Комплексное сопряжение векторного пространства

Математическая концепция

В математике комплексное сопряжение комплексного векторного пространства — это комплексное векторное пространство , которое имеет те же элементы и аддитивную групповую структуру, что и , но скалярное умножение которого включает сопряжение скаляров. Другими словами, скалярное умножение удовлетворяет , где — скалярное умножение и — скалярное умножение Буква обозначает вектор в — комплексное число, а обозначает комплексное сопряжение [ ^1] ${\displaystyle V\,}$ ${\displaystyle {\overline {V}}}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle {\overline {V}}}$ $${\displaystyle \alpha \,*\,v={\,{\overline {\alpha }}\cdot \,v\,}}$$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle {\overline {V}}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ ${\displaystyle \alpha .}$

Более конкретно, комплексно-сопряженное векторное пространство — это то же самое базовое действительное векторное пространство (то же множество точек, то же самое сложение векторов и действительное скалярное умножение) с сопряженной линейной комплексной структурой (другое умножение на ). ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle i}$

Мотивация

Если и являются комплексными векторными пространствами, функция является антилинейной , если При использовании сопряженного векторного пространства антилинейное отображение можно рассматривать как обычное линейное отображение типа Линейность проверяется следующим образом: Наоборот, любое линейное отображение, определенное на , порождает антилинейное отображение на ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ $${\displaystyle f(v+w)=f(v)+f(w)\quad {\text{ and }}\quad f(\alpha v)={\overline {\alpha }}\,f(v)}$$ ${\displaystyle {\overline {V}}}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle {\overline {V}}\to W.}$ $${\displaystyle f(\alpha *v)=f({\overline {\alpha }}\cdot v)={\overline {\overline {\alpha }}}\cdot f(v)=\alpha \cdot f(v)}$$ ${\displaystyle {\overline {V}}}$ ${\displaystyle V.}$

Это тот же самый базовый принцип, что и при определении противоположного кольца , так что правый -модуль можно рассматривать как левый -модуль, или противоположной категории, так что контравариантный функтор можно рассматривать как обычный функтор типа ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{op}}$ ${\displaystyle C\to D}$ ${\displaystyle C^{op}\to D.}$

Функтор комплексного сопряжения

Линейное отображение порождает соответствующее линейное отображение , которое имеет то же действие, что и Примечание, которое сохраняет скалярное умножение, поскольку Таким образом, комплексное сопряжение и определяют функтор из категории комплексных векторных пространств в себя. ${\displaystyle f:V\to W\,}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:{\overline {V}}\to {\overline {W}}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$ $${\displaystyle {\overline {f}}(\alpha *v)=f({\overline {\alpha }}\cdot v)={\overline {\alpha }}\cdot f(v)=\alpha *{\overline {f}}(v)}$$ ${\displaystyle V\mapsto {\overline {V}}}$ ${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$

Если и конечномерны и отображение описывается комплексной матрицей относительно базисов и , то отображение описывается комплексно сопряженной матрицей относительно базисов и ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}}$ ${\displaystyle {\overline {V}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}}$ ${\displaystyle {\overline {W}}.}$

Структура конъюгата

Векторные пространства и имеют одинаковую размерность над комплексными числами и поэтому изоморфны как комплексные векторные пространства. Однако нет естественного изоморфизма из в ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\overline {V}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\overline {V}}.}$

Двойное сопряжение идентично ${\displaystyle {\overline {\overline {V}}}}$ ${\displaystyle V.}$

Комплексно сопряженное пространство Гильберта

Если задано гильбертово пространство (конечномерное или бесконечномерное), его комплексно сопряженное — это то же векторное пространство, что и его непрерывное сопряженное пространство . Между непрерывными линейными функционалами и векторами существует взаимно однозначное антилинейное соответствие. Другими словами, любой непрерывный линейный функционал на является внутренним умножением на некоторый фиксированный вектор, и наоборот. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {H}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\prime }.}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Таким образом, комплексное сопряжение к вектору, особенно в случае конечной размерности, может быть обозначено как (v-крестик, вектор-строка , который является сопряженным транспонированным к вектору-столбцу ). В квантовой механике сопряжение к кет-вектору обозначается как – вектор бра (см. обозначение бра–кет ). ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle v^{\dagger }}$ ${\displaystyle v}$  ${\displaystyle \,|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |\,}$

Смотрите также

• Антидуальное пространство  – Сопряженное однородное аддитивное отображениеСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Линейная комплексная структура  – ​​Математическая концепция
• Теорема о представлении Рисса  – Теорема о двойственном к гильбертову пространству
• сопряженный пучок

Ссылки

1. К. Шмюдген (11 ноября 2013 г.). Unbounded Operator Algebras and Representation Theory. Биркхойзер. стр. 16. ISBN 978-3-0348-7469-4.

Дальнейшее чтение

• Будинич, П. и Траутман, А. Спинорная шахматная доска . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (комплексно-сопряженные векторные пространства обсуждаются в разделе 3.3, стр. 26).