Модель полной теории

В теории моделей теория первого порядка называется модельно полной , если каждое вложение ее моделей является элементарным вложением . Эквивалентно, каждая формула первого порядка эквивалентна универсальной формуле. Это понятие было введено Абрахамом Робинсоном .

Модель-компаньон и модель-дополнение

Компаньоном теории T является теория T *, такая что каждая модель T может быть встроена в модель T * и наоборот.

Модельный компаньон теории T — это компаньон T , который является модельно полным. Робинсон доказал, что теория имеет не более одного модельного компаньона. Не каждая теория является модельно-компаньонной, например, теория групп. Однако, если T — категорическая теория , то у нее всегда есть модельный компаньон. ^[1]^[2] $\алеф _{0}$

Завершение модели для теории T — это модель-компаньон T *, такая, что для любой модели M теории T теория T * вместе с диаграммой M является полной . Грубо говоря, это означает , что каждая модель T вкладывается в модель T * уникальным образом.

Если T * является модельным компаньоном T , то следующие условия эквивалентны: ^[3]

T * — это модельное завершение T
T обладает свойством амальгамирования .

Если T также имеет универсальную аксиоматизацию, то оба вышеприведенных утверждения также эквивалентны:

T * имеет устранение квантификаторов

Примеры

Любая теория с устранением квантификаторов является модельно полной.
Теория алгебраически замкнутых полей является модельным завершением теории полей. Она модельно полна, но не полна.
Модельным завершением теории отношений эквивалентности является теория отношений эквивалентности с бесконечным числом классов эквивалентности, каждый из которых содержит бесконечное число элементов.
Теория вещественных замкнутых полей , на языке упорядоченных колец , является модельным завершением теории упорядоченных полей (или даже упорядоченных областей ).
Теория действительных замкнутых полей на языке колец является модельным спутником теории формально действительных полей , но не является ее завершением.

Не примеры

Теория плотных линейных порядков с первым и последним элементом является полной, но не модельно полной.
Теория групп (на языке с символами для тождества, произведения и обратных величин) обладает свойством объединения, но не имеет модельного компаньона.

Достаточное условие полноты модельно-полных теорий

Если T является модельно полной теорией и существует модель T , которая встраивается в любую модель T , то T является полной. ^[4]

Примечания

^ Сарацино 1973.
^ Симмонс 1976.
^ Чанг и Кейслер 2012.
^ Маркер 2002.

Ссылки

Чан, Чэнь Чанг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973]. Теория моделей . Исследования по логике и основаниям математики (3-е изд.). Elsevier. ISBN 978-0-444-88054-3.

Чан, Чен Чанг ; Кейслер, Х. Джером (2012) [1990]. Теория моделей . Dover Books on Mathematics (3-е изд.). Dover Publications . стр. 672. ISBN 978-0-486-48821-9.

Хиршфельд, Иорам; Уилер, Уильям Х. (1975). "Модельные дополнения и модели-компаньоны". Форсинг, арифметика, деление колец . Конспект лекций по математике. Том 454. Springer. С. 44–54. doi :10.1007/BFb0064085. ISBN 978-3-540-07157-0. МР 0389581.

Маркер, Дэвид (2002). Теория моделей: Введение . Graduate Texts in Mathematics 217. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98760-6.

Сарацино, Д. (август 1973 г.). «Модельные компаньоны для ℵ ₀ -категорических теорий». Труды Американского математического общества . 39 (3): 591–598.

Симмонс, Х. (1976). «Большие и малые экзистенциально замкнутые структуры». Журнал символической логики . 41 (2): 379–390.