Геометрическая теория групп

Раздел математики, посвященный изучению конечно порождённых групп.

Граф Кэли свободной группы с двумя генераторами. Это гиперболическая группа , граница Громова которой является множеством Кантора . Гиперболические группы и их границы являются важными темами в геометрической теории групп, как и графы Кэли.

Геометрическая теория групп — раздел математики, посвящённый изучению конечно порождённых групп посредством исследования связей между алгебраическими свойствами таких групп и топологическими и геометрическими свойствами пространств, на которых эти группы могут действовать нетривиально (то есть когда рассматриваемые группы реализуются как геометрические симметрии или непрерывные преобразования некоторых пространств).

Другая важная идея в геометрической теории групп — рассматривать конечно порождённые группы как геометрические объекты. Обычно это делается путём изучения графов Кэли групп, которые, в дополнение к структуре графа , наделены структурой метрического пространства , задаваемого так называемой метрикой слова .

Геометрическая теория групп, как отдельная область, является относительно новой и стала четко идентифицируемой ветвью математики в конце 1980-х и начале 1990-х годов. Геометрическая теория групп тесно взаимодействует с низкомерной топологией , гиперболической геометрией , алгебраической топологией , вычислительной теорией групп и дифференциальной геометрией . Существуют также существенные связи с теорией сложности , математической логикой , изучением групп Ли и их дискретных подгрупп, динамическими системами , теорией вероятностей , K-теорией и другими областями математики.

В предисловии к своей книге «Темы геометрической теории групп » Пьер де ля Арп писал: «Одно из моих личных убеждений заключается в том, что увлечение симметриями и группами — это один из способов справиться с разочарованиями, вызванными ограничениями жизни: нам нравится распознавать симметрии, которые позволяют нам распознавать больше, чем мы можем видеть. В этом смысле изучение геометрической теории групп является частью культуры и напоминает мне о нескольких вещах, которые Жорж де Рам практиковал во многих случаях, таких как преподавание математики, декламация Малларме или приветствие друга». ^{[1] : 3}

История

Геометрическая теория групп выросла из комбинаторной теории групп , которая в значительной степени изучала свойства дискретных групп посредством анализа представлений групп , которые описывают группы как факторы свободных групп ; эта область была впервые систематически изучена Вальтером фон Дейком , учеником Феликса Клейна , в начале 1880-х годов, ^[2] , в то время как ранняя форма обнаружена в икосианском исчислении 1856 года Уильяма Роуэна Гамильтона , где он изучал группу симметрии икосаэдра через граф ребер додекаэдра . В настоящее время комбинаторная теория групп как область в значительной степени включена в геометрическую теорию групп. Более того, термин «геометрическая теория групп» стал часто включать изучение дискретных групп с использованием вероятностных, теоретико-мерных , арифметических, аналитических и других подходов, которые лежат за пределами традиционного арсенала комбинаторной теории групп.

В первой половине 20-го века пионерские работы Макса Дена , Якоба Нильсена , Курта Рейдемейстера и Отто Шрайера , Дж. Х. Уайтхеда , Эгберта ван Кампена и других внесли некоторые топологические и геометрические идеи в изучение дискретных групп. ^[3] Другие предшественники геометрической теории групп включают теорию малых сокращений и теорию Басса–Серра . Теория малых сокращений была введена Мартином Гриндлингером в 1960-х годах ^{[4] [5]} и далее развита Роджером Линдоном и Полом Шуппом . ^[6] Она изучает диаграммы ван Кампена , соответствующие представлениям конечных групп, с помощью комбинаторных условий кривизны и выводит алгебраические и алгоритмические свойства групп из такого анализа. Теория Басса–Серра, введенная в книге Серра 1977 года, ^[7] выводит структурную алгебраическую информацию о группах, изучая действия групп на симплициальных деревьях . Внешние предшественники геометрической теории групп включают изучение решеток в группах Ли, особенно теорему Мостова о жесткости , изучение групп Клейна и прогресс, достигнутый в топологии малых размерностей и гиперболической геометрии в 1970-х и начале 1980-х годов, стимулированный, в частности, программой геометризации Уильяма Терстона .

Возникновение геометрической теории групп как отдельной области математики обычно относят к концу 1980-х и началу 1990-х годов. Этому способствовала монография Михаила Громова 1987 года «Гиперболические группы» ^[8] , в которой было введено понятие гиперболической группы (также известной как словесно-гиперболическая или гиперболическая по Громову или отрицательно искривленная группа), которая отражает идею конечно порожденной группы, имеющей крупномасштабную отрицательную кривизну, и его последующая монография «Асимптотические инварианты бесконечных групп» ^[9] , в которой была изложена программа Громова по пониманию дискретных групп с точностью до квазиизометрии . Работа Громова оказала преобразующее влияние на изучение дискретных групп ^{[10] [11] [12]} , и вскоре после этого начала появляться фраза «геометрическая теория групп» (см., например, ^[13] ).

Современные темы и разработки

Известные темы и разработки в геометрической теории групп в 1990-х и 2000-х годах включают в себя:

• Программа Громова по изучению квазиизометрических свойств групп.

Особенно влиятельной широкой темой в этой области является программа Громова ^[14] классификации конечно порожденных групп в соответствии с их крупномасштабной геометрией. Формально это означает классификацию конечно порожденных групп с их словесной метрикой с точностью до квазиизометрии . Эта программа включает:

1. Изучение свойств, которые инвариантны относительно квазиизометрии . Примерами таких свойств конечно порождённых групп являются: скорость роста конечно порождённой группы; изопериметрическая функция или функция Дена конечно представимой группы ; число концов группы ; гиперболичность группы ; тип гомеоморфизма границы Громова гиперболической группы; ^[15] асимптотические конусы конечно порождённых групп (см., например, ^{[16] [17]} ); аменабельность конечно порождённой группы; быть виртуально абелевой (то есть иметь абелеву подгруппу конечного индекса ); быть виртуально нильпотентной ; быть виртуально свободной ; быть конечно представимой ; быть конечно представимой группой с разрешимой проблемой слов ; и другие.
2. Теоремы, которые используют квазиизометрические инварианты для доказательства алгебраических результатов о группах, например: теорема Громова о полиномиальном росте ; теорема Столлингса о концах ; теорема Мостова о жесткости .
3. Теоремы квазиизометрической жесткости, в которых алгебраически классифицируются все группы, которые квазиизометричны некоторой заданной группе или метрическому пространству. Это направление было инициировано работой Шварца о квазиизометрической жесткости решеток ранга один ^[18] и работой Бенсона Фарба и Ли Мошера о квазиизометрической жесткости групп Баумслага–Солитера . ^[19]

• Теория гиперболических и относительно гиперболических групп. Особенно важным достижением здесь является работа Злила Селы в 1990-х годах, приведшая к решению проблемы изоморфизма для гиперболических групп. ^[20] Понятие относительно гиперболических групп было первоначально введено Громовым в 1987 году ^[8] и уточнено Фарбом ^[21] и Брайаном Боудичем ^[22] в 1990-х годах. Изучение относительно гиперболических групп приобрело известность в 2000-х годах.
• Взаимодействие с математической логикой и изучение теории свободных групп первого порядка. Особенно важный прогресс был достигнут в знаменитых гипотезах Тарского благодаря работам Селы ^[23], а также Ольги Харлампович и Алексея Мясникова ^[24] . Изучение предельных групп и введение языка и аппарата некоммутативной алгебраической геометрии приобрели известность.
• Взаимодействие с компьютерной наукой, теорией сложности и теорией формальных языков. Эта тема иллюстрируется развитием теории автоматических групп ^[25] , понятия, которое накладывает определенные геометрические и языковые теоретические условия на операцию умножения в конечно порожденной группе.
• Изучение изопериметрических неравенств, функций Дена и их обобщений для конечно определенных групп. Сюда входят, в частности, работы Жана-Камиля Бирже, Александра Ольшанского, Элияху Рипса и Марка Сапира ^{[26] [27],} по существу характеризующие возможные функции Дена конечно определенных групп, а также результаты, дающие явные конструкции групп с дробными функциями Дена. ^[28]
• Теория торических или JSJ-разложений для 3-многообразий была первоначально введена в групповую теоретическую постановку Питером Крофоллером. ^[29] Это понятие было разработано многими авторами как для конечно представленных, так и для конечно порожденных групп. ^{[30] [31] [32] [33] [34]}
• Связи с геометрическим анализом , изучением C*-алгебр , связанных с дискретными группами, и теорией свободной вероятности. Эта тема представлена, в частности, значительным прогрессом в гипотезе Новикова и гипотезе Баума–Конна , а также развитием и изучением связанных с ними теоретико-групповых понятий, таких как топологическая аменабельность, асимптотическая размерность, равномерная вложимость в гильбертовы пространства , свойство быстрого убывания и т. д. (см., например, ^{[35] [36] [37]} ).
• Взаимодействие с теорией квазиконформного анализа на метрических пространствах, в частности, в связи с гипотезой Кэннона о характеризации гиперболических групп с границей Громова , гомеоморфной 2-сфере. ^{[38] [39] [40]}
• Правила конечного подразделения , также в связи с гипотезой Кэннона . ^[41]
• Взаимодействие с топологической динамикой в ​​контексте изучения действий дискретных групп на различных компактных пространствах и групповых компактификаций, в частности методов групп конвергенции ^{[42] [43]}
• Развитие теории групповых действий на -деревьях (в частности, машина Рипса ) и ее приложения. ^[44] ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Изучение групповых действий на пространствах CAT(0) и кубических комплексах CAT(0) ^[45] , мотивированное идеями геометрии Александрова.
• Взаимодействие с низкоразмерной топологией и гиперболической геометрией, в частности изучение групп 3-многообразий (см., например, ^[46] ), групп классов отображений поверхностей, групп кос и клейновых групп .
• Введение вероятностных методов для изучения алгебраических свойств «случайных» групповых теоретико-объектов (групп, групповых элементов, подгрупп и т. д.). Особенно важным достижением здесь является работа Громова, который использовал вероятностные методы для доказательства ^[47] существования конечно порожденной группы, которая не является равномерно вложимой в гильбертово пространство. Другие заметные достижения включают введение и изучение понятия сложности генерического случая ^[48] для групповых теоретико-и других математических алгоритмов и результатов алгебраической жесткости для генерических групп. ^[49]
• Изучение групп автоматов и групп итерированной монодромии как групп автоморфизмов бесконечных корневых деревьев. В частности, группы Григорчука промежуточного роста и их обобщения появляются в этом контексте. ^{[50] [51]}
• Изучение свойств мерной теории групповых действий на пространствах с мерой , в частности, введение и развитие понятий эквивалентности мер и эквивалентности орбит, а также обобщений жесткости Мостова с точки зрения мерной теории. ^{[52] [53]}
• Изучение унитарных представлений дискретных групп и свойства Каждана (Т) ^[54]
• Изучение Out ( F _n ) ( внешней группы автоморфизмов свободной группы ранга n ) и индивидуальных автоморфизмов свободных групп. Введение и изучение внешнего пространства Каллера-Фогтмана ^[55] и теории железнодорожных путей ^[56] для автоморфизмов свободных групп сыграли здесь особенно заметную роль.
• Развитие теории Басса–Серра , в частности, различные результаты по доступности ^{[57] [58] [59]} и теория решеток деревьев. ^[60] Обобщения теории Басса–Серра, такие как теория комплексов групп. ^[45]
• Изучение случайных блужданий по группам и связанной с ними теории границ, в частности, понятия границы Пуассона (см., например, ^[61] ). Изучение аменабельности и групп, статус аменабельности которых до сих пор неизвестен.
• Взаимодействие с теорией конечных групп, в частности прогресс в изучении роста подгрупп . ^[62]
• Изучение подгрупп и решеток в линейных группах , таких как , и других групп Ли, с помощью геометрических методов (например, построений ), алгебро-геометрических инструментов (например, алгебраических групп и многообразий представлений), аналитических методов (например, унитарных представлений в гильбертовых пространствах) и арифметических методов. ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$
• Групповые когомологии , использующие алгебраические и топологические методы, в частности, включающие взаимодействие с алгебраической топологией и использование идей теории Морса в комбинаторном контексте; крупномасштабные или грубые (см., например, ^[63] ) гомологические и когомологические методы.
• Прогресс в традиционных темах комбинаторной теории групп, таких как проблема Бернсайда , ^{[64] [65]} изучение групп Кокстера и групп Артина и т. д. (методы, используемые в настоящее время для изучения этих вопросов, часто являются геометрическими и топологическими).

Примеры

В геометрической теории групп часто изучаются следующие примеры:

• Податливые группы
• Бесплатные группы Бернсайда
• Бесконечная циклическая группа Z
• Бесплатные группы
• Бесплатные продукты
• Группы внешних автоморфизмов Out(F _n ) (через внешнее пространство )
• Гиперболические группы
• Группы классов отображения (автоморфизмы поверхностей)
• Симметричные группы
• Группы кос
• Группы Коксетера
• Группы генерала Артина
• Группа F Томпсона
• Группы CAT(0)
• Арифметические группы
• Автоматические группы
• Фуксовы группы , клейновы группы и другие группы, действующие собственно разрывно на симметричных пространствах, в частности, решетки в полупростых группах Ли.
• Группы обоев
• Группы Баумслаг–Солитар
• Фундаментальные группы графов групп
• Группа Григорчука

Смотрите также

• Лемма о пинг-понге — полезный способ представить группу как свободный продукт
• Податливая группа
• трансформация Нильсена
• преобразование Титце

Ссылки

1. П. де ла Арп, Темы геометрической теории групп. Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета, Чикаго, Иллинойс, 2000. ISBN  0-226-31719-6 , ISBN 0-226-31721-8 . 
2. Стиллвелл, Джон (2002), Математика и ее история , Springer, стр. 374, ISBN 978-0-387-95336-6
3. Брюс Чандлер и Вильгельм Магнус . История комбинаторной теории групп. Исследование случая в истории идей. Исследования по истории математики и физических наук, т. 9. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1982.
4. Гриндлингер, Мартин (1960). «Алгоритм Дена для текстовой задачи». Сообщения по чистой и прикладной математике . 13 (1): 67–83. doi :10.1002/cpa.3160130108.
5. Гриндлингер, Мартин (1961). «Аналог теоремы Магнуса». Архив математики . 12 (1): 94–96. дои : 10.1007/BF01650530. S2CID  120083990.
6. Роджер Линдон и Пол Шупп , Комбинаторная теория групп, Springer-Verlag, Берлин, 1977. Переиздано в серии «Классика математики», 2000.
7. Ж.-П. Серр, Деревья . Перевод с французского оригинала 1977 года Джона Стиллвелла . Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1980. ISBN 3-540-10103-9 . 
8. Михаил Громов, Гиперболические группы , в «Очерки теории групп» (ред. Стив М. Герстен), MSRI Publ. 8, 1987, стр. 75–263.
9. Михаил Громов, «Асимптотические инварианты бесконечных групп» , в «Геометрической теории групп», т. 2 (Сассекс, 1991), Серия лекций Лондонского математического общества, 182, Cambridge University Press, Кембридж, 1993, стр. 1–295.
10. Илья Капович и Надя Бенакли. Границы гиперболических групп. Комбинаторная и геометрическая теория групп (Нью-Йорк, 2000/Хобокен, Нью-Джерси, 2001), стр. 39–93, Contemp. Math., 296, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002. Из введения: «За последние пятнадцать лет геометрическая теория групп переживала быстрый рост и быстро увеличивающееся влияние. Большая часть этого прогресса была стимулирована замечательной работой М. Л. Громова [в Essays in group theory, 75–263, Springer, New York, 1987; в Geometric group theory, Vol. 2 (Sussex, 1991), 1–295, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993], который развил теорию гиперболических групп (также называемых гиперболическими группами Громова или группами отрицательной кривизны)».
11. Брайан Боудич , Гиперболические 3-многообразия и геометрия комплекса кривых. Европейский математический конгресс , стр. 103–115, Eur. Math. Soc., Цюрих, 2005. Из введения: «Многое из этого можно рассматривать в контексте геометрической теории групп. Эта тема очень быстро развивалась в течение последних двадцати лет или около того, хотя, конечно, ее предшественники можно проследить гораздо раньше. [...] Работа Громова была основной движущей силой в этом. Особенно актуальна здесь его основополагающая статья о гиперболических группах [Gr]».
12. Элек, Габор (2006). «Математика Миши Громова». Acta Mathematica Hungarica . 113 (3): 171–185. doi : 10.1007/s10474-006-0098-5 . S2CID  120667382. стр. 181 «Новаторская работа Громова по геометрии дискретных метрических пространств и его программа квазиизометрии стали локомотивом геометрической теории групп с начала восьмидесятых».
13. Геометрическая теория групп. Том 1. Труды симпозиума, состоявшегося в Университете Сассекса, Сассекс, июль 1991 г. Под редакцией Грэма А. Нибло и Мартина А. Роллера. Серия заметок лекций Лондонского математического общества, 181. Cambridge University Press, Кембридж, 1993. ISBN 0-521-43529-3 . 
14. Михаил Громов, Асимптотические инварианты бесконечных групп , в «Геометрической теории групп», т. 2 (Сассекс, 1991), Серия лекций Лондонского математического общества, 182, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993, стр. 1–295.
15. Илья Капович и Надя Бенакли. Границы гиперболических групп. Комбинаторная и геометрическая теория групп (Нью-Йорк, 2000/Хобокен, Нью-Джерси, 2001), стр. 39–93, Contemp. Math., 296, Amer. Math. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 2002.
16. Райли, Тим Р. (2003). «Высшая связность асимптотических конусов». Топология . 42 (6): 1289–1352. doi : 10.1016/S0040-9383(03)00002-8 .
17. Kramer, Linus; Shelah, Saharon ; Tent, Katrin ; Thomas, Simon (2005). «Асимптотические конусы конечно представленных групп». Advances in Mathematics . 193 (1): 142–173. arXiv : math/0306420 . doi : 10.1016/j.aim.2004.04.012 . S2CID  4769970.
18. Шварц, RE (1995). «Классификация квазиизометрий решеток ранга один». Публикации Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 82 (1): 133–168. дои : 10.1007/BF02698639. S2CID  67824718.
19. Фарб, Бенсон ; Мошер, Ли (1998). «Теорема жесткости для разрешимых групп Баумслага–Солитера. С приложением Дэрила Купера». Inventiones Mathematicae . 131 (2): 419–451. doi :10.1007/s002220050210. MR  1608595. S2CID  121180189.
20. Sela, Zlil (1995). «Проблема изоморфизма для гиперболических групп. I». Annals of Mathematics . (2). 141 (2): 217–283. doi :10.2307/2118520. JSTOR  2118520. MR  1324134.
21. Фарб, Бенсон (1998). «Относительно гиперболические группы». Геометрический и функциональный анализ . 8 (5): 810–840. doi :10.1007/s000390050075. MR  1650094. S2CID  123370926.
22. Боудич, Брайан Х. (1999). Древовидные структуры, возникающие из континуумов и групп сходимости. Мемуары Американского математического общества. Том 662. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1003-3.
23. Zlil Sela, Диофантова геометрия над группами и элементарная теория свободных и гиперболических групп. Труды Международного конгресса математиков, т. II (Пекин, 2002), стр. 87–92, Higher Ed. Press, Пекин, 2002.
24. Харлампович, Ольга; Мясников, Алексей (1998). «Проблема Тарского об элементарной теории свободных групп имеет положительное решение». Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society . 4 (14): 101–8. doi : 10.1090/S1079-6762-98-00047-X . MR  1662319.
25. DBA Epstein, JW Cannon, D. Holt, S. Levy, M. Paterson, W. Thurston. Обработка текстов в группах . Jones and Bartlett Publishers, Бостон, Массачусетс, 1992.
26. Сапир, Марк ; Бирже, Жан-Камиль; Рипс, Элияху (2002). «Изопериметрические и изодиаметрические функции групп». Анналы математики . (2). 156 (2): 345–466. arXiv : math/9811105 . дои : 10.2307/3597195. JSTOR  3597195. S2CID  119728458.
27. Бирже, Жан-Камиль; Ольшанский, Александр Ю.; Рипс, Элияху ; Сапир, Марк (2002). «Изопериметрические функции групп и вычислительная сложность задачи о словах». Анналы математики . (2). 156 (2): 467–518. arXiv : math/9811106 . дои : 10.2307/3597196. JSTOR  3597196. S2CID  14155715.
28. Bridson, MR (1999). «Дробные изопериметрические неравенства и искажение подгрупп». Журнал Американского математического общества . 12 (4): 1103–18. doi : 10.1090/S0894-0347-99-00308-2 . MR  1678924. S2CID  7981000.
29. Kropholler, PH (1990). «Аналог теоремы о разложении тора для некоторых групп двойственности Пуанкаре». Труды Лондонского математического общества . s3-60 (3): 503–529. doi :10.1112/plms/s3-60.3.503. ISSN  1460-244X.
30. Рипс, Э.; Села, З. (1997). «Циклические расщепления конечно представленных групп и каноническое разложение JSJ». Annals of Mathematics . Вторая серия. 146 (1): 53–109. doi :10.2307/2951832. JSTOR  2951832.
31. Данвуди, М. Дж.; Сагеев, М. Э. (1999). «JSJ-расщепления для конечно представленных групп над узкими группами». Inventiones Mathematicae . 135 (1): 25–44. Bibcode : 1999InMat.135...25D. doi : 10.1007/s002220050278. S2CID  16958457.
32. Скотт, П.; Сваруп, ГА (2002). «Регулярные окрестности и канонические разложения для групп». Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society . 8 (3): 20–28. doi : 10.1090/S1079-6762-02-00102-6 . MR  1928498.
33. Боудич, Б. Х. (1998). «Точки разреза и канонические разбиения гиперболических групп». Acta Mathematica . 180 (2): 145–186. doi : 10.1007/BF02392898 .
34. Фудзивара, К.; Папашоглу, П. (2006). «JSJ-разложения конечно представленных групп и комплексов групп». Геометрический и функциональный анализ . 16 (1): 70–125. arXiv : math/0507424 . doi :10.1007/s00039-006-0550-2. S2CID  10105697.
35. Ю, Г. (1998). «Гипотеза Новикова для групп с конечной асимптотической размерностью». Annals of Mathematics . Вторая серия. 147 (2): 325–355. doi :10.2307/121011. JSTOR  121011.
36. Г. Ю. Грубая гипотеза Баума–Конна для пространств, допускающих равномерное вложение в гильбертово пространство. Inventiones Mathematicae, т. 139 (2000), № 1, стр. 201–240.
37. Минеев, И.; Ю, Г. (2002). «Гипотеза Баума–Конна для гиперболических групп». Inventiones Mathematicae . 149 (1): 97–122. arXiv : math/0105086 . Bibcode : 2002InMat.149...97M. doi : 10.1007/s002220200214. S2CID  7940721.
38. Бонк, Марио; Кляйнер, Брюс (2005). «Конформная размерность и гиперболические группы Громова с границей в 2 сферы». Геометрия и топология . 9 : 219–246. arXiv : math/0208135 . doi : 10.2140/gt.2005.9.219 . S2CID  786904.
39. Марк Бурдон и Эрве Пажо. Квазиконформная геометрия и гиперболическая геометрия. Жесткость в динамике и геометрии (Кембридж, 2000), стр. 1–17, Springer, Берлин, 2002.
40. Марио Бонк, Квазиконформная геометрия фракталов. Международный конгресс математиков . Т. II, стр. 1349–1373, Eur. Math. Soc., Цюрих, 2006.
41. Кэннон, Джеймс У .; Флойд, Уильям Дж .; Парри, Уолтер Р. (2001). «Правила конечного подразделения». Конформная геометрия и динамика . 5 (8): 153–196. Bibcode : 2001CGDAM...5..153C. doi : 10.1090/S1088-4173-01-00055-8 . MR  1875951.
42. П. Тукиа. Обобщения фуксовых и клейновых групп. Первый европейский математический конгресс, т. II (Париж, 1992), стр. 447–461, Progr. Math., 120, Birkhäuser, Базель, 1994.
43. Яман, Асли (2004). «Топологическая характеристика относительно гиперболических групп». Журнал для королевы и математики . 566 : 41–89. МР  2039323.
44. Бествина, М.; Фейн, М. (1995). «Стабильные действия групп на реальных деревьях». Inventiones Mathematicae . 121 (2): 287–321. Bibcode : 1995InMat.121..287B. doi : 10.1007/BF01884300. S2CID  122048815.
45. Bridson & Haefliger 1999
46. М. Капович, Гиперболические многообразия и дискретные группы . Progress in Mathematics, 183. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 2001.
47. М. Громов. Случайное блуждание в случайных группах. Геометрический и функциональный анализ, т. 13 (2003), № 1, стр. 73–146.
48. Капович, И.; Мясников, А.; Шупп, П.; Шпильрайн, В. (2003). «Сложность генерического случая, проблемы принятия решений в теории групп и случайные блуждания». Журнал алгебры . 264 (2): 665–694. arXiv : math/0203239 . doi : 10.1016/S0021-8693(03)00167-4 .
49. Капович, И.; Шупп, П.; Шпильрайн, В. (2006). «Общие свойства алгоритма Уайтхеда и жесткость изоморфизма случайных групп с одним соотношением». Pacific Journal of Mathematics . 223 (1): 113–140. arXiv : math/0303386 . doi : 10.2140/pjm.2006.223.113 .
50. Л. Бартольди, Р. И. Григорчук и З. Суник. Группы ветвей. Справочник по алгебре, т. 3, стр. 989-1112, Северная Голландия, Амстердам, 2003.
51. В. Некрашевич. Самоподобные группы. Математические обзоры и монографии, 117. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2005. ISBN 0-8218-3831-8 . 
52. Фурман, А. (1999). «Эквивалентность меры Громова и жесткость решеток более высокого ранга». Annals of Mathematics . Вторая серия. 150 (3): 1059–81. arXiv : math/9911262 . Bibcode :1999math.....11262F. doi :10.2307/121062. JSTOR  121062. S2CID  15408706.
53. Моно, Н.; Шалом, И. (2006). «Жесткость эквивалентности орбит и ограниченные когомологии». Annals of Mathematics . Вторая серия. 164 (3): 825–878. doi : 10.4007/annals.2006.164.825 . JSTOR  20160009.
54. Y. Shalom. Алгебраизация свойства Каждана (T). Международный конгресс математиков. Т. II, стр. 1283–1310, Eur. Math. Soc., Цюрих, 2006.
55. Каллер, М.; Фогтманн, К. (1986). «Модули графов и автоморфизмы свободных групп». Inventiones Mathematicae . 84 (1): 91–119. Bibcode : 1986InMat..84...91C. doi : 10.1007/BF01388734. S2CID  122869546.
56. Бествина, Младен; Гендель, Михаэль (1992). «Железнодорожные пути и автоморфизмы свободных групп». Annals of Mathematics . 2. 135 (1): 1–51. doi :10.2307/2946562. JSTOR  2946562. MR  1147956.
57. Данвуди, М. Дж. (1985). «Доступность конечно представленных групп». Inventiones Mathematicae . 81 (3): 449–457. Bibcode : 1985InMat..81..449D. doi : 10.1007/BF01388581. S2CID  120065939.
58. Бествина, М.; Фейн, М. (1991). «Ограничение сложности действий симплициальной группы на деревьях». Inventiones Mathematicae . 103 (3): 449–469. Bibcode : 1991InMat.103..449B. doi : 10.1007/BF01239522. S2CID  121136037.
59. Села, Злил (1997). «Цилиндрическая доступность для групп». Математические изобретения . 129 (3): 527–565. Бибкод : 1997InMat.129..527S. дои : 10.1007/s002220050172. S2CID  122548154.
60. Хайман Басс и Александр Любоцкий . Древовидные решетки. С приложениями Хаймана Басса, Лизы Карбоне, Александра Любоцкого, Г. Розенберга и Жака Титса . Прогресс в математике, 176. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 2001. ISBN 0-8176-4120-3 . 
61. Кайманович, ВА (2000). «Формула Пуассона для групп с гиперболическими свойствами». Annals of Mathematics . 2. 152 (3): 659–692. arXiv : math/9802132 . doi :10.2307/2661351. JSTOR  2661351. S2CID  14774503.
62. Александр Любоцкий и Дэн Сигал. Рост подгруппы. Прогресс в математике, 212. Birkhäuser Verlag , Базель, 2003. ISBN 3-7643-6989-2 . МР 1978431 
63. Бествина, Младен ; Капович, Михаэль; Кляйнер, Брюс (2002). «Препятствие к вложению Ван Кампена для дискретных групп». Inventiones Mathematicae . 150 (2): 219–235. arXiv : math/0010141 . Bibcode : 2002InMat.150..219B. doi : 10.1007/s00222-002-0246-7. MR  1933584. S2CID  7153145.
64. Иванов, СВ (1994). «Свободные группы Бернсайда достаточно больших экспонент». Международный журнал алгебры и вычислений . 4 (1n2): 1–309. doi :10.1142/S0218196794000026.
65. Лысёнок, И.Г. (1996). «Бесконечные группы Бернсайда чётной экспоненты». Известия: Математика . 60 (3): 453–654. Bibcode :1996IzMat..60..453L. doi :10.1070/im1996v060n03abeh000077. S2CID  250838960.

Книги и монографии

Эти тексты охватывают геометрическую теорию групп и смежные темы.

• Боудич, Брайан Х. (2006). Курс геометрической теории групп . MSJ Memoirs. Том 16. Токио: Математическое общество Японии . ISBN 4-931469-35-3.
• Бридсон, Мартин Р .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. Том. 319. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64324-9.
• Корнарт, Мишель; Дельзант, Томас; Пападопулос, Атанас (1990). Геометрия и теория групп: гиперболические группы Громова . Конспект лекций по математике. Том. 1441. Шпрингер-Верлаг. ISBN 3-540-52977-2. МР  1075994.

• Клей, Мэтт; Маргалит, Дэн (2017). Офисные часы с геометрическим теоретиком групп . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15866-2.

• Coornaert, Michel; Papadopoulos, Athanase (1993). Символическая динамика и гиперболические группы . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1539. Springer-Verlag. ISBN 3-540-56499-3.
• de la Harpe, P. (2000). Темы геометрической теории групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-31719-6.
• Друцу, Корнелия ; Капович, Майкл (2018). Геометрическая теория групп (PDF) . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том 63. Американское математическое общество . ISBN 978-1-4704-1104-6. МР  3753580.
• Эпштейн, ДБА; Кэннон, Дж. В.; Холт, Д.; Леви, С.; Патерсон, М.; Терстон, В. (1992). Обработка текстов в группах . Джонс и Бартлетт. ISBN 0-86720-244-0.
• Громов, М. (1987). "Гиперболические группы". В Gersten, GM (ред.). Очерки по теории групп . Том 8. MSRI. С. 75–263. ISBN 0-387-96618-8.
• Громов, Михаил (1993). "Асимптотические инварианты бесконечных групп". В Niblo, GA; Roller, MA (ред.). Геометрическая теория групп: Труды симпозиума, состоявшегося в Сассексе в 1991 году . Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 2. Cambridge University Press. С. 1–295. ISBN 978-0-521-44680-8.
• Капович, М. (2001). Гиперболические многообразия и дискретные группы. Progress in Mathematics. Т. 183. Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-3904-4.
• Линдон, Роджер С .; Шупп, Пол Э. (2015) [1977]. Комбинаторная теория групп. Классика по математике. Спрингер. ISBN 978-3-642-61896-3.
• Ольшанский, А.Ю. (2012) [1991]. Геометрия определяющих соотношений в группах. Springer. ISBN 978-94-011-3618-1.
• Роу, Джон (2003). Лекции по грубой геометрии. Серия университетских лекций. Том 31. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3332-2.

Внешние ссылки

• Страница Джона Маккаммонда, посвященная геометрической теории групп
• Что такое геометрическая теория групп? Дэниел Уайз
• Открытые проблемы по комбинаторной и геометрической теории групп
• Геометрическая теория групп Тема на arxiv.org