Компактная сходимость

Компактная сходимость (или равномерная сходимость на компактных множествах ) — тип сходимости , обобщающий идею равномерной сходимости . Она связана с компактно-открытой топологией .

Определение

Пусть будет топологическое пространство и будет метрическое пространство . Последовательность функций $(X,{\mathcal {T}})$ $(Y,d_{Y})$

f_{n}:X\to Y

n\in \mathbb {N} ,

Говорят, что сходится компактно как к некоторой функции , если для каждого компактного множества , $n\to \infty$ $f:X\to Y$ $K\subseteq X$

f_{n}|_{K}\to f|_{K}

равномерно на как . Это означает, что для всех компактных , $К$ $n\to \infty$ $K\subseteq X$

\lim _{n\to \infty}\sup _{x\in K}d_{Y}\left(f_{n}(x),f(x)\right)=0.

Если и с их обычными топологиями, при , то компактно сходится к постоянной функции со значением 0, но не равномерно. $X=(0,1)\subseteq \mathbb {R}$ $Y=\mathbb {R}$ $f_{n}(x):=x^{n}$ $f_{n}$
Если и , то поточечно сходится к функции, которая равна нулю на и единице при , но последовательность не сходится компактно. $X=(0,1]$ $Y=\mathbb {R}$ $f_{n}(x)=x^{n}$ $f_{n}$ $(0,1)$ $1$
Очень мощным инструментом для демонстрации компактной сходимости является теорема Арцела–Асколи . Существует несколько версий этой теоремы, грубо говоря, она утверждает, что каждая последовательность равностепенно непрерывных и равномерно ограниченных отображений имеет подпоследовательность, которая компактно сходится к некоторому непрерывному отображению.

Если равномерно, то компактно. $f_{n}\to f$ $f_{n}\to f$
Если — компактное пространство и компактно, то равномерно. $(X,{\mathcal {T}})$ $f_{n}\to f$ $f_{n}\to f$
Если — локально компактное пространство , то компактно тогда и только тогда, когда локально равномерно. $(X,{\mathcal {T}})$ $f_{n}\to f$ $f_{n}\to f$
Если — компактно порожденное пространство , компактно, и каждое — непрерывно , то — непрерывно. $(X,{\mathcal {T}})$ $f_{n}\to f$ $f_{n}$ $f$