с γ дает α' и β '.

Увеличение

Пополнение — это кольцевой гомоморфизм η : R [ G ] → R , определенный формулой

{\ displaystyle \ eta \ left (\ sum _ {g \ in G} r_ {g} g \ right) = \ sum _ {g \ in G} r_ {g}.}

Ядро η называется идеалом приращения . Это свободный R - модуль с базисом, состоящим из 1 – g для всех g в G , не равных 1.

Примеры

Учитывая кольцо R и (аддитивный) моноид натуральных чисел N (или { x ⁿ }, рассматриваемый мультипликативно), мы получаем кольцо R [{ x ⁿ }] =: R [ x ] многочленов над R . Моноид N ⁿ (с добавкой) дает кольцо полиномов с n переменными: R [ N ⁿ ] =: R [ X ₁ , ..., X _n ].

Обобщение

Если G — полугруппа , та же конструкция дает полугрупповое кольцо R [ G ].

Смотрите также

дальнейшее чтение

Р.Гилмер. Коммутативные полугрупповые кольца . Издательство Чикагского университета, Чикаго – Лондон, 1984 г.