Компактный оператор

Тип непрерывного линейного оператора

В функциональном анализе , разделе математики , компактный оператор — это линейный оператор , где — нормированные векторные пространства , со свойством, которое отображает ограниченные подмножества в относительно компактные подмножества (подмножества с компактным замыканием в ). Такой оператор обязательно является ограниченным оператором и, следовательно, непрерывен. ^[1] Некоторые авторы требуют, чтобы пространства были банаховыми, но это определение можно распространить на более общие пространства. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,Y}$

Любой ограниченный оператор , имеющий конечный ранг , является компактным оператором; действительно, класс компактных операторов является естественным обобщением класса операторов конечного ранга в бесконечномерной ситуации. Когда является гильбертовым пространством , верно, что любой компактный оператор является пределом операторов конечного ранга, ^[1] так что класс компактных операторов может быть альтернативно определен как замыкание множества операторов конечного ранга в норме топология . Верно ли это вообще для банаховых пространств ( свойство аппроксимации ) было нерешенным вопросом в течение многих лет; в 1973 году Пер Энфло привел контрпример, опираясь на работу Гротендика и Банаха . ^[2] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$

Истоки теории компактных операторов лежат в теории интегральных уравнений , где интегральные операторы дают конкретные примеры таких операторов. Типичное интегральное уравнение Фредгольма порождает компактный оператор K в функциональных пространствах ; свойство компактности проявляется равностепенной непрерывностью . Метод аппроксимации операторами конечного ранга является основным при численном решении таких уравнений. Из этой связи вытекает абстрактная идея оператора Фредгольма .

Эквивалентные составы

Линейное отображение между двумя топологическими векторными пространствами называется компактным, если существует окрестность начала координат в такой, которая является относительно компактным подмножеством . ^[3] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T(U)}$ ${\displaystyle Y}$

Пусть – нормированные пространства и линейный оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны, а некоторые из них используются в качестве основных определений разными авторами ^[4] ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$

• ${\displaystyle T}$– компактный оператор;
• образ единичного шара под относительно компактен в ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$
• образ любого ограниченного подмножества под относительно компактен в ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$
• существует окрестность начала координат в и компактное подмножество такое, что ; ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle T(U)\subseteq V}$
• для любой ограниченной последовательности в последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность. ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Tx_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Если кроме того есть Банах, эти утверждения также эквивалентны: ${\displaystyle Y}$

• образ любого ограниченного подмножества under полностью ограничен в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$

Если линейный оператор компактен, то он непрерывен.

Важные свойства

В дальнейшем — банаховы пространства, — пространство ограниченных операторов относительно операторной нормы и обозначает пространство компактных операторов . обозначает тождественный оператор на , и . ${\displaystyle X,Y,Z,W}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle K(X,Y)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B(X)=B(X,X)}$ ${\displaystyle K(X)=K(X,X)}$

• ${\displaystyle K(X,Y)}$является замкнутым подпространством (в нормальной топологии). Эквивалентно, ^[5] ${\displaystyle B(X,Y)}$
  • если задана последовательность компактных отображений операторов (где - Банаха) и сходится к по операторной норме , то компактен. ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$
• Обратно, если — гильбертово пространство, то каждый компактный оператор из является пределом операторов конечного ранга. Примечательно, что это « свойство аппроксимации » неверно для общих банаховых пространств X и Y. ^[4] ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X\to Y}$
• ${\displaystyle B(Y,Z)\circ K(X,Y)\circ B(W,X)\subseteq K(W,Z).}$  В частности, образует двусторонний идеал в . ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle B(X)}$
• Любой компактный оператор строго сингулярен , но не наоборот. ^[6]
• Ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами компактен тогда и только тогда, когда его сопряженный компакт компактен ( теорема Шаудера ).
  • Если ограничено и компактно, то: ${\displaystyle T:X\to Y}$
    • Замыкание диапазона является сепарабельным . ^{[5] [7]} ${\displaystyle T}$
    • если область значений замкнута в Y , то область значений конечномерна. ^{[5] [7]} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$
• Если — банахово пространство и существует обратимый ограниченный компактный оператор, то оно обязательно конечномерно. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle X}$

Теперь предположим, что это банахово пространство, компактный линейный оператор и сопряженный или транспонированный оператор T . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T\colon X\to X}$ ${\displaystyle T^{*}\colon X^{*}\to X^{*}}$

• Для любого ,   является фредгольмовым оператором индекса 0. В частности, замкнут. Это существенно для развития спектральных свойств компактных операторов. Можно заметить сходство между этим свойством и тем фактом, что если и являются подпространствами где замкнуто и конечномерно, то и замкнуто. ${\displaystyle T\in K(X)}$ ${\displaystyle {\operatorname {Id} _{X}}-T}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} ({\operatorname {Id} _{X}}-T)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M+N}$
• Если – любой ограниченный линейный оператор, то оба и являются компактными операторами. ^[5] ${\displaystyle S\colon X\to X}$ ${\displaystyle S\circ T}$ ${\displaystyle T\circ S}$
• Если то область значений замкнута и ядро ​​конечномерно. ^[5] ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$ ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$
• Если тогда следующие конечны и равны: ^[5] ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \dim \ker \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right)=\dim {\big (}X/\operatorname {Im} \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right){\big )}=\dim \ker \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right)=\dim {\big (}X^{*}/\operatorname {Im} \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right){\big )}}$
• Спектр компактен , счетен и имеет не более одной предельной точки , которая обязательно должна быть началом координат. ^[5] ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle T}$
• Если бесконечномерно, то . ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\in \sigma (T)}$
• If и then является собственным значением обоих и . ^[5] ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{*}}$
• Для каждого множество конечно, и для каждого ненулевого диапазона диапазон является собственным подмножеством X . ^[5] ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle E_{r}=\left\{\lambda \in \sigma (T):|\lambda |>r\right\}}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$

Истоки теории интегральных уравнений

Важнейшим свойством компактных операторов является альтернатива Фредгольма , которая утверждает, что существование решения линейных уравнений вида

${\displaystyle (\lambda K+I)u=f}$

(где K — компактный оператор, f — заданная функция, а u — неизвестная функция, которую нужно решить) ведет себя так же, как и в конечных измерениях. Далее следует спектральная теория компактных операторов , автор которой Фридьес Рисс (1918). Он показывает, что компактный оператор K в бесконечномерном банаховом пространстве имеет спектр, который является либо конечным подмножеством C , включающим 0, либо спектром является счетно-бесконечное подмножество C , имеющее 0 в качестве единственной предельной точки . Более того, в любом случае ненулевые элементы спектра являются собственными значениями оператора K с конечной кратностью (так что K − λ I имеет конечномерное ядро ​​для всех комплексных λ ≠ 0).

Важным примером компактного оператора является компактное вложение пространств Соболева , которое, наряду с неравенством Гординга и теоремой Лакса–Милгрэма , может быть использовано для преобразования эллиптической краевой задачи в интегральное уравнение Фредгольма. ^[8] Существование решения и спектральные свойства тогда следуют из теории компактных операторов; в частности, эллиптическая краевая задача в ограниченной области имеет бесконечное число изолированных собственных значений. Одним из следствий является то, что твердое тело может вибрировать только на изолированных частотах, определяемых собственными значениями, и всегда существуют сколь угодно высокие частоты колебаний.

Компактные операторы банахова пространства в себя образуют двусторонний идеал в алгебре всех ограниченных операторов в этом пространстве. Действительно, компактные операторы в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве образуют максимальный идеал, поэтому фактор-алгебра , известная как алгебра Калкина , проста . В более общем смысле компактные операторы образуют операторный идеал .

Компактный оператор в гильбертовых пространствах

Для гильбертовых пространств другое эквивалентное определение компактных операторов дается следующим образом.

Оператор в бесконечномерном гильбертовом пространстве , ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

${\displaystyle T\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$,

называется компактным, если его можно записать в виде

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}}$,

где и — ортонормированные множества (не обязательно полные), а — последовательность положительных чисел с нулевым пределом, называемая сингулярными значениями оператора, а ряд в правой части сходится по операторной норме. Сингулярные значения могут накапливаться только в нуле. Если последовательность становится стационарной в нуле, то есть для некоторых и каждого , то оператор имеет конечный ранг, т. е . конечномерный диапазон, и может быть записан как ${\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle \{g_{1},g_{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots }$ ${\displaystyle \lambda _{N+k}=0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle k=1,2,\dots }$

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}}$.

Важным подклассом компактных операторов является ядерный класс или ядерные операторы , т. е. такие, что . Хотя все операторы трассового класса являются компактными операторами, обратное не обязательно верно. Например, стремится к нулю в течение while . ${\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty }$ ${\textstyle \lambda _{n}={\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|\lambda _{n}|=\infty }$

Полностью непрерывные операторы

Пусть X и Y — банаховы пространства. Ограниченный линейный оператор T  : X → Y называется вполне непрерывным , если для каждой слабо сходящейся последовательности из X эта последовательность сходится по норме в Y (Конвей 1985, §VI.3). Компактные операторы в банаховом пространстве всегда вполне непрерывны. Если X — рефлексивное банахово пространство , то всякий вполне непрерывный оператор T  : X → Y компактен. ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (Tx_{n})}$

Несколько сбивает с толку то, что компактные операторы иногда называют «полностью непрерывными» в старой литературе, хотя они не обязательно полностью непрерывны по определению этой фразы в современной терминологии.

Примеры

• Любой оператор конечного ранга компактен.
• Для и последовательности (t _n ) , сходящейся к нулю, оператор умножения ( Tx ) _n = t _n x _n компактен. ${\displaystyle \ell ^{p}}$
• Для некоторого фиксированного g  ∈  C ([0, 1];  R ) определим линейный оператор T из C ([0, 1];  R ) в C ([0, 1];  R ) формулой
  $${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t.}$$
  То, что оператор Т действительно компактен, следует из теоремы Асколи .
• В более общем смысле, если Ω — любая область в R ⁿ и интегральное ядро ​​k  : Ω × Ω →  R — ядро ​​Гильберта–Шмидта , то оператор T в L ² (Ω;  R ), определяемый формулой
  $${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\Omega }k(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y}$$
  является компактным оператором.
• По лемме Рисса тождественный оператор является компактным тогда и только тогда, когда пространство конечномерно. ^[9]

Смотрите также

• Компактное встраивание
• Компактный оператор в гильбертовом пространстве
• Альтернатива Фредгольма  - математическая теоремаСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• Интегральное уравнение Фредгольма
• Фредгольмский оператор
• Строго сингулярный оператор
• Спектральная теория компактных операторов

Примечания

1. Conway 1985, раздел 2.4.
2. Энфло 1973
3. Шефер и Вольф 1999, стр. 98.
4. Брезис, Х. (2011). Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных. Х.. Брезис. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-70914-7. ОСЛК  695395895.
5. Рудин 1991, стр. 103–115.
6. Н. Л. Карозерс, Краткий курс по теории банахового пространства , (2005) Тексты для студентов Лондонского математического общества 64 , Издательство Кембриджского университета.
7. Conway 1990, стр. 173–177.
8. Уильям Маклин, Сильно эллиптические системы и граничные интегральные уравнения, Cambridge University Press, 2000
9. Крейциг 1978, Теоремы 2.5-3, 2.5-5.

Рекомендации

• Конвей, Джон Б. (1985). Курс функционального анализа . Спрингер-Верлаг. Раздел 2.4. ISBN 978-3-540-96042-3.
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. ОСЛК  21195908.
• Энфло, П. (1973). «Контрпример к задаче аппроксимации в банаховых пространствах». Акта Математика . 130 (1): 309–317. дои : 10.1007/BF02392270 . ISSN  0001-5962. МР  0402468.
• Крейциг, Эрвин (1978). Вводный функциональный анализ с приложениями . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-50731-4.
• Кутателадзе, С.С. (1996). Основы функционального анализа . Тексты по математическим наукам. Том. 12 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 292. ИСБН 978-0-7923-3898-7.
• Лакс, Питер (2002). Функциональный анализ . Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. ОСЛК  47767143.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Ренарди, М.; Роджерс, RC (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике. Том. 13 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . п. 356. ИСБН 978-0-387-00444-0.(раздел 7.5)
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.