когомологии де Рама

Когомологии с действительными коэффициентами, вычисленные с использованием дифференциальных форм

Векторному полю, соответствующему дифференциальной форме на проколотой плоскости , которая замкнута, но не точна, что показывает, что когомологии де Рама этого пространства нетривиальны.

В математике когомологии де Рама (названные в честь Жоржа де Рама ) — это инструмент, принадлежащий как алгебраической топологии , так и дифференциальной топологии , способный выражать основную топологическую информацию о гладких многообразиях в форме, специально приспособленной для вычислений и конкретного представления классов когомологий . Это теория когомологий, основанная на существовании дифференциальных форм с предписанными свойствами.

На любом гладком многообразии каждая точная форма замкнута, но обратное может не выполняться. Грубо говоря, эта несостоятельность связана с возможным существованием «дыр» в многообразии, и группы когомологий де Рама включают набор топологических инвариантов гладких многообразий, которые точно количественно определяют это соотношение. ^[1]

Концепция интегрирования по формам имеет фундаментальное значение в дифференциальной топологии, геометрии и физике, а также дает один из важнейших примеров когомологий , а именно когомологий де Рама , которые (грубо говоря) точно измеряют степень, в которой фундаментальная теорема исчисления неверна в высших измерениях и на общих многообразиях.
—  Теренс Тао , Дифференциальные формы и интеграция ^[2]

Определение

Комплекс де Рама — это коцепной комплекс дифференциальных форм на некотором гладком многообразии M , где дифференциалом является внешняя производная :

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots ,}$

где Ω ⁰ ( M ) — пространство гладких функций на M , Ω ¹ ( M ) — пространство 1 -форм и т. д. Формы, которые являются образом других форм под действием внешней производной , плюс постоянная 0- функция в Ω ⁰ ( M ) , называются точными , а формы, внешняя производная которых равна 0, называются замкнутыми (см. Замкнутые и точные дифференциальные формы ); соотношение d ² = 0 тогда говорит, что точные формы замкнуты.

Напротив, замкнутые формы не обязательно являются точными. Иллюстративный случай — окружность как многообразие и 1 -форма, соответствующая производной угла от опорной точки в ее центре, обычно записываемая как dθ (описанная в Замкнутые и точные дифференциальные формы ). Не существует функции θ, определенной на всей окружности, такой, что dθ является ее производной; увеличение 2 π при однократном обходе окружности в положительном направлении подразумевает многозначную функцию θ . Удаление одной точки окружности устраняет это, в то же время изменяя топологию многообразия.

Одним из ярких примеров, когда все замкнутые формы являются точными, является случай, когда базовое пространство стягивается в точку или, в более общем случае, если оно односвязно (условие отсутствия дырок). В этом случае внешняя производная, ограниченная замкнутыми формами, имеет локальный обратный оператор, называемый гомотопическим оператором . ^{[3] [4]} Поскольку он также нильпотентен , ^[3] он образует дуальный цепной комплекс со стрелками, обращенными ^[5] по сравнению с комплексом де Рама. Это ситуация, описанная в лемме Пуанкаре . ${\displaystyle d}$

Идея когомологий де Рама заключается в определении классов эквивалентности замкнутых форм на многообразии. Две замкнутые формы α , β ∈ Ω ^k ( M ) классифицируются как когомологичные , если они отличаются точной формой, то есть если α − β является точной. Эта классификация индуцирует отношение эквивалентности на пространстве замкнутых форм в Ω ^k ( M ) . Затем определяется k -я группа когомологий де Рама как множество классов эквивалентности, то есть множество замкнутых форм в Ω ^k ( M ) по модулю точных форм. ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$

Обратите внимание, что для любого многообразия M, состоящего из m несвязных компонент, каждая из которых связна , мы имеем, что

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbb {R} ^{m}.}$

Это следует из того факта, что любая гладкая функция на M с нулевой производной всюду постоянна в отдельности на каждой из связных компонент M.

вычисленные когомологии де Рама

Часто можно найти общие когомологии де Рама многообразия, используя указанный выше факт о нулевых когомологиях и последовательности Майера–Виеториса . Другим полезным фактом является то, что когомологии де Рама являются гомотопическим инвариантом. Хотя вычисление не приводится, ниже приведены вычисленные когомологии де Рама для некоторых общих топологических объектов:

Theн-сфера

Для n -сферы , , а также вместе с произведением открытых интервалов, имеем следующее. Пусть n > 0, m ≥ 0 , и I — открытый действительный интервал. Тогда ${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0{\text{ or }}k=n,\\0&k\neq 0{\text{ and }}k\neq n.\end{cases}}}$

Theн-тор

-тор - это декартово произведение: . Аналогично, допуская здесь, получаем ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(T^{n})\simeq \mathbb {R} ^{n \choose k}.}$

Мы также можем найти явные генераторы для когомологий де Рама тора напрямую, используя дифференциальные формы. При наличии фактор-многообразия и дифференциальной формы можно сказать, что является -инвариантным, если задан любой диффеоморфизм, индуцированный , то есть . В частности, обратный образ любой формы на является -инвариантным. Кроме того, обратный образ является инъективным морфизмом. В нашем случае дифференциальные формы являются -инвариантными, поскольку . Но, обратите внимание, что для не является инвариантной -формой. Это с инъективностью подразумевает, что ${\displaystyle \pi :X\to X/G}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(X)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot g:X\to X}$ ${\displaystyle (\cdot g)^{*}(\omega )=\omega }$ ${\displaystyle X/G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle dx_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle d(x_{i}+k)=dx_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}+\alpha }$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle [dx_{i}]\in H_{dR}^{1}(T^{n})}$

Поскольку кольцо когомологий тора порождается , то взятие внешних произведений этих форм дает все явные представители для когомологий де Рама тора. ${\displaystyle H^{1}}$

Проколотое евклидово пространство

Проколотое евклидово пространство — это просто пространство с удаленной точкой начала координат. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\})\cong {\begin{cases}\mathbb {R} ^{2}&n=1,k=0\\\mathbb {R} &n>1,k=0,n-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.}$

Лента Мёбиуса

Из того факта, что лента Мёбиуса , M , может быть деформирована и свернута в 1- сферу (т.е. действительную единичную окружность), можно сделать вывод :

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{1}).}$

теорема де Рама

Теорема Стокса является выражением двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепей . Она гласит, что спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования дает гомоморфизм из когомологий де Рама в сингулярные группы когомологий. Теорема де Рама, доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что для гладкого многообразия M это отображение на самом деле является изоморфизмом . ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R} ).}$

Точнее, рассмотрим карту

${\displaystyle I:H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)\to H^{p}(M;\mathbb {R} ),}$

определяется следующим образом: для любого пусть I ( ω ) будет элементом , который действует следующим образом: ${\displaystyle [\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle H_{p}(M)\ni [c]\longmapsto \int _{c}\omega .}$

Теорема де Рама утверждает, что это изоморфизм между когомологиями де Рама и сингулярными когомологиями.

Внешнее произведение наделяет прямую сумму этих групп кольцевой структурой. Дальнейший результат теоремы состоит в том, что два кольца когомологий изоморфны (как градуированные кольца ), где аналогичное произведение на сингулярных когомологиях — это произведение чашек .

Теоретико-пучковый изоморфизм де Рама

Для любого гладкого многообразия M пусть — постоянный пучок на M , ассоциированный с абелевой группой ; другими словами, — пучок локально постоянных вещественных функций на M. Тогда мы имеем естественный изоморфизм ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ ${\textstyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{*}(M)\cong H^{*}(M,{\underline {\mathbb {R} }})}$

между когомологиями де Рама и когомологиями пучков . (Заметим, что это показывает, что когомологии де Рама также могут быть вычислены в терминах когомологий Чеха ; действительно, поскольку каждое гладкое многообразие является паракомпактным Хаусдорфовым, мы имеем, что когомологии пучков изоморфны когомологиям Чеха для любого хорошего покрытия M .) ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ ${\textstyle {\check {H}}^{*}({\mathcal {U}},{\underline {\mathbb {R} }})}$ ${\textstyle {\mathcal {U}}}$

Доказательство

Стандартное доказательство продолжается демонстрацией того, что комплекс де Рама, рассматриваемый как комплекс пучков, является ациклическим разрешением . Более подробно, пусть m будет размерностью M и пусть обозначает пучок ростков -форм на M (с пучком функций на M ). По лемме Пуанкаре следующая последовательность пучков является точной (в абелевой категории пучков): ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$ ${\textstyle \Omega ^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle \Omega ^{0}}$ ${\textstyle C^{\infty }}$

${\displaystyle 0\to {\underline {\mathbb {R} }}\to \Omega ^{0}\,\xrightarrow {d_{0}} \,\Omega ^{1}\,\xrightarrow {d_{1}} \,\Omega ^{2}\,\xrightarrow {d_{2}} \dots \xrightarrow {d_{m-1}} \,\Omega ^{m}\to 0.}$

Эта длинная точная последовательность теперь распадается на короткие точные последовательности пучков

${\displaystyle 0\to \mathrm {im} \,d_{k-1}\,\xrightarrow {\subset } \,\Omega ^{k}\,\xrightarrow {d_{k}} \,\mathrm {im} \,d_{k}\to 0,}$

где по точности мы имеем изоморфизмы для всех k . Каждый из них индуцирует длинную точную последовательность в когомологиях. Поскольку пучок функций на M допускает разбиения единицы , любой -модуль является тонким пучком ; в частности, все пучки являются тонкими. Следовательно, группы когомологий пучков исчезают для , поскольку все тонкие пучки на паракомпактных пространствах ацикличны. Таким образом, сами длинные точные последовательности когомологий в конечном итоге разделяются на цепочку изоморфизмов. На одном конце цепочки находятся когомологии пучков , а на другом лежат когомологии де Рама. ${\textstyle \mathrm {im} \,d_{k-1}\cong \mathrm {ker} \,d_{k}}$ ${\textstyle \Omega ^{0}}$ ${\textstyle C^{\infty }}$ ${\textstyle \Omega ^{0}}$ ${\textstyle \Omega ^{k}}$ ${\textstyle H^{i}(M,\Omega ^{k})}$ ${\textstyle i>0}$ ${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$

Похожие идеи

Когомологии де Рама вдохновили множество математических идей, включая когомологии Дольбо , теорию Ходжа и теорему об индексе Атьи–Зингера . Однако даже в более классических контекстах теорема вдохновила ряд разработок. Во-первых, теория Ходжа доказывает, что существует изоморфизм между когомологиями, состоящими из гармонических форм, и когомологиями де Рама, состоящими из замкнутых форм по модулю точных форм. Это опирается на соответствующее определение гармонических форм и теорему Ходжа. Для получения более подробной информации см. теорию Ходжа .

Гармонические формы

Если M — компактное риманово многообразие , то каждый класс эквивалентности в содержит ровно одну гармоническую форму . То есть каждый член данного класса эквивалентности замкнутых форм может быть записан как ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =\alpha +\gamma }$

где является точным и является гармоническим: . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Delta \gamma =0}$

Любая гармоническая функция на компактном связном римановом многообразии является константой. Таким образом, этот конкретный представительный элемент можно понимать как экстремум (минимум) всех когомологически эквивалентных форм на многообразии. Например, на 2 - торе можно представить себе постоянную 1 -форму как такую, где все "волосы" аккуратно расчесаны в одном направлении (и все "волосы" имеют одинаковую длину). В этом случае есть два когомологически различных расчесывания; все остальные являются линейными комбинациями. В частности, это означает, что 1-е число Бетти 2 -тора равно двум. В более общем смысле, на -мерном торе можно рассмотреть различные расчесывания -форм на торе. Существуют выбрать такие расчесывания, которые можно использовать для формирования базисных векторов для ; -ое число Бетти для группы когомологий де Рама для -тора, таким образом, выбрать . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

Точнее, для дифференциального многообразия M можно снабдить его некоторой вспомогательной римановой метрикой . Тогда лапласиан определяется как ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$

с внешней производной и кодифференциалом . Лапласиан — это однородный (по градуировке ) линейный дифференциальный оператор , действующий на внешнюю алгебру дифференциальных форм : мы можем рассмотреть его действие на каждый компонент степени отдельно. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle k}$

Если компактно и ориентировано , то размерность ядра лапласиана , действующего на пространство k -форм , равна (по теории Ходжа ) размерности группы когомологий де Рама в степени : лапласиан выделяет уникальную гармоническую форму в каждом классе когомологий замкнутых форм . В частности, пространство всех гармонических -форм на изоморфно Размерность каждого такого пространства конечна и задается -м числом Бетти . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle k}$

Разложение Ходжа

Пусть — компактное ориентированное риманово многообразие . Разложение Ходжа утверждает, что любая -форма на однозначно распадается на сумму трех L 2 компонент: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \omega =\alpha +\beta +\gamma ,}$

где является точным, является соточным и является гармоническим. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$

Говорят, что форма является co-замкнутой, если и co-точной, если для некоторой формы , и что она является гармоничной, если лапласиан равен нулю, . Это следует из того, что точные и co-точные формы являются ортогональными; ортогональное дополнение тогда состоит из форм, которые являются как замкнутыми, так и co-замкнутыми: то есть из гармонических форм. Здесь ортогональность определяется относительно внутреннего произведения L 2 на : ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \delta \beta =0}$ ${\displaystyle \beta =\delta \eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Delta \gamma =0}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \wedge {\star \beta }.}$

Используя пространства или распределения Соболева , разложение можно расширить, например, до полного (ориентированного или нет) риманова многообразия. ^[6]

Смотрите также

• теория Ходжа
• Интеграция вдоль волокон (для когомологий де Рама прямой путь задается интегрированием )
• Теория пучков
• ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-лемма для уточнения точных дифференциальных форм в случае компактных кэлеровых многообразий .

Цитаты

1. Ли 2013, стр. 440.
2. Тао, Теренс (2007) «Дифференциальные формы и интегрирование» Princeton Companion to Mathematics 2008. Тимоти Гауэрс, ред.
3. Edelen, Dominic GB (2011). Прикладное внешнее исчисление (пересмотренное издание). Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43871-9. OCLC  56347718.
4. Уорнер, Фрэнк В. (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли. Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-90894-3. OCLC  9683855.
5. Kycia, Radosław Antoni (2020). «Лемма Пуанкаре, антиточные формы и фермионный квантовый гармонический осциллятор». Результаты по математике . 75 (3): 122. arXiv : 1908.02349 . doi : 10.1007/s00025-020-01247-8. ISSN  1422-6383. S2CID  199472766.
6. Жан-Пьер Демайи, Комплексная аналитическая и дифференциальная геометрия, гл. VIII, § 3.

Ссылки

• Ли, Джон М. (2013). Введение в гладкие многообразия . Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-9981-8.
• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3
• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классики Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, г-н  1288523
• Уорнер, Франк (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90894-6

Внешние ссылки

• Идея когомологий Де Рама в проекте Mathifold
• «Когомологии Де Рама», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]